第一节 误差的基本概念

1、数学学院 信息与计算科学系第一节第一节 误误 差差定义：定义：数值计算方法是计算数学的一个分支数值计算方法是计算数学的一个分支, 又称又称数值分析或计算方法数值分析或计算方法, 它是研究用数字计算机求解它是研究用数字计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科, 是是程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础。程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础。应用计算机解决科学技术和工程问题的步骤：应用计算机解决科学技术和工程问题的步骤： (1) 提出实际问题提出实际问题 (2) 建立数学模型建立数学模型 (3) 选用数值计算方法选用数值计算方法 (4) 编

2、程上机计算得出数据结果。编程上机计算得出数据结果。数学学院 信息与计算科学系一、误差的来源一、误差的来源1. 模型误差模型误差:在建立数学模型过程中在建立数学模型过程中, 不可能将所有因素均考不可能将所有因素均考虑虑, 必然要进行必要的简化必然要进行必要的简化, 这就带来了与实际这就带来了与实际问题的误差。问题的误差。2. 观测误差观测误差: 测量已知参数时测量已知参数时,数据带来的误差。数据带来的误差。3. 截断误差截断误差: 在设计算法时在设计算法时,近似处理带来的误差。近似处理带来的误差。数学学院 信息与计算科学系函数函数 用泰勒多项式用泰勒多项式)(xf)1()0(!1)0(! 21)

3、0()0()()(2nnnxfnxfxffxP 近似代替时，有误差近似代替时，有误差)2()()!1(1)()()(1)1( nnnnxfnxPxfxR 其中其中 在在 与与 之间。这种误差就是截断误之间。这种误差就是截断误差。差。 0 x例如：例如：数学学院 信息与计算科学系4. 舍入误差舍入误差: 计算机的字长是有限的计算机的字长是有限的, 每一步运算每一步运算 均需四舍五入均需四舍五入, 由此产出的误差。由此产出的误差。例如：例如：用用3.14159近似代替近似代替 , 产生的误差产生的误差 0000026. 014159. 3 R就是舍入误差。就是舍入误差。数学学院 信息与计算科学系二

4、、浮点数二、浮点数任何一个浮点数均可表示为任何一个浮点数均可表示为UpLraaarwxptp,. 021其中，其中，r叫做这个数的基，叫做这个数的基，p是阶，是一个整数，是阶，是一个整数，取正数取正数,负数或零。负数或零。w是尾数，由是尾数，由t位小数构成，位小数构成， 若若 ，则该浮点，则该浮点数为规格化浮点数。数为规格化浮点数。tirai, 2, 11001a 对于一个特定的机器，尾数的位数对于一个特定的机器，尾数的位数t是固定的，是固定的，也称其精度有也称其精度有t个个r进位数字。进位数字。数学学院 信息与计算科学系二、误差的基本概念二、误差的基本概念 1. 1. 误差和误差限误差和误差

5、限 设设 是准确值是准确值x 的一个近似值的一个近似值, ,称称 为近似值为近似值 的绝对误差的绝对误差, , 简称简称误差误差. . 又简记又简记 . . xxxxe )( x)( xe e误差是无法计算的误差是无法计算的 ( (因为准确值因为准确值 x 不知道不知道), ), 但可但可以估计出它的一个上界。即以估计出它的一个上界。即 , ,称称 是近似值是近似值 的的绝对误差限绝对误差限, , 简称误差限简称误差限. .)( xxx )( x x误差是有量纲的，可正可负。误差是有量纲的，可正可负。数学学院 信息与计算科学系2. 相对误差和相对误差限相对误差和相对误差限实际计算中实际计算中,

