第3章 谐振荷载反应

1、高等结构动力学第三章第三章高等结构动力学谐振荷载反应高等结构动力学高等结构动力学 0sinmv tkv tpt (3-2) 02sincos1sin1cpv tvtvtAtBtptk (3-8)初始条件 000vv0211pAk 0B 得 021sinsin1pv tttk (3-10)高等结构动力学反应比：动力的与静止的荷载作用反应比值 0/tttstvvRvpk图 3-1 从静止初始条件开始正弦波激励所引起的反应比（a）稳态；（b）瞬态；（c）总反应R(t)高等结构动力学 202sinpv tv tv ttm (3-13)阻尼体系运动方程 222012sincos121sin2costDD

2、pv teAtBtktt (3-19)高等结构动力学稳态谐振反应通常所关心的是式（3-19）第二项给出的稳态谐振反应202221( )(1)sin2cos(1)(2)ppvtttk (3-20)这个稳态位移反应的特性，可容易地用图3-2所示复平面中所绘出的两个相应旋转矢量来解释，它们在实轴上的分量之和，即为式（3-20）等号右端的两项。合成矢量 的实部给出了如下形式的稳态反应exp ()iit高等结构动力学( )sin()pvtt (3-21)ImttRe202)22 exp()(1(2)pi tk图 3-2 稳态位移反应exp ()iit高等结构动力学21222012pk稳态反应振幅 (3-

3、22)122tan ()1反应滞后于荷载的相位角为 (3-23)高等结构动力学动力放大系数D： 合成反应位移与 所引起的静位移比值21222012Dpk (3-24)图 3-4 相位角随阻尼和频率的变化图 3-3 动力放大系数随阻尼和频率的变化0p高等结构动力学再一次使用解的指数形式对求解稳态谐振反应是有意义的。考虑用指数形式描述谐振荷载的一般情况为 这里，是谐振荷载函数中的一个任意相位角。在涉及一般的谐振荷载时，尤其是可利用一系列谐振分量表示的周期荷载，对每一个谐振项必须说明其相位角。因此，采用复20( )2( )( )exp ()pv tv tv titm (3-25)高等结构动力学数比用

4、幅值和相位角要方便。本章所研究的只有一个谐振项，因此相位角可以任意取，为了简单可取为零。这样，在荷载表达式中就不需要包含此项。 方程（3-25）的特解及它对时间的一阶、二阶导数为 ( )exp()pvtGi t( )exp()pvti Gi t2( )exp()pvtGi t (3-26)高等结构动力学式中G是一个复常数。为了求G，将式（3-26）带入方程（3-25），消去各项中的 ,并用 代替m，用 代替 ，则可解出G为 exp()i t2k 2002221(1)(2)(1)(2)(1) (2)ppiGkik将其带入式（3-26）的第一式，并在复平面中绘出表示结果的两个向量，如图3-5所示。

5、 (3-27)高等结构动力学注意，与图3-2中相应的量相比，这两个向量的合成结果及相位角除了逆时针旋转了90度外是相同的。图中的这一差别符合谐振荷载 和 在图3-2和图3-5产生的结果之间的相位差。 注意， 是 的实部。0() exp()i pmi t0() exp()i pmi t0() sin()pmt0() exp()i pmi t在上述稳态谐振振动条件下，如图3-5所示的总反应为( )exp ()pvtit (3-28)高等结构动力学力的平衡要求惯性力、阻尼力、弹簧力之和等于说作用的荷载2( )( )exp ()( )( )exp ()( )( )exp ()pppIpDpSpftmv

6、tmitftcvticitftkvtkit 0( )exp()p tpi t利用式（3-28），这些力为 (3-29) (3-30)高等结构动力学高等结构动力学 2222122201222011222222121sin2cos1112sincos121112pv tttkpttk高等结构动力学2212220122212cos sinsincos1cos211pttk高等结构动力学 (3-34) 0cossincos2tDDptv teAtBtk (3-35) 000vv002122 1DppAkk012pBk 021sincoscos21tDDpv tetttk (3-36)高等结构动力学 0

7、11 cossin201sincos2ttv tR tetetpkR tttt (3-37) (3-38)高等结构动力学图 3-7 静止初始条件下共振荷载（高等结构动力学 geffmvcvkvmvtpt 0singgvvt 0sineffgpmvtt 00ggmvmDDvkk (3-39)高等结构动力学0singgvvt20singgvvt 20sineffgpmvt2020ggmvDD vk (3-40)高等结构动力学图 3-9 典型地震仪的示意图图 3-10* 动力放大系数随阻尼和频率的变化高等结构动力学图中=0.5,1时， 2D为常数图 3-11 对于谐振基底位移地震仪的反应高等结构动力

