固体物理第二、四、五章-电子论复习与习题

1、电子论复习电子论复习中山大学中山大学 物理科学与工程技术学院物理科学与工程技术学院电子论复习电子论复习第二章第二章 自由电子论自由电子论第五章第五章 半经典电子论（外场中电子）半经典电子论（外场中电子）第四章第四章 电子能带论电子能带论1、Drude假设与应用假设与应用2、Sommerfeld假设与应用假设与应用3、Sommerfeld展开的应用展开的应用1、Bloch定理定理2、近自由电子近似以及结论、近自由电子近似以及结论3、紧束缚近似以及应用、紧束缚近似以及应用4、能态密度、能态密度1、电子半经典论结论及应用、电子半经典论结论及应用2、电子在恒定电、磁场中的运动、电子在恒定电、磁场中的运

2、动3、导体、半导体、金属、半金属的、导体、半导体、金属、半金属的能带解释能带解释4、电子与外场的相互作用效应、电子与外场的相互作用效应电子论复习电子论复习第二章第二章 自由电子论自由电子论1、Drude假设与应用假设与应用1 1）自由电子近似：）自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性, ,与电子与电子发生碰撞。发生碰撞。2 2）独立电子近似：）独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。外电场为电子与电子之间的相互作用可

3、以忽略不计。外电场为零时零时, ,忽略电子之间的碰撞，两次碰撞忽略电子之间的碰撞，两次碰撞( (与离子实碰撞与离子实碰撞) )之间电子自之间电子自由飞行。由飞行。3） 玻尔兹曼统计玻尔兹曼统计: 自由电子气服从玻尔兹曼统计自由电子气服从玻尔兹曼统计;4）弛豫时间近似：）弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/ ， 称为称为弛豫弛豫 时间时间(即平均自由时间即平均自由时间)。每次碰撞时。每次碰撞时, 电子失去它在电场作用下获得的能电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅

4、是通过与原子实的碰撞实现的。（1）假设内容）假设内容电子论复习电子论复习（2）假设处理的问题）假设处理的问题欧姆定律欧姆定律E= j ，其中，其中E为外加电场强度、为外加电场强度、 为电阻率、为电阻率、j为电流密度。为电流密度。第二章第二章 自由电子论自由电子论1、Drude假设与应用假设与应用电子论复习电子论复习（1）假设内容）假设内容第二章第二章 自由电子论自由电子论2、Sommerfeld假设与应用假设与应用v 电子在运动中存在一定的散射机制。电子在运动中存在一定的散射机制。v 电子在一有限深度的方势阱中运电子在一有限深度的方势阱中运 动，电子间的相互作用忽略不计；动，电子间的相互作用忽

5、略不计； v 电子按能量的分布遵从电子按能量的分布遵从Fermi-Dirac统计；统计；v 电子的填充满足电子的填充满足Pauli不相容原理；不相容原理；得出了得出了费米能级，费米面费米能级，费米面等重要概念并成功地解决了电子比热等重要概念并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。比经典值小等经典模型所无法解释的问题。提供提供 (k)的计算依据的计算依据提供提供(E)的计算的计算电子论复习电子论复习（2）(k)和和(E)第二章第二章 自由电子论自由电子论2、Sommerfeld假设与应用假设与应用2121212122)2()()()2(222)(,222222)(2)(ZEm

6、LdEEdZEEmLmELEZmEkmkEkLkkE代入上式可以有一维：22222222)()(22)(,2242)(2)(ZmSdEEdZEEmSmESEZmEkmkEkSkkE代入上式可以有二维：21322323322332223332)2()()(3)2()2(3)(,22348234)(2)(ZEmVdEEdZEEmVmEVEZmEkmkEkVkkE代入上式可以有三维：注注1:系数系数2是因为考虑是因为考虑电子自旋电子自旋注注2：一维是线，有两个方向：一维是线，有两个方向注注2：二维是圆面：二维是圆面注注2：三维是球体：三维是球体电子论复习电子论复习（3）T=0K时的计算时的计算第二章