6、 , 由于准确值由于准确值 x 总是未知的总是未知的, , 且由于且由于称称()()re xxxexxx ()()e xe xxx ()()e xxxxx 2( ()()e xx xe x 2()1()rrexex 为近似值为近似值 的的相对误差相对误差。简记为。简记为 。 x re数学学院 信息与计算科学系()()re xxxexxx 相对误差是无量纲的相对误差是无量纲的, , 也可正可负也可正可负, , 它的绝对值的它的绝对值的上界称为该近似值的上界称为该近似值的相对误差限相对误差限, , 记作记作)( xr ()()()rrxexxx 简记为简记为 r 即即是是 的平方项级的平方项级,

7、故当故当 较小时较小时, 常取常取)( xer)( xer数学学院 信息与计算科学系三、有效数字三、有效数字005.0002.0 xx00005.0000008.0 xx 如果近似值如果近似值 的误差限是某一位的半个单的误差限是某一位的半个单位位, ,该位到该位到 的第一位非零数字共有的第一位非零数字共有n 位位, ,我们称我们称 有有n 位位有效数字有效数字。 x x x = 3.1415926535, 取取 = 3.14 时，时，x所以所以 = 3.14 作为作为的近似值的近似值, ,有有3 位有效数字；位有效数字； x而取而取 =3.1416 时时, x所以所以 = 3.1416 作为作

8、为的近似值有的近似值有5 位有效数字位有效数字。 x定义：定义：例例数学学院 信息与计算科学系mnaaax10. 021 下面给出有效数字的另一等价定义下面给出有效数字的另一等价定义 用用 表示表示x 的近似值，并将的近似值，并将 表示成表示成 x x若其误差限若其误差限nmxx 1021,则称则称 具有具有 n 位位有效有效数字数字, , 这里这里 m 是整数是整数, a1, a2 , an 为为 09 中的一个数中的一个数字字, 且且a1 0. x定义：定义：数学学院 信息与计算科学系例例 = 3.1415926535 , 取取 = 3.14时，时， x 21021005.0002.0 x

9、x即即 m- n = - 2, m=1, n = 3, 所以所以 = 3.14 作为作为 近似值近似值时时, , 就有就有3 位有效数字。位有效数字。 x 数学学院 信息与计算科学系四四 误差限与有效数字的关系误差限与有效数字的关系证明证明mnaaax10. 021 故故111110)1(|10 mmaxa此定理说明，相对误差是由有效数字决定的。此定理说明，相对误差是由有效数字决定的。定理定理1 1111021)( nraxe有有n 位有效数字，位有效数字，。则其相对误差限为则其相对误差限为mnaaax10.021 01 a设近似值设近似值1111102110105 . 0)( nmnmraa

10、xxxxe数学学院 信息与计算科学系 已知已知nm 1021定理定理211111(1)10102(1)mnaa 设近似值设近似值mnaaax10. 021 的相对误差的相对误差,10)1(2111*nraxe则它至少有则它至少有n 位有效数字。位有效数字。111102(1)na )( xer)( xexxxr故故 至少有至少有n 位有效数字。位有效数字。 x证明证明数学学院 信息与计算科学系例例解解由于由于,5204 所以所以,41 a由定理有由定理有,%1 . 0102111 na即即,81104 n得得4 n要使要使 的近似值的相对误差限小于的近似值的相对误差限小于0.1% ,要取几位有效

11、数字。要取几位有效数字。20故只要对故只要对 的近似数取的近似数取4 位有效数字位有效数字,20472. 420 因此因此,可取可取其相对误差就可小于其相对误差就可小于0.1%,数学学院 信息与计算科学系 一、算术运算的误差一、算术运算的误差( *)()( *)( *)e xyd xydxdye xe y可见可见, 和、差的误差是误差之和、差和、差的误差是误差之和、差, 但是因为但是因为( *)( *)( *)xyxy所以和或差的误差限是误差限之和，以上的结论适用所以和或差的误差限是误差限之和，以上的结论适用于任意多个近似数的和或差。于任意多个近似数的和或差。第二节第二节 数值运算中误差的传播

