正态分布及其经典习题和答案

1、25.3正态分布【知识网络】1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；3、通过实际问题，借助直观(如实际问题的直观图)，认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。【典型例题】例1: (1)已知随机变量 X服从二项分布，且 E (X) =2.4, V (X) =1.44,则二项分布的参数 n, p的值为( )A. n=4, p=0.6 B. n=6,p=0.4 C. n=8, p=0.3 D. n=24, p=0.1(2)正态曲线下、横轴上，从均数到十比的面积为()。A 95% B . 50% C . 97.5% D .不能确

2、定(与标准差的大小有关)(3)某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80,标准差为10,理论上说在80分到90分的人数是()A 32B16C8D 20(4)从1, 2, 3, 4, 5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为 。4(5)如图，两个正态分布曲线图： 31 为，©(x) , 2 为 Ux), 1 口,，_则出 人，5 0 2 (填大于，小于) -1例2:甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其X123Pa0.10.6Y123P0.3b0.3至少答对2题才算合格中的8题.规定每次考试都从备选题中随机

3、抽出3题进行测试,(I )求甲答对试题数 E的概率分布及数学期望；(n)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率例3:甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X和Y,其分布列如下:(1)求a,b的值；(2)比较两名射手的水平例4: 一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白， 输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为 这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解

4、释我们是否该“心动”-1 答案：B。解析：E(X)=np=2.4, V(X )=np(1 p)=1.44。2.答案：B。解析：由正态曲线的特点知。3.答案：B。解析：数学成绩是XN(80,102),80 -8090 -804. P(80 <X <90) =P , 10<Z < 10 卜P(0 <Z <1)0.3413,48x0.341316°答案：8.5。解析：设两数之积为X,X23456810121520P0.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1E(X)=8.5.5.答案：V, >。解析：由正态密度曲线图象的特征知。例

5、答案：解：(I)依题意，甲答对试题数 E的概率分布如下：1311 Q甲答对试题数E的数学期望EE = 0m，+1m±+2m，+3m，= Q301026 5(n)设甲、乙两人考试合格的事件分别为a、B,则C/C：十C3 60 十20 2C：C2+C； 56 + 56 14P(A)=- = = ，P(B)= -8A-L = 一.01231311P301026因为事件A、B相互独立,方法一：，甲、乙两人考试均不合格的概率为洞十景一看，C13)1203C13012015p=1-pAB =1一。=4445 4544 . 45答案:.甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为答：甲、乙两人至少有一人考

6、试合格的概率为 方法二：，甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为2 11 14 2 14 44P = P A B P A B P A B =3 15 3 15 3 15 4544答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为44.45例 答案：(1) a=0.3,b=0.4;(2) EX =1 0.3 2 0.1 3 0.6 -2.3, EY -1 0.3 2 0.4 3 0.3 =2DX =0.855, DY =0.6所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定_ X _100_50_20_100p167510046277154231设赢得的钱数为 Y,则丫的分布列为k6 -k设取出的红球数为X,则X

7、-H (6, 6, 12), P(X =k)=C6 C6,其中k=0,1,2,6C12E(Y) =100父工+50父色+20父匹 100M100=29.44,故我们不该“心动”。 46277154231【课内练习】1 .标准正态分布的均数与标准差分别为()。A 0与1 B .1与0 C .0与0 D .1与12 .正态分布有两个参数 N与仃，()相应的正态曲线的形状越扁平。A R越大 B . R越小 C .仃越大 D .仃越小1n - 23 .已在n个数据Xi,X2，Xn,那么一£ (Xi -X )是指n i 4A. er B. N C.仃2 D. R2 ()4 .设 £B

8、(n,p), E)=12, V(U) = 4,则 n 的值是。5,对某个数学题，甲解出的概率为2,乙解出的概率为-,两人独立解题。记 X为解出该题的人数，则 E34(X) = O6.设随机变量 匕服从正态分布 N (0,1),则下列结论正确的是 。P(|；a)=P(|/：a) P(|=a)(a 0)(2)P(|；a)=2P(，:a)1(a.0)P(|< a)=1 -2P(:二a)(a.0)(4)P(|< a)=1 -P(|a)(a.0)7.抛掷一颗骰子，设所得点数为X,则V (X) =。8.有甲乙两个单位都想聘任你，你能获得的相应的职位的工资及可能性如下表所示:甲单位1200140