7、第二章 自由电子论自由电子论2、Sommerfeld假设与应用假设与应用2323220223322FNEnmVm系统的自由电子总数为系统的自由电子总数为 0Nf EE dE系统的总能量：系统的总能量： 00UEf EE dE电子论复习电子论复习T0K时的计算时的计算第二章第二章 自由电子论自由电子论2、Sommerfeld展开的应用展开的应用确定一维、二维、三维自由电子气在有限温度确定一维、二维、三维自由电子气在有限温度T时得费米能级时得费米能级这里我只考虑这里我只考虑T0的情况，因为的情况，因为T=0估计你们都清楚，我这里主要是展示如何估计你们都清楚，我这里主要是展示如何Sommerfeld

8、近似。近似。0)()(FermidEEEfN能，那就是要用：求首先需要明确，一看到 2206FBFf E Q E dEQ Ek TQEN(E)不同维度不一样，但是不同维度不一样，但是f(E)都是一样的，我们都是一样的，我们Sommerfeld近似就是处理近似就是处理f(E)的。的。 0Nf EE dE Q EE因为：根据根据Sommerfeld近似：近似：令：电子论复习电子论复习第二章第二章 自由电子论自由电子论2、Sommerfeld展开的应用展开的应用)( )(6)()()(22000FBEEEETkdEEEdEFFF 2206FBFEE dEk TE上式有：上式有：N)( )(6)(02

9、200FBFFFETkEEENN)( )()(602020FBFFFETkEEE取近似有：取近似有：2321212121)( )2()()(CEECEEmLdEEdZE一维：212121322321)( 2)2()()(CEECEEmVdEEdZE三维：)( )()(602020FBFFFETkEEE)(121 )21()(6)( )()(6202023022102002020FBFFBFFFBFFFETkECETkCEEETkEEE)(121 )21()(6)( )()(6202021022102002020FBFFBFFFBFFFETkECETkCEEETkEEE电子论复习电子论复习) 1

10、ln() 1ln(1111)()()(/222202020TkEBBFxBTkExxBTkExBTkEEBFBFBFBFeTmSkTkEeTmSkedxeTmSkeTdxkmSdEemSdEmSEfdEEEfNTkEExBF二维问题，根本不需要用二维问题，根本不需要用Sommerfeld近似。近似。 1ln1) 1ln(222TmknBFTkETmknTkEBBBFBBFeTkEeeeTmknn=N/S，即为单位面积的电子数，即为单位面积的电子数电子论复习电子论复习*3109.11 10mmkg341.055 10J s231.38 10/BkJ K2316.022 10Nmol例例: :已知

11、已知NaNa具有体心立方结构，点阵常数具有体心立方结构，点阵常数a aNaNa=0.4282 nm=0.4282 nm，试，试求其绝对零度时的费米能、费米速度、费米温度、单位体积求其绝对零度时的费米能、费米速度、费米温度、单位体积的电子气平均能，的电子气平均能， 第二章第二章 自由电子论自由电子论二、基本计算二、基本计算 第二章第二章 自由电子论自由电子论二、基本计算二、基本计算).(896. 15353)(106 . 3).(1005. 121)(16. 332)(1055. 210282. 412123000400160023/2220328310meVnEEEEKkETsmvEmveVn

12、mEmVNnAlNaFFBFFFFFF单位体积电子气平均能每个电子的平均能费米温度费米速度绝对零度下的费米能自由电子密度个自由电子，故原子有个原子，每个个晶胞有具有体心立方结构，每电子论复习电子论复习第四章第四章 电子能带论电子能带论1、Bloch定理定理在周期场中，描述电子运动的在周期场中，描述电子运动的Schrdinger方程为方程为 222UEm rrr为格矢为格矢 123123Raaa UUrrR为周期性势场，为周期性势场，这里，这里，uk(r) = uk(r+Rl) 是以格矢是以格矢Rl为周期的周期函数。为周期的周期函数。 ieu kkkrrr波函数有如下性质：波函数有如下性质： k

13、 Rr + Rr ie或或 布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子波函数为：一个自由布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子波函数为：一个自由电子波函数电子波函数 与一个具有晶体结构周期性的函数与一个具有晶体结构周期性的函数 的乘积。的乘积。rkie)(ruk电子论复习电子论复习第四章第四章 电子能带论电子能带论1、Bloch定理定理。的简约波矢和广延波矢。试求电子；电子波函数为，定理，若晶格常数为应当满足数一维周期场中电子波函lkkklaxfxxaixax)()()2(3cos)() 1 (Bloch)(，有定理解：由)()(Blochxeaxkikak.2 , 1 , 0,20sin;c

