新现代普通测量6

1、第第6 6章测量误差及数据处理的基本知识章测量误差及数据处理的基本知识 周志易周志易合肥工业大学土木与水利工程学院测量工程系合肥工业大学土木与水利工程学院测量工程系 2013.3.25现代普通测量学现代普通测量学 内容提要内容提要1.1.概述概述2.2.测量误差的种类测量误差的种类3.3.偶然误差的特性及其概率密度函数偶然误差的特性及其概率密度函数4.4.衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标5.5.误差传播定律误差传播定律6.6.同精度直接观测平差同精度直接观测平差7.7.不同精度直接观测平差不同精度直接观测平差8.8.点位误差点位误差 9.9.最小二乘法原理及其应用最小二乘法原理及其应用

2、 教学要求教学要求了解测量误差产生的原因和评了解测量误差产生的原因和评定精度的标准，掌握偶然误差定精度的标准，掌握偶然误差的特性、误差传播定律及其在的特性、误差传播定律及其在测量数据处理中的应用方法。测量数据处理中的应用方法。 本章重点本章重点偶然误差的特性、评定精度的标偶然误差的特性、评定精度的标准，误差传播定律及其应用。准，误差传播定律及其应用。 6.16.1测量误差概述测量误差概述观测与观测值观测与观测值通过一定的仪器、工具和方法对某量进行量测，称为通过一定的仪器、工具和方法对某量进行量测，称为观测观测，获，获得的数据称为得的数据称为观测值观测值。观测观测与观测值的分类与观测值的分类1.

3、等精度观测和不等精度观测等精度观测和不等精度观测 构成测量工作的构成测量工作的要素要素包括包括观测者观测者、测量仪器测量仪器和和外界条件外界条件，通，通常将这些测量工作的要素统称为常将这些测量工作的要素统称为观测条件观测条件。 在相同的方法和在相同的方法和外界条件外界条件下，同一精度等级的下，同一精度等级的仪器仪器，由具，由具有大致有大致相同技术水平的人相同技术水平的人所进行的观测称为所进行的观测称为同精度观测同精度观测，其观，其观测值称为测值称为同精度观测值或等精度观测值同精度观测值或等精度观测值。反之，称为。反之，称为不同精度不同精度观测观测，其观测值称为，其观测值称为不同（不等）精度观测

4、值不同（不等）精度观测值。 6.16.1测量误差概述测量误差概述2.2.直接观测和间接观测直接观测和间接观测 为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是所求为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是所求未知量本身，称为未知量本身，称为直接观测直接观测。观测值称为。观测值称为直接观测值直接观测值。通过。通过被观测量与未知量的被观测量与未知量的函数关系函数关系来确定未知量的观测称为来确定未知量的观测称为间接间接观测观测，观测值称为，观测值称为间接观测值间接观测值。 3.3.独立观测和非独立观测独立观测和非独立观测 各观测值之间无任何依存关系，是相互独立的观测称为各观测值之间无任何依存关系，

5、是相互独立的观测称为独独立观测立观测。反之，有一定的几何或物理条件的约束，为。反之，有一定的几何或物理条件的约束，为非独立非独立观测观测 。 6.16.1测量误差概述测量误差概述测量误差及其来源测量误差及其来源 测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实值，简称测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实值，简称真值真值。对该量进行观测得到对该量进行观测得到观测值观测值。观测值与真值之差，称为。观测值与真值之差，称为真误差真误差（误差），即（误差），即真误差真误差观测值真值观测值真值 测量中不可避免地存在着测量误差，观测值进行测量中不可避免地存在着测量误差，观测值进行重复观测重复观测（多余（多余观测

6、），观测），“多余观测多余观测”导致的差异事实上就反映了导致的差异事实上就反映了测量误差测量误差。 产生产生测量误差的原因测量误差的原因很多，其很多，其来源来源概括起来有以下三方面：概括起来有以下三方面：（1 1）测量仪器测量仪器：仪器精度的局限、轴系残余误差等。：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2 2）观测者观测者：判断力、分辨力的限制及经验等。：判断力、分辨力的限制及经验等。（3 3）外界环境条件外界环境条件：温度变化、风和大气折光等。：温度变化、风和大气折光等。), 2 , 1(iniXli 6.16.1测量误差概述测量误差概述研究测量误差的研究测量误差的指导原则指导原则 测量工作的目