9、016001800概率0.40.30.20.1乙单位1000140018002200概率0.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位并说明理由。9 .交5元钱，可以参加一次摸奖。一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱,摸奖者只能从中任取 2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和(设为 巴),求抽奖人获利的数学期望。10 .甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6 ,被甲或乙解出的概率为0.92.(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数自的数学期望和方差1.答案：A。解析：由标准正态分布的定义知。2.答案：Co解析

10、：由正态密度曲线图象的特征知。3 .答案：Co解析：由方差的统计定义知。4 .答案：4。解析：E«）=np=12, V仁）=np（1 p） = 45.答案:171 112 1 1 452 3 1一。解析： P(X =0) =- x- =一,P(X =1)=-x- +- x- =一 , P(X =2)=x=。12',34 123 4 3 4 123 4 2151 17E（X） =0 x- +1 黑一+2 x-=。 2122 126 .答案：（1）,（2）,（4）。解析：P（仁 |=a）=0。、351 7357 .答案：12。解析：P（X =k）=»,k =1,2,|,

11、6 ,按定义计算得 E（X） =5,V（X）=石。8答案：由于E （甲）=E （乙），V （甲）V （乙），故选择甲单位。解析：E （甲）=E （乙）=1400, V （甲）=40000, V （乙）=160000。9.答案：解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.设甲独立解出此题的概率为P1,乙为P2.则P （A） =P1=0.6, P（B）=P 210答案：解：因为 之为抽到的2球的钱数之和，则可能取的值为2, 6, 10.P住=2)=±="，P仁=6)=洛= 16, P仁=10) =与=C*45C*45C204528161E；： =26104545451621

12、845设n为抽奖者获利的可能值，则 n_5,抽奖者获利的数学期望为E" = E（：-5） = E：-5="-5 =-故，抽奖人获利的期望为-。555P(A B) =1 - P( A B) = 1 -(1 一 P1)(1 - P2) = P1P2 - RP2 = 0.92.0.6 P2 -0.6 P2 = 0.92 则 0.4 F2 = 0.32 即 P2 = 0.8(6 分)(2) P (- 二0)=P(A) P(B) =0.4 0.2 =0.08P(：二1)=P(A)P(B) P(A)P(B) =0.60.20.4 0.8 =0.44P( =2) =P(A) P(B) =

13、0.6 0.8 =0.48：的概率分布为：012P0.080.440.48E £ =0 M0.08 +1 M0.44 +2 乂0.48 =0.44 +0.96 =1.4,V(勺=(0 -1.4)2 M0.08 +(1 -1.4)2 父0.44 +(2 1.4)2父0.48 =0.1568 +0.0704 +0.1728 =0.4 ,或利用 V (为=E(髻)一(E1)2 =2.36 -1.96 =0.4 。【作业本】A组1.袋中装有5只球，编号为1,2, 3, 4, 5,从中任取3球，以X表示取出球的最大号码，则 E (X)等于 )C.答案:f(X)Wef(X)=22B.f(x)=2

14、1XD. f(x)=-e22 二Bo解析：选项 B是标准正态分布密度函数。A、4B、5C、4.5D、4.75答案：Co解析：X的分布列为X345P0.10.30.6故 E (X) =3 M 0.1+4 父 0.3+5 父0.6=4.5。2.下列函数是正态分布密度函数的是3.正态总体为 N =0,仃=-1概率密度函数 f(x)是D.既是奇函数又是偶函数A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数21答案：Bo 解析：f(x) =e 2。2二4 .已知正态总体落在区间(0.2,十受)的概率是0. 5,那么相应的正态曲线在 x=时达到最高点。答案：0.2。解析：正态曲线关于直线x= N对称，由题意知 N