12、数值运算中误差的传播1. 由于由于 x* 的误差的误差 e(x*) = x*- x 可看作是可看作是 x 的微分的微分, 即即dx = x* - x ,则：则：( *)( *)( *)e xye xe y数学学院 信息与计算科学系同理可得：乘、除运算的误差同理可得：乘、除运算的误差,以两数为例写出以两数为例写出112212222| | ()| | ()|,0()xxe xxe xexxx 112212222|() |(),0()xxxxxxxx 121221()()()e x xxe xxe x121221()()()x xxxxx数学学院 信息与计算科学系2. x* 的相对误差是的相对误差是

13、*( *)lnrxxdxexdxxx 它是对数函数的微分。它是对数函数的微分。设设 u = xy , 则则 lnu=lnx+lny , 因而因而dlnu = dlnx + dlny 这就是说这就是说, 乘积的相对误差是各乘数的相对误差之和乘积的相对误差是各乘数的相对误差之和,相对误差限是各乘数的相对误差限之和。相对误差限是各乘数的相对误差限之和。 r (u* ) = r (x* ) + r (y* ) 即即 er (u* ) = er (x* ) + er (y* )数学学院 信息与计算科学系即商的相对误差是被除数与除数的相对误差之差即商的相对误差是被除数与除数的相对误差之差, 但但相对误差限

14、是各乘数的相对误差限之和相对误差限是各乘数的相对误差限之和. 由此可得由此可得:任意多次连乘、连除所得结果的相对误差限等于各任意多次连乘、连除所得结果的相对误差限等于各乘数和除数的相对误差限之和。乘数和除数的相对误差限之和。 r (u* ) = r (x* ) + r (y* ) 同样同样, 若若 u = x/y, 则则 lnu = lnx lny, 因此因此dlnu = dlnx dlny 即即 er (u* ) = er (x* ) - - er (y* ) 数学学院 信息与计算科学系例例1xyuz 解因解因 lnlnlnlnln zyxu所以所以 lnlnlnlnlndzdydxdud

15、从而得到从而得到 lnlnlnlnlndzdydxdxd 设设 u 的相对误差限等于乘数的相对误差限等于乘数x、y和除数和除数z、的相对误差的相对误差限之和。限之和。求求u的相对误差限。的相对误差限。数学学院 信息与计算科学系 ()( )( )( *) ( *)e f xdf xfx dxfxe x 取绝对值得取绝对值得| ( *)| |( )| | ( *)|( )|( *)|( *)|( *)e f xfxe xfxxfxx 其中其中 为近似数为近似数 x* 的误差限。的误差限。二、函数运算误差二、函数运算误差设设 f (x)在在(a,b)内连续可微内连续可微, x 的近似值为的近似值为

16、x*, f (x)的近的近似值为似值为 f (x*), 其误差为其误差为e f(x*),误差限为误差限为 ()f x ()x 数学学院 信息与计算科学系*)(*)(*)(| )(|*)(xxfxxfxf *)(*)(*)(*)()()(*)(xxfxfxxfxfxfr 对多元函数对多元函数),(21nxxxfy 自变量的近似值为自变量的近似值为yxxxn*,*,*,21的近似值为的近似值为12*(*,*,*),nyf xxx 函数值函数值 y*的运算误差为的运算误差为可得出一元函数运算的误差限和相对误差限分别为：可得出一元函数运算的误差限和相对误差限分别为：1212121211( *) (*,

17、*,*)(,)(,)(*,*,*)(*)(*)nnnnnniiiiiie ye f xxxdf x xxf x xxf xxxe xe xxx数学学院 信息与计算科学系1212121211( *) (*,*,*)(,)(,)(*,*,*)(*)(*)nnnnnniiiiiie ye f xxxdf x xxf x xxf xxxe xe xxx,*),*,*,(21 iinxfxxxxf记记则上式简记为则上式简记为*)(*)(*)(11iniiiniixexfxexfye 数学学院 信息与计算科学系相对误差限相对误差限11*( *)*nniiiiffyxx|*|*)(*|*)(*)(11yxx