7、标测量工作的目标并不是并不是简单地使测量误差越小越好，简单地使测量误差越小越好，而而是是要在一定的观测条件下，设法将误差限制在与测量目的要在一定的观测条件下，设法将误差限制在与测量目的相适应的范围内。通过分析测量误差，求得未知量的最合相适应的范围内。通过分析测量误差，求得未知量的最合理最可靠的结果，并对观测成果的质量进行理最可靠的结果，并对观测成果的质量进行评定评定。 6.26.2测量误差的种类测量误差的种类 按测量误差对测量结果影响性质的不同，可将测量误差分按测量误差对测量结果影响性质的不同，可将测量误差分为为粗差粗差、系统误差系统误差和和偶然误差偶然误差三类三类 1 1 粗差也称粗差也称错

8、误错误，是由于观测者使用仪器不正确或疏忽，是由于观测者使用仪器不正确或疏忽大意，如测错、读错、听错、算错等造成的错误，或因外大意，如测错、读错、听错、算错等造成的错误，或因外界条件意外的显著变动引起的差错。界条件意外的显著变动引起的差错。 在测量中是在测量中是不允许不允许有粗差的，一旦发现观测值中有粗差，有粗差的，一旦发现观测值中有粗差，应将它应将它剔除剔除。在工作中，遵守测量规范且仔细谨慎，并对。在工作中，遵守测量规范且仔细谨慎，并对观测结果进行检核。粗差是可以避免和被发现的。观测结果进行检核。粗差是可以避免和被发现的。 2 2 系统误差系统误差 在相同的观测条件下，对某量进行的一系列在相同

9、的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变，或按一定规律变化的观测中，数值大小和正负符号固定不变，或按一定规律变化的误差，称为误差，称为系统误差系统误差。 系统误差具有系统误差具有累积性累积性，随着观测次数的，随着观测次数的增多而积累。它的存在给观测结果带来系统的偏差，反映了观增多而积累。它的存在给观测结果带来系统的偏差，反映了观测结果的测结果的准确度准确度。 准确度准确度是指观测值对真值的偏离程度或接近程度。是指观测值对真值的偏离程度或接近程度。为了提高观测成果的准确度，首先用为了提高观测成果的准确度，首先用数理统计数理统计方法判断是否有方法判断是否有系统误差，其大小

10、是否在允许的范围内，然后系统误差，其大小是否在允许的范围内，然后消除或减弱消除或减弱。系统误差系统误差消除消除或或减弱减弱( (计算改正计算改正、观测方法观测方法、仪器检校仪器检校) )。（1 1）测定系统误差的大小，）测定系统误差的大小，通过计算通过计算对观测值加以改正。如钢对观测值加以改正。如钢尺尺长误差尺尺长误差 l ld d ，钢尺温度误差钢尺温度误差 l lt t。（2 2）采用）采用对称观测对称观测，使系统误差在观测值中以相反的符号出现。，使系统误差在观测值中以相反的符号出现。如水准仪视准轴误差如水准仪视准轴误差i i，操作时抵消，操作时抵消( (前后视等距前后视等距) )；经纬仪

11、视准；经纬仪视准轴误差轴误差C C 操作时抵消操作时抵消( (盘左盘右取平均盘左盘右取平均) )（3 3）检校仪器检校仪器，将仪器存在的系统误差限制在允许范围甚至降，将仪器存在的系统误差限制在允许范围甚至降低到最小限度。另外，系统误差还取决于我们对它的低到最小限度。另外，系统误差还取决于我们对它的认识程度认识程度。3 偶然误差偶然误差 在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，单个误差单个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固定，表现出偶然性，但固定，表现出偶然性，但大量的误差大量的误差却具有一定

12、的统计规律性，却具有一定的统计规律性，这种误差称为这种误差称为偶然误差偶然误差，又称为，又称为随机误差随机误差。例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差生误差 。 偶然误差反映了观测结果的精密度。精密度简称偶然误差反映了观测结果的精密度。精密度简称精度精度，精密度精密度（精度）（精度）是指在同一观测条件下，用同一观测方法对某量多次观是指在同一观测条件下，用同一观测方法对某量多次观测时，各观测值之间相互的测时，各观测值之间相互的离散程度离散程度。精度的精度的评定评定: : 评价评价观测误差大小观测误差大小的问题。的问题

13、。 若观测值误差中若观测值误差中中小中小误差误差比例较比例较大大，则反映，则反映 误差分布较误差分布较密集密集，表明观测，表明观测精度精度比较比较高高；若观测值误差中若观测值误差中大误差大误差比例较比例较大大，则反映误差分布较，则反映误差分布较离散离散，表明，表明观测观测精度精度比较比较低低。 精度是一组观测成果质量好坏的标志。精度是一组观测成果质量好坏的标志。4 4 系统误差和偶然误差的关系：系统误差和偶然误差的关系：（1 1）两者同时存在，当系统误差显著时，偶然误差就居于次要）两者同时存在，当系统误差显著时，偶然误差就居于次要地位，观测误差呈现出系统的性质；反之，呈现出偶然的性质。地位，观