14、os1sin3coscos3cos3cos3cos3cos)() 1 (nanakakkaknakaxakaxaixaixaieaxaiaxikak；广延波矢简约波矢.2 , 1 , 0,201)()() 1()()()()()2(nankkelaxfalxfalxflaaxflaxfelaaxfaxikalllllikalk；广延波矢简约波矢电子论复习电子论复习第四章第四章 电子能带论电子能带论2、近自由电子近似、近自由电子近似v BornOppenheimer绝热近似：所有离子实都周期性绝热近似：所有离子实都周期性 地静止排列在其格点位置上，因而忽略了电子与声子地静止排列在其格点位置上，因

15、而忽略了电子与声子 的碰撞。的碰撞。v HatreeFock平均场近似：忽略电子与电子间的相互平均场近似：忽略电子与电子间的相互 作用，用平均场代替电子与电子间的相互作用。作用，用平均场代替电子与电子间的相互作用。v 所有离子实势场和其它电子的平均场是所有离子实势场和其它电子的平均场是周期性势场周期性势场, 电子在固体中将受到周期性势场的作用。电子在固体中将受到周期性势场的作用。多种粒子问题就简化成多电子问题多种粒子问题就简化成多电子问题多电子问题就简化成单电子问题多电子问题就简化成单电子问题（1）假设内容）假设内容电子论复习电子论复习第四章第四章 电子能带论电子能带论2、近自由电子近似、近自

16、由电子近似 需要指出的是，在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的。但是，需要指出的是，在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的。但是，周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件，在非晶固体中，电子同样有，在非晶固体中，电子同样有能带结构。能带结构。1）在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值）在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值Ek(0)为为k的抛物线；的抛物线；2）由于周期势场的散射，当电子的）由于周期势场的散射，当电子的Bloch波的波矢为波的波矢为k=2n/a时，时，Bloch波的入射波的入射波与反射波形成驻波，无法传播

17、；波与反射波形成驻波，无法传播；3）从而使得）从而使得E(k)函数在函数在k=2n/a处断开，本证能量发生突变，出现能量间隔处断开，本证能量发生突变，出现能量间隔2|Vn|；4）间隔内不存在允许的电子能级，称为禁带；其余区域仍基本保持自由电子时的）间隔内不存在允许的电子能级，称为禁带；其余区域仍基本保持自由电子时的数值，形成能带。数值，形成能带。（2）能隙的由来）能隙的由来电子论复习电子论复习第四章第四章 电子能带论电子能带论3、紧束缚近似、紧束缚近似（1）紧束缚与近自由的区别）紧束缚与近自由的区别1） 近自由电子模型（近自由电子模型（The Nearly Free Electron Mode

18、l）该模型假设晶体势很弱，晶体电子的行为很像是自由电子，我们可以在自该模型假设晶体势很弱，晶体电子的行为很像是自由电子，我们可以在自由电子模型结果的基础上用微扰方法去处理势场的影响，这种模型得到的由电子模型结果的基础上用微扰方法去处理势场的影响，这种模型得到的结果可以作为简单金属（如：结果可以作为简单金属（如：Na,K,Al）价带的粗略近似。）价带的粗略近似。2） 紧束缚模型（紧束缚模型（The Tight-Binding Model） 该模型假定原子势很强，晶体电子基本上是围绕着一个固定原子运动，与该模型假定原子势很强，晶体电子基本上是围绕着一个固定原子运动，与相邻原子存在的很弱的相互作用可

19、以当作微扰处理，所得结果可以作为固相邻原子存在的很弱的相互作用可以当作微扰处理，所得结果可以作为固体中狭窄的内壳层能带的粗略近似，例如，过渡金属的体中狭窄的内壳层能带的粗略近似，例如，过渡金属的3d能带。能带。Schrdinger方程：方程：2222dUxxExm dx电子论复习电子论复习第四章第四章 电子能带论电子能带论3、紧束缚近似、紧束缚近似（2）紧束缚的计算）紧束缚的计算例：用紧束缚方法处理体心立方晶系，求出：例：用紧束缚方法处理体心立方晶系，求出：1）s态电子能带；态电子能带；2）画出第一布里渊区）画出第一布里渊区111方向的能带曲线；方向的能带曲线；)2,2,2(aaa解：对于体心

