向量复习很好学习教案

1、会计学1向量向量(xingling)复习很好复习很好第一页，共72页。2、向量、向量(xingling)的表的表示示AB 1、字母表示：AB或a2、坐标(zubio)表示：xyaiO(x,y)jAaxyjyi xa），（yx），（yxOA 第2页/共72页第二页，共72页。第3页/共72页第三页，共72页。第4页/共72页第四页，共72页。作法(zu f)（1）在平面内任取一点OoAB+ 已知向量 a , b, 求作向量ab位移位移(wiy)的合成可以看作向量加法的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。三角形法则的物理模型。还有没有还有没有(mi yu)其他的其他的做法？做法？第5页/共7

2、2页第五页，共72页。aboABC力的合成可以看作力的合成可以看作(kn zu)向量加法的向量加法的平行四边形法则的物理模型。平行四边形法则的物理模型。作法(zu f)（1）在平面内任取一点O同起点的对角线同起点的对角线BOCAab以同一点以同一点O为起点的两个已知向量为起点的两个已知向量 为邻边作为邻边作 OACB，则以为起点的对角线，则以为起点的对角线OC就是就是 的和的和ba、ba与第6页/共72页第六页，共72页。ObABba差向量差向量(xingling)的做的做法：法： 从一个点出发从一个点出发(chf)的两个向量的差的两个向量的差向量就是从减向量的终向量就是从减向量的终点指向被减

3、向量终点的点指向被减向量终点的向量。向量。 第7页/共72页第七页，共72页。 20013MABCMAMBMCADBECFOMOAOBOC 为重心 O为平面内任意一点ABCDEFM第8页/共72页第八页，共72页。ababab结论： 4 1,2812ab abababbbab ，为非零向量，平分 与 的夹角则（ ） A。 a=b B。 ab C。 aa，则的最大值，最小值第9页/共72页第九页，共72页。 2 11234233 120ACAOOCAOOCOAOCOCOAOAODADABACBDCDababababababab 可以表示成-若则 与 满足的条件若且 与 不共线， 则与方向关系？第

4、10页/共72页第十页，共72页。1212121 11221221 112212211.12e eeeRaeeeeeeeeeeee 如果 ，是平面 内两个不共线的向量，那么下列命题中错误的是（）+（ ，）可以表示平面 内所有向量（ ）+的实数 ， 有无数对（3）若向量+与+共线，则有且只有一个实数 使+（+）（4）若实数 ， 使+20 则 = =02,3平面向量(xingling)基本定理第11页/共72页第十一页，共72页。2.3.14.ADBEABCBCACAD BEBCABPAPBPOOPOAOBda 12121212，是边，中线，用基底，表示？ 设一条直线上三点 ， ， 满足， 为空间

5、一点，则用， 表示为？已知a=2e -3e， b=2e +3e，其中e， e 不共线c=2e -9e，问是否存在实数 ， 使bc与 共线2233dab 121212解：2e -3e2e +3eee/dckdkc 要使则存在实数 ，使得2233 1212即ee2ke -9ke222339kk 由平面向量基本定理得2 得，所以存在这样的实数 ，第12页/共72页第十二页，共72页。12PABOPOA OB 结论： 为中点则511OAOBPABOPOAOBOPOAOBABP 。已知， 不共线， 点在上，求证且变形且求证 ， ， 三点共线第13页/共72页第十三页，共72页。1.向量的共线条件（平行向

6、量基本定理）/0ababab bab 存在唯一一个实数 使 00ba注意： 1 若，则 不存在 0ba2 若则 存在但不唯一12211122/0/0baba aRbax yx yaxybxy ，其中，第14页/共72页第十四页，共72页。二、向量二、向量(xingling)的运的运算算（一）向量（一）向量(xingling)的加法的加法ABC三角形法则(fz)：ABCD平行四边形法则：ab2、坐标运算：、坐标运算：），（，），（设2211yxbyxa b ba a则），（2121yyxx1、作图、作图（二）向量的减法（二）向量的减法DBADAB2、坐标运算：），（，），（设2211yxbyxa