14、测误差呈现出系统的性质；反之，呈现出偶然的性质。（2 2）对剔除了粗差的观测值，首先应寻找、判断和排除系统误）对剔除了粗差的观测值，首先应寻找、判断和排除系统误差，或将其控制在允许的范围内，然后根据偶然误差的性质，对差，或将其控制在允许的范围内，然后根据偶然误差的性质，对观测值进行数学处理，求出未知量的最或是值，评定观测精度。观测值进行数学处理，求出未知量的最或是值，评定观测精度。 最或是值：最接近未知量真值的估值。最或是值：最接近未知量真值的估值。评定精度：评定观测结果的优劣。评定精度：评定观测结果的优劣。测量平差：评定精度的工作在测量上称为测量平差，简称平差。测量平差：评定精度的工作在测量

15、上称为测量平差，简称平差。 6.36.3偶然误差的特性及其概率密度函数偶然误差的特性及其概率密度函数 偶然误差单个出现时不具有规律性，但在相同条件下重复观测偶然误差单个出现时不具有规律性，但在相同条件下重复观测某一量时，所出现的大量的偶然误差具一定的规律性。可根据某一量时，所出现的大量的偶然误差具一定的规律性。可根据概率原理，用概率原理，用统计学的方法统计学的方法来分析研究。来分析研究。举例举例: : 在某测区，等精度观测了在某测区，等精度观测了358358个三角形的内角之和，得到个三角形的内角之和，得到358358个三角形闭合差个三角形闭合差 ii( (偶然误差，也即真误差偶然误差，也即真误

16、差) ) ，然后对三角，然后对三角形闭合差形闭合差 ii 进行分析。进行分析。 分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出出统计学上统计学上的规律性。而且，观测次数越多，的规律性。而且，观测次数越多，规律性规律性越明显。越明显。 6.36.3偶然误差的特性及其概率密度函数偶然误差的特性及其概率密度函数 表表6-1 6-1 误差统计表误差统计表误差区间误差区间d d 负负 误误 差差正正 误误 差差个数个数k k相对个数相对个数个个 数数k k相对个数相对个数0.00.20.00.20.20.40.20.40.40.60.40.60

17、.60.80.60.80.81.00.81.01.01.21.01.21.21.41.21.41.41.61.41.61.61.6以上以上4545404033332323171713136 64 40 00.1260.1260.1120.1120.0920.0920.0640.0640.0470.0470.0360.0360.0170.0170.0110.0110.0000.0004646414133332121161613135 52 20 00.1280.1280.1150.1150.0920.0920.0590.0590.0450.0450.0360.0360.0140.0140.006

18、0.0060.0000.000总和总和1811810.5050.5051771770.4950.495 6.36.3偶然误差的特性及其概率密度函数偶然误差的特性及其概率密度函数 (1)(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值会超过一定的限值( (有界性有界性) )；(2)(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多会多( (趋向性趋向性) )；(3)(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等等( (对称性对称性) )；(4)(4)当观测次数无限增加时，偶

19、然误差的算术平当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零均值趋近于零 ( (抵偿性抵偿性) )。偶然误差的特性偶然误差的特性: 0limlim21nnnnn 6.36.3偶然误差的特性及其概率密度函数偶然误差的特性及其概率密度函数 误差统计直方图误差统计直方图 ：相对个数：相对个数 称为称为频率频率，组距组距d横坐标横坐标：偶然误差的大小；：偶然误差的大小；纵坐标纵坐标：长方条的长方条的面积面积为偶然误差出现在该区间内为偶然误差出现在该区间内频率频率。若观测次数若观测次数n n，并将区，并将区间分得无限小（间分得无限小（dd00），），直方图就变为直方图就变为对称光滑曲线对称光滑曲线（

20、高斯高斯偶然误差分布曲线），偶然误差分布曲线），概率论中称为概率论中称为正态误差分布正态误差分布曲线曲线。nk组距频率 6.36.3偶然误差的特性及其概率密度函数偶然误差的特性及其概率密度函数 误差正态分布曲线误差正态分布曲线 实践证明，偶然误差实践证明，偶然误差不能不能用计算来改正或用一定的观测方法用计算来改正或用一定的观测方法简单地加以消除，简单地加以消除，只能只能根据其特性来合理地处理观测数据，以根据其特性来合理地处理观测数据，以提高观测成果的质量提高观测成果的质量 。22)(hehfceh 6.46.4衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标 在测量中，常用在测量中，常用精确度精确度来