18、fyxxfyniiniir 于是误差限于是误差限*)(*)(*)(11iniiiniixexfxexfye 数学学院 信息与计算科学系例例1 计算多项式的值计算多项式的值: 每项每项 ak xk 有有k 次乘法运算次乘法运算, 因此计算因此计算 Pn (x) 共需共需 1122n nn 次乘法和次乘法和n次加法运算。次加法运算。 1210nnnnPxa xaxaxaxa如将如将 Pn (x) 写成写成: 一、简化计算步骤一、简化计算步骤, 减少运算次数减少运算次数第三节第三节 设计算法时应注意的原则设计算法时应注意的原则0( )nknkkPxa x 数学学院 信息与计算科学系用递推算法用递推算

19、法: 01, , 1,2, .nkkn kuauuxakn最终最终 Pn (x)=un 共需共需n 次乘法和次乘法和n次加法运算。次加法运算。 一般地要注意一般地要注意:能在循环外计算能在循环外计算, 就不要放在循环就不要放在循环内计算。内计算。 1210nnnnPxa xaxaxaxa数学学院 信息与计算科学系如用四位有效数字计算如用四位有效数字计算: 例例21701313.04 130.04结果只有一位有效数字；结果只有一位有效数字；两个相近的数相减两个相近的数相减,有效数字会大大损失。有效数字会大大损失。二、二、 注意避免两个相近数的相减注意避免两个相近数的相减170130.038404

20、8如改为：如改为：11170130.0384013.041317013 有四位有效数字有四位有效数字, 新算法避免了两个相近数的相减。新算法避免了两个相近数的相减。数学学院 信息与计算科学系例例3 计算计算 解解 用五位十进制计算机进行计算用五位十进制计算机进行计算:0.1被大数被大数“吃掉吃掉”了了,从而从而有有三、防止大数三、防止大数 “吃掉吃掉” 小数小数 10001524920.152492i 555524920.10.52492 100.000001 100.52492 1010001524920.1i 数学学院 信息与计算科学系如改为如改为 0.1 就没有被吃掉。就没有被吃掉。 这

21、也是构造算法时要注意的问题这也是构造算法时要注意的问题, 避免重要的参数避免重要的参数被吃掉。被吃掉。100010.15249210052492i 5550.01 100.52492 100.52502 105250510001524920.1i 数学学院 信息与计算科学系当当| x | y | 时时, 舍入误差会扩大舍入误差会扩大2( *)( *)*()*xyyxxyy 四、避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值。四、避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值。 例例430.5 10 的舍入误差均为的舍入误差均为, 而而的舍入误差为的舍入误差为:,则则 7311214100.5 1015 1010

22、xxxx 很小的数作除数有时还会造成计算机的溢出而停机。很小的数作除数有时还会造成计算机的溢出而停机。710 xy*yx*, yx|yx 数学学院 信息与计算科学系五、使用数值稳定的算法五、使用数值稳定的算法用分部积分公式得递推用分部积分公式得递推公式公式:近似值近似值 In* 的递推公式的递推公式: In* =1-nIn-1* 例例5110,0,1,2,nxnIx edxn 1110001*0.6321xIedxeI In=1-nIn-1 在运算过程中在运算过程中,舍入误差能控制在某个范围内的算法舍入误差能控制在某个范围内的算法称为数值稳定的算法称为数值稳定的算法,否则就称为不稳定的算法否则

23、就称为不稳定的算法. e(In* ) = - n e( In-1* ), 用四位有效数字计算用四位有效数字计算:误差误差e( In* )的递推公式的递推公式:数学学院 信息与计算科学系于是于是I7* , I8* 与精确值已经面目全非。与精确值已经面目全非。n精确值精确值 In 近似值近似值In*n精确值精确值 In 近似值近似值In*012340.632120.367870.264240.207270.170890.63210.36780.26420.20740.1704567890.145530.126800.112380.100930.091610.14080.11200.2180-0.72807.5520算法一算法一 In =1-nIn-1 ,100*10.6321IeI 代入得下表代入得下