7、 b ba a则），（2121yyxx1、作图、作图平行四边形法则：abab+ab+ACBCAB第15页/共72页第十五页，共72页。aa（1）长度）长度(chngd)：（2 2）方向）方向(fngxing)(fngxing)： 时，当0异向与aa，时当0同向与aa时，当00aa（三）数乘向量（三）数乘向量(xingling)baba ）（aaa ）（aa、数乘向量的运算律：3：、数乘向量的坐标运算2的大小和方向：、 a1），（），（yxyxa第16页/共72页第十六页，共72页。5、平面向量、平面向量(xingling)基本定理基本定理22112121eeaaee使，有且只有一对实数这一平面

8、内的任一向量不共线向量，那么对于是同一个平面内的两个，如果向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 = 。baba4、共线向量基本定理、共线向量基本定理第17页/共72页第十七页，共72页。1、平面向量(xingling)数量积的定义：bacos|ba 2、数量积的几何(j h)意义：.cos|的乘积方向上的投影在与的长度等于babaaOABB1(四四) 数量数量(shling)积积abba）（ 1）（）（）（bababa2cbcacba ）（34、运算律:2121yyxxba3、数量积的坐标运算第18页/共72页第十八页，共72页。第19页/共72页第十九页，共72页。五、向量垂直五

9、、向量垂直(chuzh)的的判定判定01baba）（022121yyxxba）（六、向量六、向量(xingling)平行的判定平行的判定(共线向量共线向量(xingling)的判定的判定)）（）（0/1aabba），（），（，其中）（221112210/2yxbyxayxyxab |32211AByxByxA），则，（），（）若（ | a22yx 221221）（）（yyxx），则，（）设（yxa 2七、向量七、向量(xingling)的的长度长度，）（2|1aaa2|aa 八、向量的夹八、向量的夹角角|cosbaba向量表示向量表示坐标表示坐标表示向量表示向量表示坐标表示坐标表示222221

10、212121yxyxyyxx第20页/共72页第二十页，共72页。第21页/共72页第二十一页，共72页。AMDCNB第22页/共72页第二十二页，共72页。第23页/共72页第二十三页，共72页。C C-3 34123 21323abkkababkabab 、已知（， ）， （， ），当为何值时，（）与垂直？（ ）与平行？平行时它们是同向还是反向？第24页/共72页第二十四页，共72页。第25页/共72页第二十五页，共72页。第26页/共72页第二十六页，共72页。122121,602,32.oe eaeebeeab 例：设为两个单位向量，且夹角为，若，求 与 的夹角解：解： 2221212

11、2122124422eeeeeeeea71211141460cos44212221eeee 7a同理可得同理可得 7b27262322221212121eeeeeeeeba217727cosbaba=120第27页/共72页第二十七页，共72页。第28页/共72页第二十八页，共72页。 112112/ 2222123324211751cosabxxabababababababababa baabOPOAOBMOPMA MBOMAMB ， ，分别求若2，求则 1与的夹角， ，在直线上1 当最小时，求？2 求？第29页/共72页第二十九页，共72页。 103PABCPA PBPB PCPC PAP

12、ABCOABCABACOPOAABACPABCABCBCaCAb ABa b 1为所在平面上一点，若则 为的心？2为所在平面上一点，且动点P满足，则 的轨迹一定通过的心？中， =c且b cc aABC ，则的形状？垂内等边三角形第30页/共72页第三十页，共72页。第31页/共72页第三十一页，共72页。abOABba结论：空间任意两个向量都是共面向结论：空间任意两个向量都是共面向(min xin)量，所以它们可用量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向(min xin)量中