21、评价观测成果的优劣。来评价观测成果的优劣。精确度精确度是是准确度与精密度的总称。准确度与精密度的总称。准确度准确度主要取决于主要取决于系统误差系统误差的大小；的大小；精密度（精度）精密度（精度）主要取决于主要取决于偶然误差偶然误差的分布。的分布。 对基本不包含系统误差，而主要含有对基本不包含系统误差，而主要含有偶然误差偶然误差的一组观测值，的一组观测值，可用可用精密度精密度（精度）来评价该组观测值质量的高低。（精度）来评价该组观测值质量的高低。 为了衡量观测值精度的高低，需要建立一个统一的衡量精为了衡量观测值精度的高低，需要建立一个统一的衡量精度的标准，对度的标准，对精度精度给出一个数值概念，

22、该标准及其数值大小应给出一个数值概念，该标准及其数值大小应能反映出误差分布的离散或密集的程度，称为能反映出误差分布的离散或密集的程度，称为衡量精度的指标衡量精度的指标。精度指数精度指数h 22)(hehfceh h h值越大，曲线两侧坡度越陡，表示偶然误差分布较为密值越大，曲线两侧坡度越陡，表示偶然误差分布较为密集，说明小误差出现的概率较大，观测结果的精度较高；反集，说明小误差出现的概率较大，观测结果的精度较高；反之，之，h h值越小，曲线两侧坡度越缓，表示偶然误差的分布较值越小，曲线两侧坡度越缓，表示偶然误差的分布较为离散，说明小误差出现的概率较小，观测结果的精度较低，为离散，说明小误差出现

23、的概率较小，观测结果的精度较低，因此称因此称h h为观测值的精度指数为观测值的精度指数。 由于由于精度指标精度指标h h计算上的困难计算上的困难，不能直接用来衡，不能直接用来衡量观测值的精度，因此要设法通过量观测值的精度，因此要设法通过h h来寻找另来寻找另外外计算方便的指标计算方便的指标来衡量来衡量观测值的精度观测值的精度，这就，这就是是中误差中误差。评定精度的评定精度的指标指标：1 1、中误差、中误差2 2、相对误差、相对误差3 3、极限误差、极限误差1 中误差中误差 设在同精度观测下出现一组设在同精度观测下出现一组偶然误差偶然误差 , 其其相应的相应的概率概率为为 ,精度指数为精度指数为

24、 即即 n,21)(,),(),(21nPPPhhhhn21nhnhhdehPdehPdehPn222222122211)()()(21nPPPPnhndddehPn2112202212)1()1(121221222122nhehnhehehdhdPnhnnhnhnnnn2112nhnnmn1221mhnm各偶然误差在一组观测值中同时出现的概率各偶然误差在一组观测值中同时出现的概率p p等于各偶然误差概率的乘积，即等于各偶然误差概率的乘积，即将上式对将上式对h h求一阶导数，并令其为零，认为在一次观测中求一阶导数，并令其为零，认为在一次观测中某一组偶某一组偶然误差然误差出现的概率出现的概率P

25、P最大最大，即，即称称m m为为中误差中误差 此式是此式是中误差中误差与与精度指数精度指数的关系式，表明了中的关系式，表明了中误差误差m与精度指数与精度指数h成成反比反比，即中误差，即中误差m愈大，精度指数愈大，精度指数愈小，表示该组观测值的精度愈低，反之，精度愈高。愈小，表示该组观测值的精度愈低，反之，精度愈高。21mhm m1 1小于小于m m2 2，认为第一组观测值的精度较第二组高，认为第一组观测值的精度较第二组高 此式求得的同精度观测值的中误差代表了此式求得的同精度观测值的中误差代表了该组该组观测观测值的精度，即该组观测值结果中任意一个观测值的精度。值的精度，即该组观测值结果中任意一个

26、观测值的精度。22)(hehfy对式对式 取二阶导数令其等于零，便可求得误差取二阶导数令其等于零，便可求得误差分布分布曲线拐点的横坐标曲线拐点的横坐标nm中误差中误差m m的的几何意义几何意义为偶然误差分布曲线两个拐点的为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标横坐标12mh 2232221222hehdydh2 极限误差极限误差2221( )0.6832mmmmmPmmfdedm 22222221 22 ( )0.9542mmmmmPmmfdedm 22332331 33 ( )0.9972mmmmmPmmfdedm 极=3|m|极=2|m|从上式可以看出绝对值大于一倍、二倍中误差的偶然误差概率从上

27、式可以看出绝对值大于一倍、二倍中误差的偶然误差概率分别为分别为31.7%31.7%，4.6%4.6%；绝对值大于三倍中误差的偶然误差概率为；绝对值大于三倍中误差的偶然误差概率为0.3%0.3%，这是概率接近于零的，这是概率接近于零的小概率事件小概率事件。故通常以。故通常以三倍三倍中误差中误差作为偶然误差的估值，即作为偶然误差的估值，即 3 3 相对误差相对误差有时单靠中误差还有时单靠中误差还不能完全不能完全表达观测结果的质量，这时可采用表达观测结果的质量，这时可采用另一种另一种衡量精度的标准衡量精度的标准相对误差相对误差。相对误差相对误差是是误差的绝对值误差的绝对值与与相应观测值相应观测值之比

