刚体的定轴转动和平面平行运动

1、第第5章章 刚体力学刚体力学 陈信义编陈信义编 2012.15.1 刚体的定轴转动和平面平行运动刚体的定轴转动和平面平行运动5.2 转动惯量的计算转动惯量的计算 平行轴定理平行轴定理 垂直轴定理垂直轴定理5.3 用刚体转动定理解题用刚体转动定理解题5.4 刚体转动的功和能刚体转动的功和能5.5 定轴转动刚体的角动量守恒定轴转动刚体的角动量守恒5.6 进动和陀螺仪进动和陀螺仪【演示实验演示实验】角速度的矢量性，转动定理的定性演角速度的矢量性，转动定理的定性演示示 ，质心运动（杠杆），茹科夫斯基转椅（和车，质心运动（杠杆），茹科夫斯基转椅（和车轮），直升飞机，车轮进动，陀螺仪的定轴性轮），直升飞机

2、，车轮进动，陀螺仪的定轴性 刚体：刚体：在运动和受力过程中，形状不发生变在运动和受力过程中，形状不发生变化的物体。化的物体。 把刚体想象地分割成许多质元，刚体可看成把刚体想象地分割成许多质元，刚体可看成是由这些质元组成的质点系是由这些质元组成的质点系 刚体的运动规律，可通过把牛顿运动定律应刚体的运动规律，可通过把牛顿运动定律应用到这种特殊的质点系上得到。用到这种特殊的质点系上得到。 刚体只是一个物理模型，实际上不存在。刚体只是一个物理模型，实际上不存在。 在整个运动和在整个运动和受力过程中，这种质点系中任何两个质点之间受力过程中，这种质点系中任何两个质点之间的距离都保持不变。的距离都保持不变。

3、5.1 刚体的定轴转动和平面平行运动刚体的定轴转动和平面平行运动 5.1.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 5.1.2 刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理 转动惯量转动惯量 5.1.3 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动5.1.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 刚体的运动：平动、转动刚体的运动：平动、转动 平动：平动：刚体中任意两个质点的连线在运动中刚体中任意两个质点的连线在运动中始终保持平行。始终保持平行。 刚体平动时各个质元的运动情况刚体平动时各个质元的运动情况完全相同完全相同 可以用刚体质心的运动来表达刚可以用刚体质心的运动来表达刚体的平动体的平动 除 转 轴 上 的除 转 轴 上 的质

4、元之外，质元之外，刚体各个质元都在转动平面内作圆刚体各个质元都在转动平面内作圆周运动周运动 定轴转动：定轴转动：垂直于转轴的平面；垂直于转轴的平面； iir v iira 转轴转轴转动平面转动平面转动平面：转动平面：应预先规定转轴的正方向应预先规定转轴的正方向垂直纸面垂直纸面向外为正向外为正【演示实验演示实验】角速度的矢量性角速度的矢量性5.1.2 刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理 转动惯量转动惯量 对惯性系中固定转轴对惯性系中固定转轴 z 上的任意一点，刚体上的任意一点，刚体这一质点系的角动量变化定理可表示为这一质点系的角动量变化定理可表示为tLMdd ：刚体所受对该点的合外力矩刚体所受对该

5、点的合外力矩M 等于刚体所有质等于刚体所有质元对该点角动量的矢量和。元对该点角动量的矢量和。L：刚体对该点的角动量，刚体对该点的角动量， ，等于刚体所有质等于刚体所有质元绕元绕 z 轴作圆周运动的角动量之和：轴作圆周运动的角动量之和：tLMdd 向向 z 轴作投影：轴作投影：tLMzzdd Mz ：刚体所受对刚体所受对 z 轴的合外力矩轴的合外力矩 Lz ：刚体绕刚体绕 z 轴的角动量轴的角动量 iiizrmL2 I iiirm2 iiirmI2mrId2 刚体绕刚体绕 z 轴的转动惯量轴的转动惯量 ： I tLMzzdd 刚体绕刚体绕 z 轴的角动量：轴的角动量： ILz tIdd IMz

6、刚体绕惯性系中固定转轴转动时，刚体的角刚体绕惯性系中固定转轴转动时，刚体的角加速度与所受对该轴的合外力矩成正比，与刚加速度与所受对该轴的合外力矩成正比，与刚体绕该轴的转动惯量成反比体绕该轴的转动惯量成反比刚体定轴转动定理：刚体定轴转动定理： 在同样力矩的作用下，转动惯量越大，刚体在同样力矩的作用下，转动惯量越大，刚体转动的角加速度就越小，角速度就越不容易改转动的角加速度就越小，角速度就越不容易改变。变。转动惯量表示刚体转动惯性的大小转动惯量表示刚体转动惯性的大小【演示实验演示实验】转动定理的定性演示转动定理的定性演示 对轴的力矩的计算：对轴的力矩的计算： 把外力分解成转动平面内的分力和垂直于转

7、把外力分解成转动平面内的分力和垂直于转动平面的分力。动平面的分力。 外力对转轴的力矩，就外力对转轴的力矩，就是转动平面内的分力对该是转动平面内的分力对该转轴的力矩：转轴的力矩： 垂直分力与转轴平行，对垂直分力与转轴平行，对O点力点力矩垂直于转轴，则对转轴力矩为零。矩垂直于转轴，则对转轴力矩为零。 sinfrMz 【思考思考】如何确定力矩的正、负号？如何确定力矩的正、负号？hffr 过质心轴：过质心轴：通过刚体质心的直线通过刚体质心的直线证明：证明：重力对过质心轴的合力矩等于零重力对过质心轴的合力矩等于零 gmrMiii mrmriiiC gmrMC 刚体各个质元所受重力对刚体各个质元所受重力对

8、O点的合力矩，等点的合力矩，等于整个刚体的重力作用于质心所产生的力矩。于整个刚体的重力作用于质心所产生的力矩。 如果如果O为质心为质心，rC0，M=0，即证。，即证。 grmiii 刚体各个质元所受重力对任刚体各个质元所受重力对任意一点意一点 O 的合力矩：的合力矩：mg5.1.3 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动 刚体在运动中，所有质元的刚体在运动中，所有质元的运动都平行于某一平面。运动都平行于某一平面。 平面平行运动平面平行运动 = 质心运动质心运动 + 绕垂直于运动平绕垂直于运动平面的过质心轴的转动面的过质心轴的转动 CCIM 刚体质心运动服从质心运动定理刚体质心运动服从质心运动定理

9、平面平行运动：平面平行运动： 刚体绕过质心轴的转动定理与定轴转动定理的刚体绕过质心轴的转动定理与定轴转动定理的形式相同：形式相同： 刚体的角速度刚体的角速度 （与转轴的选取无关）（与转轴的选取无关）证明：证明：过质心轴没有加速度，相对刚体质心静止的参过质心轴没有加速度，相对刚体质心静止的参考系是惯性系，考系是惯性系，MC = IC 成立。成立。 CCIM 结论：结论：无论过质心轴是否有加速度，刚体绕无论过质心轴是否有加速度，刚体绕过质心轴的转动定理与定轴转动形式相同，为过质心轴的转动定理与定轴转动形式相同，为过质心轴有加速度过质心轴有加速度aC，还要考虑惯性力力矩。，还要考虑惯性力力矩。 质元质元 mi所受惯性力所受惯性力 mi ( aC)，与重力的形式，与重力的形式相同。相同。 因此，因此，加速度加速度aC引起的惯性力对