13、有量中有关结论仍适用于它们。关结论仍适用于它们。空间向量空间向量(xingling)(xingling)的运算的运算第32页/共72页第三十二页，共72页。平面(pngmin)向量概念(ginin)加法(jif)减法数乘运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak)()()(cbacbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律abba加法交换律bkakbak)(数乘分配律)()(cbacba加法结合律数乘:ka,k为正数,负数,零第33页/共72页第三十三页，共72页。推广(tugung):（1

14、 1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点向量的起点(qdin)(qdin)指向末尾向量的终点的向量；指向末尾向量的终点的向量；nnnAAAAAAAAAA11433221（2 2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。形，则它们的和为零向量。01433221AAAAAAAAn第34页/共72页第三十四页，共72页。ABCDA1B1C1D1GM 始点相同的三个始点相同的三个不共面向量不共面向量(xingling)之和，等之和，等于以这三个向量于以这三个向量(xingling)为棱的平为棱的平行六面

15、体的以公共始行六面体的以公共始点为始点的对角线所点为始点的对角线所示向量示向量(xingling)第35页/共72页第三十五页，共72页。一、共线一、共线(n xin)(n xin)向量向量: :零向量零向量(xingling)(xingling)与任意向量与任意向量(xingling)(xingling)共线共线. . 1.1.共线向量共线向量: :空间两向量互相平行空间两向量互相平行或重合或重合, ,则这些向量叫做共线向量则这些向量叫做共线向量( (或平行或平行向量向量),),记作记作ba/ 2.2.共线向量定理共线向量定理: :对空间任意两个对空间任意两个向量向量 的充要条件是存在实的充

16、要条件是存在实数数使使baobba/),(,ba共线共线(n xin)(n xin)向量定理与共面向量定理向量定理与共面向量定理第36页/共72页第三十六页，共72页。 推论推论: :如果如果 为经过已知点为经过已知点A A且平行且平行已知非零向量已知非零向量 的直线的直线, ,那么对任一点那么对任一点O,O,点点P P在直线在直线 上的充要条件是存在实数上的充要条件是存在实数t,t,满足等式满足等式OP=OA+t OP=OA+t 其中向量其中向量a叫做直线的叫做直线的方向向量方向向量. .llaaOABPa 若若P P为为A,BA,B中点中点, , 则则12 OPOAOB假如假如OP=OA+

17、tABOP=OA+tAB，则点，则点P P、A A、B B三点三点(sn din)(sn din)共线。共线。可用于证明可用于证明(zhngmng)(zhngmng)点共线点共线第37页/共72页第三十七页，共72页。二二. .共面向共面向(min xin)(min xin)量量: :1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平行于同一(tngy)(tngy)平平面的向量面的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .NoImageOAaa注意：空间任意注意：空间任意(rny)两个向量是共面的，但两个向量是共面的，但空间任意空间任意(rny)三个向量就不一定共面的了。三个向量就不一定共面的了。第38

18、页/共72页第三十八页，共72页。2.2.共面向量定理共面向量定理: :如果两个向量如果两个向量 不共线不共线, ,则向量则向量 与向量与向量 共面的充要共面的充要条件是存在实数对条件是存在实数对 使使, a byx,Pxayb p, a bOMabABAPp 注：可用于证明注：可用于证明(zhngmng)(zhngmng)三个向量共面三个向量共面第39页/共72页第三十九页，共72页。 推论推论: :空间一点空间一点P P位于平面位于平面MABMAB内的充内的充要条件是存在有序实数对要条件是存在有序实数对x,yx,y使使 或对空间任一点或对空间任一点O,O,有有 MPxMAyMB OPOMx

19、MAyMB注意：注意：证明空间四点证明空间四点P、M、A、B共面的两个依据共面的两个依据 存存在在唯唯一一实数对实数对,xyMPxMAyMB （） 使得(1)OPxOMyOAzOBxyz 其其中中，第40页/共72页第四十页，共72页。1 1、已知、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),a=(2,4,5),b=(3,x,y),若若ab,ab, 求求x,yx,y的值。的值。2 2、证明、证明(zhngmng)(zhngmng)：三向量：三向量a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2 共面；若共面；若a=mb+nca=mb+