28、，在测量上通常将之比，在测量上通常将其其分子分子化为化为1 1，即用，即用K=1/NK=1/N的形式来表示。若分子采用中误差，的形式来表示。若分子采用中误差，则则K K可称为相对中误差。相对误差的分子也可以是可称为相对中误差。相对误差的分子也可以是闭合差闭合差或或容容许误差许误差，这时分别称为，这时分别称为相对闭合差相对闭合差及及相对容许误差相对容许误差。绝对误差绝对误差：与相对误差对应，中误差、极限误差、容许误差称：与相对误差对应，中误差、极限误差、容许误差称为为绝对误差绝对误差K K2 2 K K1 1 ，所以所以S S2 2精度精度较高较高（相对中误差（相对中误差愈小愈小）。）。例：用钢

29、尺丈量两段距离分别得例：用钢尺丈量两段距离分别得S S1 1=100=100米米， mm1 1=0.02m=0.02m； S S2 2=200=200米米， mm2 2=0.02m=0.02m。计算。计算S S1 1、S S2 2的相对误差。的相对误差。 0.02 1 0.02 1 K1= = ； K2= = 100 5000 200 10000解：解： 6.56.5误差传播定律误差传播定律 在实际测量工作中，某些量的大小往往不是直接观测的，在实际测量工作中，某些量的大小往往不是直接观测的，而是通过其他观测值而是通过其他观测值间接求得间接求得的的, ,即观测其它未知量，并通即观测其它未知量，并

30、通过一定的过一定的函数关系函数关系计算求得的。计算求得的。 表述观测值表述观测值函数的中误差函数的中误差与与观测值中误差观测值中误差之间关系的之间关系的定律称为定律称为误差传播定律误差传播定律。 6.56.5误差传播定律误差传播定律 误差传播定律公式推导误差传播定律公式推导令 的系数为 ， (c)式为：iiixffnnxfxfxf2211(c)得:对(a)泰勒级数展开，取近似值：(b)设有函数：)(21nxxxfZ，为独立变量ix设 有真误差 ，函数 也产生真误差iZ(a)ix)(2211nnZxxxfZ，nnnZxfxfxfxxxfZ221121)(，)()(22)(11)()2()2(22

31、)2(11)2() 1 () 1 (22) 1 (11) 1 (knnkkknnnnfffffffff对xi观测了k次，有k个式(d)对上式取平方：jijinnfffffffff2223131212122222221212(e)对k个(e)式取总和： njijijijinnfffff1,222222212122(f)nnfff2211 njijijijinnfffff1,222222212122(f)(g)(f)式两边除以k，得(g)式： njijijijinnkffkfkfkfk1,222222212122 kfkfkfknn22222221212即：22222221212nnzmfmfmf

32、m(h)由偶然误差的抵偿性知：0limkjik(g)式最后一项各偶然误差的交叉项总和均趋向于零，则：前面各项22222221212nnzmfmfmfm(h)考虑考虑 ，代入上式，得，代入上式，得观测值函数观测值函数中误差关系式：中误差关系式：iixff2222222121nnZmxfmxfmxfm上式为一般函数的中误差公式，称上式为一般函数的中误差公式，称中误差传播公式中误差传播公式，也称为，也称为误误差传播定律差传播定律。 1.1.倍数函数的中误差倍数函数的中误差 设有函数式设有函数式 (x(x为观测值，为观测值，K K为为x x的系数的系数) ) 全微分全微分 得中误差式得中误差式xxZK

33、mmKmKdxdZKxZ22例：量得 地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm, 计算该两点实地距离 S及其中误差 ms。l1000:1解：列函数式 求全微分 中误差式m2 . 0m5 .168m2 . 0mm2002 . 01000100010001000SmmddlSlSlS 6.56.5误差传播定律误差传播定律 几种常用函数的中误差几种常用函数的中误差2.2.线性函数的中误差线性函数的中误差 设有函数式全微分中误差式 nnxkxkxkZ2211nndxkdxkdxkdz22112222222121nnZmkmkmkm例：设有某线性函数 其中 、 、 分别为独立观测值，它们的中误差分