20、立方，参考点为（解：对于体心立方，参考点为（0，0，0），则有），则有8个最近邻个最近邻电子论复习电子论复习2cos2cos2cos82cos2cos)(42cos2cos2cos2cos2)() 1 (22)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2akakakJCEakakeeJCEakeakeakeakeJCEeeeeeeeeJCEeJCEkEzyxssatszykaikaissatszkkaizkkaizkkaizkkaissatskkkaikkkaikkkaikkkaikkkaikkkaikkkaikkkaissatsnRikssatssxxyxyxyxy

21、xzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxnCsEEkaJsEEkkkkatszyx030),63(cos833111)2(其中能带化为：方向上，在电子论复习电子论复习例：用紧束缚发处理面心立方晶格例：用紧束缚发处理面心立方晶格s态电子，试导出其能带关系，并求出能带底的态电子，试导出其能带关系，并求出能带底的有效质量。有效质量。nRk issatssneJCEkE)(,2, 0 ,2,2, 0 ,2,2,2, 0,2, 0 ,2,0 ,2,2,2,2, 0,2, 0 ,2,0 ,2,2,0 ,2,2,2,2, 0,2, 0 ,2,0 ,2,2aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

22、aa2cos2cos2cos2cos2cos2cos4)(2cos)(2cos)(2cos)(2cos)(2cos)(2cos2akakakakakakJCEkkakkakkakkakkakkaJCEEzxyzyxssatszxzyyxyzzxyxssatss答：（答：（1）紧束缚近似处理是能带可以表示为：）紧束缚近似处理是能带可以表示为：面心立方晶格只取最近邻格点坐标有面心立方晶格只取最近邻格点坐标有12个：个：电子论复习电子论复习例：用紧束缚发处理面心立方晶格例：用紧束缚发处理面心立方晶格s态电子，试导出其能带关系，并求出能带底的态电子，试导出其能带关系，并求出能带底的有效质量。有效质量。

23、2222202222)44(4aJaaJkEmsskxsxxx2222202222)44(4aJaaJkEmsskysyyy2222202222)44(4aJaaJkEmsskzszzzjikkEjis, 02222aJs代入上式可以求的得：代入上式可以求的得：（2）当）当Es最小时为能带底，此时最小时为能带底，此时x,y,z均为均为0同时计算发现：同时计算发现：因此有效质量就可以等于因此有效质量就可以等于电子论复习电子论复习第四章第四章 电子能带论电子能带论4、能态密度、能态密度dSdEdkkEdSkEk)(|)()() 1 (kmEkmkEk222,2)(2132232232)2(4)2(

24、2)(2)(EmVkkmVEdSkEk利用自由电子近似验证一下：利用自由电子近似验证一下：2132232)2()()(EmVdEEdZE与第二章结果一致！与第二章结果一致！（2）画费米面：请注意我在第四章复习题中提到的两道题目）画费米面：请注意我在第四章复习题中提到的两道题目电子论复习电子论复习第五章第五章 外场中的电子外场中的电子1、电子半经典理论的应用、电子半经典理论的应用1E kv222*d Edkm ddt kF2271( )(coscos2)88E kkakamaaE已知一维晶体的电子能带可以写为已知一维晶体的电子能带可以写为，式中，式中为晶格常数，求：为晶格常数，求：1）布里渊区边

25、界）布里渊区边界2）能带宽度）能带宽度3）电子在波矢）电子在波矢k状态时的速度状态时的速度4）能带底部和顶部电子的有效质量）能带底部和顶部电子的有效质量 答：（答：（1）1,2,3nkna （2 2）能带宽度）能带宽度maxminEEE电子论复习电子论复习第五章第五章 外场中的电子外场中的电子1、电子半经典理论的应用、电子半经典理论的应用（2 2）能带宽度）能带宽度maxminEEE2( )1(sinsin2)04dE kkakadkma极值条件：极值条件：0)cos211 (sin2sin41sinkakakaka上式得唯一解是上式得唯一解是sin0ka 在第一布里渊区的解为在第一布里渊区的解为0,ka当当k=0时，时，E(k)取极小值，取极小值，Emin=E(0)=0当当k=/a