20、nc，试求实数，试求实数m m、n n之值。之值。第41页/共72页第四十一页，共72页。1 1） 两个两个(lin )(lin )向量的夹角向量的夹角abbaba,0被唯一确定了，并且量的夹角就在这个规定下，两个向范围：bababa互相垂直，并记作：与则称如果,2,O OA AB Baabb空间空间(kngjin)(kngjin)向量的数量积向量的数量积向量向量a a与与b b的夹角记作：的夹角记作：第42页/共72页第四十二页，共72页。2 2）两个）两个(lin )(lin )向量的数量积向量的数量积注意注意(zh y)：两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向

21、量.零向量与任意向量的数量积等于零。零向量与任意向量的数量积等于零。cos,a ba ba b 第43页/共72页第四十三页，共72页。3 3）射影）射影(shyng)(shyng)eaeaABBAelABBABlBAlAllelaAB,cos,111111射影。方向上的正射影，简称或在上的在轴叫做向量，则上的射影在作点上的射影在点同方向的单位向量。作上与是，和轴已知向量BAleA1B1注意：是轴注意：是轴l l上的正射影上的正射影,A,A1 1B B1 1是一个可正可负的实数，是一个可正可负的实数，它的符号代表向量与它的符号代表向量与l l的方向的相对关系，大小代的方向的相对关系，大小代表在

22、表在l l上射影的长度。上射影的长度。第44页/共72页第四十四页，共72页。4)4)空间空间(kngjin)(kngjin)向量的数量积性质向量的数量积性质 aaababaeaaea2)30)2,cos) 1注意：注意：性质性质(xngzh)2(xngzh)2）是证明两向量垂直的依）是证明两向量垂直的依据；据；性质性质(xngzh)3(xngzh)3）是求向量的长度（模）是求向量的长度（模）的依据；的依据；对于非零向量对于非零向量 ，有：，有：,ab第45页/共72页第四十五页，共72页。5)5)空间向量的数量空间向量的数量(shling)(shling)积满足积满足的运算律的运算律 注意注

23、意(zh y)：分配律）交换律）()(3()2)()() 1cabacbaabbababa数量积不满足结合律数量积不满足结合律)()cbacba（第46页/共72页第四十六页，共72页。1 1、应用、应用 可证明两直线垂直，可证明两直线垂直，2 2、利用、利用 可求线段的长度。可求线段的长度。0baba22aa向量数量向量数量(shling)(shling)积的应用积的应用第47页/共72页第四十七页，共72页。空间空间(kngjin)(kngjin)向量正交分解及其坐标表示向量正交分解及其坐标表示空间向量基本定理：空间向量基本定理：如果三个向量如果三个向量a,b,c不共面不共面，那么对空间任

24、一向量，那么对空间任一向量p,存在有序存在有序实数组实数组x,y,z,使得使得p=xa+yb+zc.空间所有向量的集合空间所有向量的集合p|p=xa+yb+zc,x,y,zRa,b,c叫做空间的一个叫做空间的一个基底基底，a,b,c都叫做都叫做基向量。基向量。第48页/共72页第四十八页，共72页。二、空间二、空间(kngjin)直角坐标系直角坐标系 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个如果空间的一个基底基底的三个的三个基向量互相垂直基向量互相垂直，且，且长都为长都为1，则这，则这个基底叫做个基底叫做单位正交基底单位正交基底，常用，常用 i , j , k 表示。表示。则空间中任意一个向

25、量则空间中任意一个向量p可表示为可表示为 p=xi+yj+zk(x,y,z)就是向量就是向量p的坐标。的坐标。第49页/共72页第四十九页，共72页。则设),(),(321321bbbbaaaa;ab;ab;a;a b/;.ab;ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b112233,()ab ab abR112222/ababab1 122330a ba ba b第50页/共72页第五十页，共72页。2222123| aa aaaa2222123| bb bbbb1.1.距离距离(jl)(jl)公式公式（

