第1章矢量分析_WYF

1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析第第1 1章章 矢量分析矢量分析一、矢量和标量的定义一、矢量和标量的定义二、矢量的运算法则二、矢量的运算法则三、矢量微分元：线元，面元，体元三、矢量微分元：线元，面元，体元四、标量场的梯度四、标量场的梯度六、矢量场的旋度六、矢量场的旋度五、矢量场的散度五、矢量场的散度七、重要的场论公式七、重要的场论公式电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析一、矢量和标量的定义一、矢量和标量的定义1.标量：标量：只有大小，没有方向的物理量。矢量表示为：|AA a所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。其中： 为矢量的模，表示该矢量

2、的大小。 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。| A a2.矢量：矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。如:力 、速度 、电场 等FEv如：温度 T、长度 L 等电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？6xa图示法： 6xaGNFfFxy力的图示法： FNfFFF电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析二、矢量的运算法则1.加法加法: : 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。a.满足交换律：ABBAb.满足结合律：CABBACBAC()()()()ABCDACBD电磁场与电磁波电磁场与电磁

3、波第第1章章 矢量分析矢量分析zoyx三个方向的单位矢量用 表示。,xyzaaa根据矢量加法运算：xyzAAAA,xxxyyyzzzAA aAA aAA a所以：xxyyzzAA aA aA a在直角坐标系下的矢量表示:AxAyAzA其中：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析矢量：xxyyzzAA aA aA a模的计算：222|xyzAAAA单位矢量：|yxzxyzAAAAaaaaAAAA方向角与方向余弦：,|cos,|cos,|cosAAAAAAzyxcoscoscosxyzaaa在直角坐标系中三个矢量加法运算： ()()()xxxxyyyyzzzzABCABC aAB

4、C aABC azoyxAxAyAzA电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析2.减法：换成加法运算()DABAB ABCBAB逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。B()BDBADABC0在直角坐标系中两矢量的减法运算： ()()()xxxyyyzzzABAB aAB aAB a推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3.3.乘法：乘法：（1）标量与矢量的乘积：0|00kkAk A akk方向不变，大小为|k|倍方向相反，大小为|k|倍（2）矢量与矢量乘积分两种定义a. 标量积（点积）：| |c

5、osA BABBA两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即0,0,01,1,1xyxzyzxxyyzzaaaaaaaaaaaa有两矢量点积：() ()xxyyzzxxyyzzA BA aA aA aB aB aB a zzyyxxBABABA结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论1：满足交换律推论2：满足分配律推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。A BB A()ABCA BA C电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析

6、矢量分析推论1：不服从交换律：,A BB AA BB A 推论2：服从分配律：()AB CA BA C推论3：不服从结合律：()()AB CA BC推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。b.矢量积（叉积）：| |sincABABa含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。BAca电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：xyzxyzxyzaaaABAAABBB() ()x xy yz zx xy yz zA BAaAaAaBaBaBa ()()()

7、yzzyxzxxzyxyyxzABAB aABAB aABAB a两矢量的叉积又可表示为：xyzo电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析（3）三重积：三个矢量相乘有以下几种形式：()A B C矢量，标量与矢量相乘。()ABC标量，标量三重积。矢量，矢量三重积。a. 标量三重积法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。定义：|sincosA BCA B C()ABC含义： 标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积 。ABChB C 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析注意：先后轮换次序。推论：三个非零矢量共面的条件。在直角坐标系中：()0ABC()xyzx

8、yzxyzAAAABCBBBCCC()()xyzxxyyzzxyzxyzaaaAB CA aA aA aBBBCCCb.矢量三重积：()()()ABCB A CC A B ()()()VABCCABBCAABChB C电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析例2：12342,3223,325xyzxyzxyzxyzraaaraaaraaaraaa 求：4123rarbrcr中的标量 a、b、c。解：325(2)(32)( 23)xyzxyzxyzxyzaaaaaaab aaacaaa(22 )(3)(23 )xyzabc aabc aabc a 则：设213abc 223322

9、35abcabcabc电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析例3： 已知263xyzAaaa43xyzBaaa求：确定垂直于 、 所在平面的单位矢量。AB解：已知AB所得矢量垂直于 、 所在平面。ABnABaAB 263151030431xyzxyzaaaABaaa1(326)7nxyzaaaa 222|15( 10)3035AB 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析已知A点和B点对于原点的位置矢量为 和 ，求：通过A点和B点的直线方程。例4： ab()cak ba其中：k 为任意实数。(1)ck akbxyzCcABab解：在通过A点和B点的直线方程上，