34、别为 ， 求Z的中误差 。314121491144xxxZ321xxxmm6 , mm2 , mm3321mmmZm314121491144dxdxdxdzmm6 . 1623214121492144233222211xxxZmfmfmfm解：对上式全微分：由中误差式得：3.3.算术平均值的中误差式算术平均值的中误差式 对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。 函数式 全微分 中误差式 nnnnnllllx12111lnnlnlnddddx1211121221211222nnnnxmmmmM由于等精度观测时， 代入上式： 得： mmmmn21nmmnnmX22

35、1n由此可知，由此可知，算术平均值的中误差算术平均值的中误差比比观测值的中误差观测值的中误差缩小了缩小了 倍。倍。 M4.4.和或差函数的中误差和或差函数的中误差 函数式： 全微分： 中误差式：nxxxZ21ndxdxdxdz2122221nZmmmm当等精度观测时：上式可写成：mmmmmn321nmmZ 例：测定A、B间的高差 ，共连续测了9站。设测量每站高差的中误差 ，求总高差 的中误差 。 解： 则：ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式函数式 函数的中误差函数的中误差一般函数一般函数倍数函数倍数函数和差函数

36、和差函数线性函数线性函数算术平均值函数算术平均值函数 ),(21nxxxfZ2222222121nnZmxfmxfmxfm22 ZxxZKxmK mKm nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkmnnnnnllllx12111nmM误差传播定律的应用误差传播定律的应用 用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 m容15 。例：要求三角形最大闭合差，m闭容15，问用DJ6经 纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ (容许误差为二倍中误差) 123三角形闭合差函数：=(1+2+3)-180解：由题意：2m闭= m闭

37、容= 15,则 m闭= 7.5每个角每个角的测角中误差的测角中误差：3 . 435 . 7xm测回即 43 . 45 . 8,5 . 83 . 4,22nnnmmx由于由于DJDJ6 6一测回一测回角度角度（两个方向）（两个方向）中误差中误差为：为：由角度测量n测回取平均值取平均值的中误差公式：5 . 826m观测值的算术平均值(最或是值) 观测值改正数 v 的特性 评定精度 -观测值的中误差 (白塞尔公式) 6.66.6同精度直接观测平差同精度直接观测平差 一一. .观测值的算术平均值观测值的算术平均值( (最或是值、最可靠值最或是值、最可靠值) ) 证明算术平均值为该量的最或是值： 设该量

38、的真值为X，则各观测值的真误差真误差为 1= 1 - X 2= 2 - X n= n - X对某未知量进行了n次观测，得n个观测值1,2,n,则该量的算术平均值L为：x= =1+2+nnn上式等号两边分别相加得和： nXl L=当观测无限多次时：Xnlnnnlimlim 由正负误差的由正负误差的抵偿性抵偿性得 Xnlnlim两边除以n：由 nXl Xnln当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均值最接近最接近真值。所以，算术平算术平均值均值是最或是值最或是值（最或然值最或然值），用最或是值作为该未知量真值的估值。每一个观测值观测值与最或是值最或是

39、值之差，称为最或是值误差最或是值误差。最或是值最或是值与每一个观测值观测值之差，称为该观测值的改正数改正数。L X二二. .观测值改正数观测值改正数v v的特性的特性(a)以以算术平均值算术平均值为为最或是值最或是值，并据此计算各观测值的改正数，并据此计算各观测值的改正数v v，符合符合vv=min vv=min 的的“最小二乘原则最小二乘原则”。vi = L - i (i=1,2,n)特点特点1 1 改正数总和改正数总和为为零零：(a)取和：以 代入：(b)通常用于计算检核L= nv=nL- nv =n -=0v =0特点特点2 2 vv vv符合符合“最小二乘原则最小二乘原则”（观测值改正

40、数平方（观测值改正数平方 和最小）：和最小）：(c)则:即:vv = min=2v=2v=2(L-)=0dvv dv(L-)=0nL-=0L= n比较这两个式子，可以证明，两式根号内的部分是相等的相等的1nvvnnmnvvm1即在 与 中：三三. .精度评定精度评定用观测值的改正数改正数v(或者最或是误差最或是误差)计算观测值中误差观测值中误差的公式称为贝塞尔公式贝塞尔公式。1 nvvmnm 1.计算公式： (d)用观测值真误真误差差计算中误差中误差用观测值改正改正数数计算中误差中误差)(XLvXLviiii得(e)由上二式相减：对上式取 n 式总和)(XLnv得)()(XLnXLn即(f)1

41、nvvn证明如下：LlvXlLlvXlLlvXlnnnn22221111真误差：最或是误差：0v又由而由(f)式： 两边平方可得：)(XLn21,221312122222122222)(2)(1)(nnnnnnXLjinjijinnn* 有正负抵消性，可忽略不计。*ji对(e)式 平方：)(XLvii2)()(2XLXLvvviiiii取n式总和2)()( 2XLnXLvvv即：2)(XLnvv(g)代入(g)式，上式变为：nvvnvv由 ：1vvnn1nvvn证毕得:公式nm(h)1nVVm公式(i)使用场合为：已知已知观测值 的真值真值X X，用真误差真误差 计 算中误差中误差。Xlii使