26、1 1）向量）向量(xingling)(xingling)的长度的长度（模）公式（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。长度。第51页/共72页第五十一页，共72页。| ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()A Bdxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则111(,)A xyz222(,)B xyz（2 2）空间）空间(kngjin)(kngjin)两点间的距离公式两点间的距离公式终点坐标减终点坐标减起点坐标起点坐标

27、第52页/共72页第五十二页，共72页。cos,| | a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb2.2.两个向量夹角两个向量夹角(ji jio)(ji jio)公式公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a bab思考：当思考：当 及及 时，的夹角在什么范围内？时，的夹角在什么范围内？1cos,0 a b,10cos a b第53页/共72页第五十三页，共72页。第54页/共72页第五十四页，共72页。1 1、用空

28、间向量解决立体几何、用空间向量解决立体几何(ltjh)(ltjh)问题的问题的“三步曲三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何(ltjh)问题转化为向量问题；问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究）通过向量运算，研究(ynji)点、直线、平点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（化为向量问题）

29、（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形问题）（回到图形问题）第55页/共72页第五十五页，共72页。la二、怎样求平面二、怎样求平面(pngmin)(pngmin)法向量？法向量？第56页/共72页第五十六页，共72页。1 1、已知正方体、已知正方体ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为2 2，E E、F F分别是分别是BB1BB1、DD1DD1的中点，求证的中点，求证(qizhng)(qizhng)：（1 1）FC1/FC1/平面平面ADEADE（2 2）平面）平面ADE/ADE/平面平面B1C1FB1C1F证明：如图证明：如图1 1所示建立

30、空间所示建立空间(kngjin)(kngjin)直角直角坐标系坐标系D-xyzD-xyz，则有，则有D D（0 0，0 0，0 0）、）、A A（2 2，0 0，0 0）、）、C C（0 0，2 2，0 0）、）、C1C1（0 0，2 2，2 2）、）、E E（2 2，2 2，1 1）、）、F F（0 0，0 0，1 1），所以），所以 ) 1 , 2 , 0(1FC)0 , 0 , 2(DA) 1 , 2 , 0(AE设设 ， 分别分别(fnbi)(fnbi)是是平面平面ADEADE、平面、平面B1C1FB1C1F的法向量，则，的法向量，则， ， ),(1111zyxn ),(2222zyx

31、nnDAnAE第57页/共72页第五十七页，共72页。2、已知向量 则 上的单位向量为： 2 , 2, 1aa32,32,3132,32,31或同理可求) 2, 1 , 0(2n0) 1 , 2 , 0()2, 1 , 0(n11FC11nFC/1FC21/nn（1），又FC1平面(pngmin)ADE，平面(pngmin)ADE 平面(pngmin)ADE/平面(pngmin)B1C1F（2 2）yzxzyAExDA2002n02n11取取y=1y=1，则，则 )2, 1 , 0(1n第58页/共72页第五十八页，共72页。设直线设直线l,m的方向向量分别为的方向向量分别为a,b，平面，平面

32、， 的法向量分别为的法向量分别为u,v,则则线线平行：线线平行：lm a b a=kb;线面平行：线面平行：l au au=0;面面平行：面面平行： u v u=kv.线线垂直：线线垂直：l m a b ab=0;面面垂直：面面垂直： u v uv=0.线面垂直：线面垂直：l a u a=ku;三、有关三、有关(yugun)(yugun)结论结论第59页/共72页第五十九页，共72页。异面直线(zhxin)所成角的范围： 0,2ABCD1D结论结论(jiln)：coscos,CD AB |题型一：线线角题型一：线线角利用空间利用空间(kngjin)向量求空间向量求空间(kngjin)角角第60