10、 任取一点C，对于原点的位置 矢量为 ，则c电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析三、矢量微分元：线元、面元、体元例：d ,d ,dFlBSV其中： 和 称为微分元。d ,dlSdV1. 直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。线元：ddyylyaddddxyzlxayazadldSddxxlxaddzzlza面元：dd dxxSy za体元：dd d dVx y zdd dyySx zadd dzzSx ya电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析2. 圆柱坐标系在圆柱坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。( , , )

11、rz线元：ddddrzlrarazadd drrSrzadd dSr zadd dzzSrradd d dVr rz面元：体元：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3. 球坐标系在球坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。( , , )R 2dsin d dRRSRa dsin d dSRRadd dSR Radddsin dRlRaRaRa 线元：面元：体元：2dsin d d dVRR 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析a. 在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1， 即：1321hhh1, 1321hrhhb. 在柱坐标系中，

12、坐标变量为 , 其中 为角度， 其对应的线元 ，可见拉梅系数为：( , , )rzdrac. 在球坐标系中，坐标变量为 ，其中 均为 角度，其拉梅系数为：( , , )R , sin, 1321RhRhh注意：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析四、标量场的梯度四、标量场的梯度1. 标量场的等值面可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不 相交的。以温度场为例：热源等温面电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析PQll ()()u Qu Pullliml02.方向导数：设有标量场 ， 为场中任意一点, 从uPP如图， 为紧靠 点的另QPu向的方向导数定

13、义为P点向任意方向引射线ll一点, 则 在 点沿 方电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析 u 沿什么方向增加率最大？这个最大的增加率等于多少？ 设 , 则 ， ， ，这说明2xu1yu0zu。0luul0lu沿 方向的增加率为 ，沿 方向的增加率为 , 沿表示标量场 沿 方向的增加率（单位长度的增量）当 时，说明 沿 方向增加；当 时，说ul0lu明 沿 方向减小；当 时，说明 沿 方向不变。 ulyxu 2ulux2y1方向不变。z电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析 在标量场 中一定存在着这样一个矢量，它的方向指向增加率最大的方向，其大小等于这个最大

14、的增加率，该矢量称为标量 的梯度 ，用 表示。 即uu梯度的概念u 2.方向导数等于梯度在该方向上的分量。即 说明: 1. 为哈密尔顿算符，即zyxezeyex电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析梯度在直角系中的表达式 例：设 u = 2x+y , 求 u 的梯度，并计算它的大小和方向（其方向用单位矢量表示），并求该函数 u 沿单位矢量 方向的方向导数。 5453yxleee51222u大小yxueee5152方向yxeeu12梯度解：方向导数2)5453()12(yxyxleeeeeulu电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析练习题：已知标量函数 ，求

15、在 点 处的梯度，并求该梯度沿指定方向的方向导数。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在柱坐标系中：在球坐标系中：rzaaarrzsinRaaaRRR 在不同的坐标系中，梯度的计算公式：在直角坐标系中：xyzaaaxyz电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析五、矢量场的散度五、矢量场的散度1. 1. 矢线（场线）：矢线（场线）： 在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。2. 2. 通量：通量：定义：如果在该矢量场中取一曲面S， 通过该曲面的矢线量称为通量。表达式：dSvS若曲面为闭合曲面：dSvS+- -电磁场与

16、电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析讨论：讨论：a. 如果闭合曲面上的总通量0 说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。b. 如果闭合曲面上的总通量0 说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。c. 如果闭合曲面上的总通量0说明穿入的通量等于穿出的通量。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3. 3. 散度：散度：a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。 b.表达式：0ddivlimSVFSFV c.散度的计算： 在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。矢

17、量场 表示为：FxxyyzzFF aF aF a1Szyx6S5S4S3S2S123123ddddSSSSFSFSFSFS456456dddSSSFSFSFS电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析111d( )()xxxSFSF x ay za zyxFx)(1222d()xxxSFSF x ay za 在 x方向上：计算穿过 和 面的通量为2S1S1()xF xxy z 11( )()()xxxF xF xxF xxx 因为：221( )d()xxSF xFSF xy zx y zx 则：在 x 方向上的总通量：1212ddxSSFFSFSx y zx 1S6S5S4S3S