42、用场合为：观测值的真真 值值未知未知，根据算术平均值算术平均值， 用改正数改正数v v计算中误差中误差。iilLv解：该水平角真值未知真值未知，可用算术平均值的改正数算术平均值的改正数V V计 算其中误差中误差：例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表， 求其算术平均值及观测值的中误差。2.算例:权权是一个表示观测结果质量是一个表示观测结果质量可靠程度可靠程度的相对性数值的相对性数值(P)(P)权的概念权的概念 6.76.7不同精度直接观测平差不同精度直接观测平差 在对某量进行在对某量进行不同精度不同精度观测时，各观测结果的中误差不同。观测时，各观测结果的中误差不同。显然，显然，不能不能

43、将具有不同可靠程度的各观测结果简单地取算将具有不同可靠程度的各观测结果简单地取算术平均值作为最或是值并评定精度。此时，需要选择某一术平均值作为最或是值并评定精度。此时，需要选择某一个个比值比值来比较各观测值的可靠程度，此比值就是权。来比较各观测值的可靠程度，此比值就是权。权的概念权的概念-权的定义 6.76.7不同精度直接观测平差不同精度直接观测平差 2iimP设一组不同精度观测值为 ，相应的中误差为 ，选定任一大于零的常数 ，定义权定义权 为： 称Pi为观测值li的权。对一组已知中误差的观测值而言，选定一个 值，就有一组对应的权。可以定出观测值的权之间的比例关系为il),.,2 , 1(ni

44、miiP2222122221211:.:1:1 :.:.:nnnmmmmmmPPP权的概念权的概念-权的性质 6.76.7不同精度直接观测平差不同精度直接观测平差 （1）权权和中误差中误差都是用来衡量观测值精度的指标精度的指标，但中误差中误差是绝对性绝对性数值，表示观测值的绝对精度绝对精度，权权是相对性相对性数值，表示观测值的相对精度相对精度。（2）权与中误差平方成反比反比，中误差越小小，权越大大，表示观测值越可靠可靠，精度越高高。（3）权始终取正号正号。（4）由于权是一个相对性数值，对于单一观测值单一观测值而言，权无无意义意义。（5）权的大小随的不同而不同，但权之间的比例关系不变比例关系不变

45、。（6）在同一同一个问题中只能只能选定一个一个值，不能不能同时选用几个不几个不同同的值，否则否则就破坏破坏了权之间的比例关系。常用的常用的确定权的方法确定权的方法 6.76.7不同精度直接观测平差不同精度直接观测平差 设一次观测的中误差为 ，则 次同精度观测值算术平均值算术平均值的 中误差 ，定义 ，则一次观测值的权为：m2mnnmM 1.1.同精度观测值算术平均值的权同精度观测值算术平均值的权1222mmmP 则算术平均值的权为：nnmmnmPL/222 可见权与观测次数成正比可见权与观测次数成正比常用的确定权的方法常用的确定权的方法 6.76.7不同精度直接观测平差不同精度直接观测平差 设

46、一次观测的中误差为 ,其权为 ，并设 ，则m2m0P1220mmP 等于1的权称为单位权，而权等于1 的中误差称为单位权中误差，用 表示。22iimP则中误差为 的观测值，其权 为：iiPm1iPim 设每一次测站每一次测站观测高差观测高差的精度相同，其中误差为 ，则不同测站数的水准路线水准路线观测高差的中误差观测高差的中误差为：站m为各水准路线的测站数，站iiiNniNmm ),.,2 , 1( iiiNcmP22 可见各水准路线的权各水准路线的权与测站数（路线长度）测站数（路线长度）成反比反比常用的确定权的方法常用的确定权的方法 6.76.7不同精度直接观测平差不同精度直接观测平差 2.

47、2. 权在水准测量中的应用权在水准测量中的应用则各各水准路线的权水准路线的权为：即c个测站的高差中误差高差中误差为单位权中误差单位权中误差取站 mc各水准路线水准路线的长度同理可得iiiLLcP 设单位长度单位长度（一公里）距离测量中误差为 ，则长度为长度为s s公里公里的距离测量中误差为：m smmsscmPss22 可见距离测量的权与长度成反比可见距离测量的权与长度成反比常用的确定权的方法常用的确定权的方法 6.76.7不同精度直接观测平差不同精度直接观测平差 3.3.权在距离测量中的应用权在距离测量中的应用则距离测量的权为：为单位权中误差单位权中误差公里的距离测量公里的距离测量中误差即长