33、页/共72页第六十页，共72页。题型二：线面角题型二：线面角直线直线(zhxin)与平面所成角的范围：与平面所成角的范围： 0,2ABOn题型二：线面角题型二：线面角直线直线AB与平面与平面所成的所成的角角可看成可看成(kn chn)是是向量与平面向量与平面的法向量所的法向量所成的锐角的余角，所以有成的锐角的余角，所以有 nABnABnAB,cossin第61页/共72页第六十一页，共72页。题型三：二面角题型三：二面角二面角的范围(fnwi)：0, 1n2n 2n 1ncos12|cos,|n n cos12|cos,|n n ABO关键：观察关键：观察(gunch)二面角的范围二面角的范围

34、第62页/共72页第六十二页，共72页。BAMNnab一、求异面直线一、求异面直线(zhxin)(zhxin)的距离的距离nnABnABABd,cos方法方法(fngf)(fngf)指导指导: :作直线作直线a a、b b的的方向向量方向向量a a、b b，求，求a a、b b的法的法向量向量n n，即此异面直线，即此异面直线a a、b b的公垂线的方向向量；的公垂线的方向向量；在直线在直线a a、b b上各取一点上各取一点A A、B B，作向量，作向量ABAB；求向量求向量ABAB在在n n上的射影上的射影d d，则异面直线，则异面直线a a、b b间的距离为间的距离为方法指导方法指导(zh

35、do):(zhdo):作直线作直线a a、b b的的方向向量方向向量a a、b b，求，求a a、b b的法的法向量向量n n，即此异面直线，即此异面直线a a、b b的公垂线的方向向量；的公垂线的方向向量；在直线在直线a a、b b上各取一点上各取一点A A、B B，作向量，作向量ABAB；求向量求向量ABAB在在n n上的射影上的射影d d，则异面直线，则异面直线a a、b b间的距离间的距离为为第63页/共72页第六十三页，共72页。|sin|nPAnPAnPAnPAPAPOd如图点如图点P为平面为平面(pngmin)外一点，点外一点，点A为平面为平面(pngmin)内的任内的任一点，平

36、面一点，平面(pngmin)的法向量为的法向量为n,过点过点P作平面作平面(pngmin)的垂的垂线线PO，记，记PA和平面和平面(pngmin)所成的角为所成的角为，则点，则点P到平面到平面(pngmin)的距离的距离n APO 二、求点到平面二、求点到平面(pngmin)的距离的距离第64页/共72页第六十四页，共72页。例例4、已知正方形、已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG平面平面ABCD，CG=2,E、F分别分别(fnbi)是是AB、AD的中点，的中点，求直线求直线BD到平面到平面GEF的距离。的距离。DABCGFExyznnPAd三、求直线与平面三、求直线与平面(pngmin

37、)间距离间距离第65页/共72页第六十五页，共72页。例例5、在边长为、在边长为1的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，M、N、E、F分别是棱分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中的中点，求平面点，求平面(pngmin)AMN与平面与平面(pngmin)EFDB的距离。的距离。ABCDA1B1C1D1MNEFxyznnPAd四、求平行平面四、求平行平面(pngmin)与平面与平面(pngmin)间距离间距离第66页/共72页第六十六页，共72页。怎样建立适当的空间怎样建立适当的空间(kngjin)直角直角坐标系？坐标系？怎样证明平面怎样证明平面ADE平面平面ACE？如何求平面如何求平面ADE、平面平面ACE的法向量？的法向量？一个平面的法向量有多少个？一个平面的法向量有多少个？能否设平面能否设平面ADE的法向量为的法向量为n n=(1,y,z)?这样做有什么好处？这样做有什么好处？第67页/共72页第六十七页，共72页。解：分别以解：分别以CB，CE所在所在(suzi)直线为直线为y,z轴，轴，C为原为原点建立空间直角坐标系点建立空间直角坐标系C-xyz,如右下图如右下图,设正三角形设正三角