15、=0.2。5 . 一次英语测验由40道选择题构成，每道有 4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得 3分，选 错或不选均不得分，满分120分,某学生选对一道题的概率为 0.7,求该生在这次测验中的成绩的期望为 ; 方差为°答案：84; 75.6。解析：设X为该生选对试题个数，Y为成绩，则XB (50, 0.7),刀=3X，E(X)=40 X 0.7=28 V(X)=40 X0.7X0.3=8.4故 E(刀)=E(3X)=3E(X)=84 V(刀)=V(3X)=9V(X)=75.66 .某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试2验

16、，若此人每次试验成功的概率为-,求此人试验次数 X的分布列及期望和方差。3解：X的分布列为X123221P399故 E(X) =1父2 +2父2 +3父=13, V(X)=1M2+4M2+9- (13)2 =日。 39993999817 .甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5,乙射击一次命中10环的概率为s,若他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为 X,则EX= - , Y为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s的值及Y的3分布列及期望.， r一,42答案：解：由已知可得 X B(2,s),故ex =2s=,所以s =.33有Y的取值可以是0, 1, 2.甲、乙两人命中10

17、环的次数都是0次的概率是/ 1 21、2(2)(3)136'甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是所以P(Y =0)13369 9 36甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是夕出)2甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是36'1所以 P(Y =2)=151故 p(Y = 1) = 1 P(Y = 0) P(Y = 2)=36 9362所以Y的分布列是Y123P131536236所以Y的期望是E (Y) =7。98 . 一软件开发商开发一种新的软件，投资 50万元，开发成功的概率为 0.9,若开发不

18、成功，则只能收回 10 万元的资金，若开发成功，投放市场前，召开一次新闻发布会，召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费10万元，召开新闻发布会成功的概率为0.8,若发布成功则可以销售 100万元，否则将起到负面作用只能销售60万元，而不召开新闻发布会则可能销售75万元.(1)求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率(2)求开发商盈利的最大期望值 .答案：解：(1)设A= "软件开发成功” ，B= "新闻发布会召开成功”软件成功开发且成功在发布会上发布的概率是 P(AB尸P(A)P(B)=0.72.(2)不召开新闻发布会盈利的期望值是£ =Y0x (10.9)+

19、(755。父0.9 =185(万元)；召开新闻发布会盈利的期望值是E2 =Y0M(10.9)+(10050)父0.72十0.9父(10.8)父(6050)10父0.9 = 24.8 (万元)故开发商应该召开新闻发布会，且盈利的最大期望是24.8万元.B组1 .某产品的废品率为 0.05,从中取出10个产品，其中的次品数X的方差是 ()A、0.5B、0.475C、0.05D、2.505970答案：Bo 解析：X-B (10, 0.05), V(XxiA2 .若正态分布密度函数f(x)=Le,(x£R),下列判断正确的是2二A.有最大值，也有最小值B.有最大值，但没最小值C.有最大值，但

20、没最大值D.无最大值和最小值答案：Bo3.在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布(100,36),那么考试成绩在区间88,112内的概率是)A. 0. 6826 B. 0. 3174 C. 0. 9544 D. 0. 9974答案:Co解析：由已知 X N (100, 36),P(88 :二 X <112) =P(88-100 r 112-100:Z _) = P(-2 <Z <2) =2P(Z M2)1 =0.9544。4.袋中有4个黑子3个白球，2个红球，从中任取 2个球，每取到一个黑球得 0分,每取到一个白球得1分，若取到一个红球则得 2分，用X表示得分数，则 E (

21、X)=；V(X)=X01234P111111 16336636.14165答案： 一； 。解析：由题意知， X可取值是0, 1,2, 3, 4。易得其概率分布如下:9162E(X)=0 X +1 X - + 2X + 3X + 4X =63366363614921.21211V(X)= 0 x -+1 x - + 2 x + 31 j 1一+ 4 x3614'2165一 I =<9 )162注：要求次品数的数学期望与方差，应先列出次品数5.若随机变量X的概率分布密度函数是中出(乂)的分布列。上e 8 ,(xWR),则 E(2X-1)=答案：-5。解析：仃=2,N = -2,E(2X _1)=2E(X) 1=2父(-2)1=-5。6. 一本书有500页，共有100个错字，随机分布在任意一页上，求一页上错字个数X的均值、标准差。1解： X-B(100,),. E(X