8、学总结：1、一个相对柔软的体系可以用作位移计，通过降低刚度或增加质量的办法可以扩大其使用范围；2、一个相对刚硬的体系可以用作加速度计，通过增加刚度或降低质量的办法可以扩大其使用范围。高等结构动力学高等结构动力学 0sintppt图 3-11 单自由度隔振体系（作用荷载）高等结构动力学 0sinpv tDtk 0sinsfkv tp Dt 00cos2cosDcp Dfcv ttp Dtkmax1122222max012sDfffp D2max012fTRDp (3-41) (3-42) (3-43) (3-44)高等结构动力学 0singg tvvt20s ingptvvDt图 3-12 单自

9、由度隔振体系（支座扰动） (3-44)高等结构动力学 2012sintgtvvDt2max012vTRDv (3-46) (3-47)高等结构动力学传导比（TR）212T RD图 3-13 振动传导比（作用荷载或支座扰动）高等结构动力学22222高等结构动力学2高等结构动力学 2222112 /12/ 121221stTRIEIEIEIEgfIE01IE2高等结构动力学图 3-14 隔振设计计算图高等结构动力学图 E3-1 在不平的桥面上行驶的车辆示意图3 1高等结构动力学高等结构动力学高等结构动力学高等结构动力学22mmDmm (3-53)ln/mnn mvv 00sin0 costDDDv

10、vv tetvt高等结构动力学基于相对位移反应的稳态振幅测量。激振频率为包括体系固有频率而跨越较宽范围的离散值，从而获得对应激振的振幅，做出典型频率-反应振幅曲线。图 3-15 中等阻尼体系的频率反应曲线高等结构动力学阻尼比0112计算时用00maxmax1122D (4-43*) (3-54)高等结构动力学112121 22220011222高等结构动力学222211812 2221221 高等结构动力学2211 222112221 222112122（3-58）221高等结构动力学图 3-16 每周实际的和等效的阻尼能高等结构动力学m ax0m axfpc （4-45*）0Dwp 。Dw高

11、等结构动力学把上式代入方程（4-45*）既可得到一个每周 能量损失表示的等效粘滞阻尼系数的表达式 ：2De qwc （4-46*）在大多数的情况下，用临界阻尼比来表示阻尼 要比阻尼系数更要方便：2 ckc（4-47*）图 3-17 弹性刚度与应变能高等结构动力学22 swk（4-48*） 4Dcswccw（4-49*）24se qwc （4-50*）s高等结构动力学：Dfk（4-51*）。22Dwk （4-52*） （4-53*）高等结构动力学高等结构动力学高等结构动力学高等结构动力学高等结构动力学特点: .时变的；B.惯性力反应类型:.强迫振动；B.自由振动数学上齐次 自由振动非齐次 强迫振

12、动体系:有限自由度/离散体系 单/多自由度无限自由度/连续体系数学上常微分方程偏微分方程高等结构动力学简化方法:.集中质量法 .广义位移法.有限元法（过硬系统）运动方程：力学上：平衡方程数学上：常微分方程偏微分方程获得方程方法： 1.直接平衡法 2.虚功原理 3.Lagrange 方程 4. Hamilton原理体系自身动力特性:强迫反应初始干扰:0t干扰力:高等结构动力学d21d,d PAsinBcostttDuhamel积分高等结构动力学自由振动解高等结构动力学(1)运转的装置能产生振荡力,而这些力可能在支承结构中产生有害的振动.(2)安置在明显振动结构上的精密仪器.3.地震仪原理刚度大 ag(加速度计)柔度大gv(位移计)高等结构动力学gv 四、非线性问题假定：线性加速度的假定 时间间隔内体系的动力特性不变五、程序总结 (1)初始速度和位移的值是已知的它们或是前一增量的终点值或是问题的初始条件值(2)利用这些值及结构特定的非线性特性，可找出时间间隔内的阻尼c(t)和则度k(t)以及阳尼力 和弹性力的当前值. (3)初始加速度由下式给出：(4)等效荷载增量 和等效刚度 可按以下方程计算 Dft sft1( )( )( )( )Dsv