48、度为取, ccm 设对某量进行 次不同精度观测，观测值为 ，其相应的权为 ，则其加权算术平均值为该量的最或是值最或是值，即：nnlll,.,21.212211PPlPPPlPlPlPLnnnnPPP,.,21LlviiLPlPvPiiiiiLPPlPv0Pv求不同精度观测值的最或是值求不同精度观测值的最或是值 -加权算术平均值加权算术平均值 6.76.7不同精度直接观测平差不同精度直接观测平差 最或是误差为：nnPPP,.,21nlll,.,21nnPPP,.,21nlll,.,21nnPPP,.,21nlll,.,21nnPPP,.,21nnlll,.,21nPPP,.,21n即：nnlPP

49、lPPlPPPPlL.22111. 1. 最或是值的中误差最或是值的中误差).(1222222212122nnmPmPmPPM式中 为相应观测值的中误差。若令单位权中误差等于第一个观测值li的中误差，即=m1，则各观测值的权为代入上式得则 为不同精度观测值最或是值中误差计算公式。nmmm,.,2122iimP).(122222122PPPPPMnPM不同精度观测的精度评定不同精度观测的精度评定 6.76.7不同精度直接观测平差不同精度直接观测平差 不同精度观测值最或是值为：由误差传播定律，最或是值L的中误差：22iimP22iimP2222222112 nnmPmPmP22222112Pmmm

50、PmPmPnnnnPmmnPn 差，则时，用真误差代替中误当)1(PnPvvPM2.2.单位权观测值中误差单位权观测值中误差不同精度观测的精度评定不同精度观测的精度评定 6.76.7不同精度直接观测平差不同精度直接观测平差 此式为用真误差真误差计算单位权观测值中误差公式。也可用观测值改正数改正数来计算单位权中误差1nPvv将上式代入 即为用观测值改正数观测值改正数计算不同精度观测值不同精度观测值最或是值中误差最或是值中误差公式PM例题：例题： 6.76.7不同精度直接观测平差不同精度直接观测平差 测段高程观测值 (m)水准路线的长度(km)权PiviPvPvvA-EB-EC-E42.34742

51、.32042.3324.02.02.50.250.500.4017.0-10.02.04.2-5.00.871.450.01.6p=1.15pv=0 pvv=123.0330.4240. 050. 025. 0332.4240. 0320.4250. 0347.4225. 0EH例题：例题： 6.76.7不同精度直接观测平差不同精度直接观测平差 测段高程观测值 (m)水准路线的长度(km)权PiviPvPvvA-EB-EC-E42.34742.32042.3324.02.02.50.250.500.4017.0-10.02.04.2-5.00.871.450.01.6p=1.15pv=0 pv

52、v=123.0例题：例题： 6.76.7不同精度直接观测平差不同精度直接观测平差 mmnpvvu8 . 7130 .1231mmPuM3 . 715. 18 . 7 6.86.8点位误差点位误差在测量中，点P的平面位置常用平面直角坐标 来表示。为了确定待定点的平面直角坐标，通常将待定点待定点与已知点已知点进行联测，进而通过已知点的平面直角坐标、角度和边长等观测值，用一定的数学方法（如极坐标法、平差方法等）求出待定点的平面直角坐标。 PPyx,由于观测条件观测条件的存在，观测值观测值总是带有观测误差，因而根据观测值计算所获得的待定点待定点的平面直角坐标平面直角坐标，并不是真正的坐标值，而是待定点

53、待定点的真坐标值真坐标值 的估值 。也就是说待定点的点位含有误差。讨论点位误差和评定点位精度方法。 ,ppxyPPyx,ppxyPPyx,点位（真）误差点位（真）误差 6.86.8点位误差点位误差1点位真误差的概念 （ 或然点位）或然点位） 点位真误差点位真误差 （真点位）（真点位）xppyppxxyy ）（AAyx ,222pxy 由于 和 的存在而产生的距离 称为 P点的点位真误差，简称真位差。 xyP点位真误差点位真误差 6.86.8点位误差点位误差2点位真误差的随机性 xppyppxxyy ）（AAyx ,222pxy P点的最或然坐标最或然坐标是由一组带有观测误差的观测值通过计算计算所求得的结果，因此，它们是观测值的函数。随着观测值的随着观测值的不同而不同不同而不同。所以说点位真误差随观测值不同而变化变化，由于观测值误差具有随机性，点位真误差也具有随机性。 点位方差与点位中误差点位方差与点位中误差 6.86.8点位误差点位误差1点位方差方差定义 2222pp22xppppx22yppppy= ExE xExx= E= EyE yEyy= E 22222()()()pppxyxyEEE222pppxy22pppxy 22pppxymmm 式中 是P点真位