18、2Szyx电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在 z 方向上,穿过 和 面的总通量：5S6S5656ddZSSFFSFSx y zz 整个封闭曲面的总通量：dyxzSFFFFSx y zxyz 3434ddySSFFSFSx y zy 同理：在 y方向上,穿过 和 面的总通量：3S4S电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析该闭合曲面所包围的体积：zyxV0ddivlimSVFSFV zFyFxFzyx通常散度表示为：divFF4.4.散度定理：散度定理：ddSVFSF V物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第

19、1章章 矢量分析矢量分析柱坐标系中：1 ()1rzFF rFFrrrz球坐标系中：22(sin )()111sinsinRFFR FFRRRR直角坐标系中：yxzFFFFxyz常用坐标系中，散度的计算公式电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析散度在直角坐标系中的表达式 设有矢量 ，求矢量 在点 zyxeeyexA4322A解：zAyAxAAzyx34x处的散度。P7)3,2, 1(PA)3 ,2, 1 (电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析 矢量 在任意闭合曲面 上的面积分等于该矢量的散度定理AS散度在闭合面所限定的体积中的体积分，即电磁场与电磁波电磁场与

20、电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析222oxyzye2xe6ye2 解： 2446)23(sdexesdAysxs24833VVdVdVA 设矢量 ， 为由 ； ； 所限定的平行六面体的表面积。求 和 。23yxexeAs2, 0 xx2, 0yy2, 0zzssdAVdVA电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析 例：在半径为 的球体区域中，设 。求： 在半径为 的球面上的面积分； 的散度； 在半径为 的球形区域中的体积分。rerFRF 解： srssdersdF3)(1)(13222rrrFrrrFr33434333RRVdVdVFVV3244RRRRsRRFF电磁场与电磁

21、波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析六、矢量场的旋度六、矢量场的旋度1. 1. 环量环量： 在矢量场中，任意取一闭合曲线 ，将矢量沿该曲线积分称之为环量。dlCFl可见：环量的大小与环面的方向有关。2. 2. 旋度旋度: :定义：一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环 的法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。表达式：max01rotlimd nlSFaFlS 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析旋度计算：以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：()()()xxyyzzFFaFaFa 10d()limlxSxFlFS xxyyzzFF aF aF a场矢量：1

22、dddddabbccddaabbccddalllllFlFlFlFlFl其中： 为x 方向的环量密度。()xFxzy旋度可用符号表示：rotFF dcba电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析dd ()abzlza1dzylFlFzFy ()()yzzyFFFyzFzyyz ()yzxFFSyz其中：ddbcylyaddcdzlzadd ()daylya可得：()yzxFFFyz()xzyFFFzx()yxzFFFxy同理：xzydcba所以：10d()limlxSxFlFS yyxxzzxyzFFFFFFFaaayzzxxy旋度公式：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章

23、矢量分析矢量分析为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式:xyzxyzaaaFxyzFFF 类似地，可以推导出在广义正交坐标系中旋度的计算公式： 对于柱坐标、球坐标，已知其拉梅系数，代入公式即可写出旋度的计算公式。1231231231 231231231uuuuuuhah ah aFhh huuuh Fh Fh F电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3. 3. 斯托克斯定理：斯托克斯定理：物理含义：物理含义： 一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。线积分。() ddSlFSFl电磁场与电磁波电磁场与电磁波第

24、第1章章 矢量分析矢量分析例：设有矢量 ，求矢量zyxexexyexyA42322A 在点 处的旋度。)3 , 2, 1 (PzyPeeA44)3,2, 1(解：zxyyzxxyzeyAxAexAzAezAyAA)()()(zxyyzeyAxAexA)(zyexyye)62(42电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析 在矢量场 中，矢量 沿任一闭合曲线 l 的线积分， 等于矢量 的旋度在 l 所限面积上的面积分，即A斯托克斯定理AA 设矢量 ，求该矢量沿图示闭合回路 的线积分 。xeyeAyx23ll dA 解： )23()()23(xdyydxdyedxexeyel dAlyxylxl4812462002dydx电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析22oxyl441)()(szzsldseesdAl dA 或 由于 zxyyzxxyzeyAxAexAzAezAyAA)()()( 则