选修4-4 2.3直线的参数方程

1、参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化1、准确把握曲线参数方程中的参数的意、准确把握曲线参数方程中的参数的意义及义及取值范围。取值范围。2、参数方程化普通方程的技巧：、参数方程化普通方程的技巧：（1）代入消去法。（）代入消去法。（2)加减消去法。加减消去法。（3）恒等式法：）恒等式法：cos2+sin2=1、 1+tan2=sec2、1+cot2=csc2、等、等3、普通方程化参数方程要恰当设参数。、普通方程化参数方程要恰当设参数。要点回顾要点回顾1、消掉参数消掉参数(代入消元，三角变形，配代入消元，三角变形，配方消元方消元)2、写出定义域写出定义域（x的范围）的范围）参数方程化为普

2、通方程的步骤参数方程化为普通方程的步骤在参数方程与普通方程的互化中，必须在参数方程与普通方程的互化中，必须使使x,y前后的取值范围保持一致。前后的取值范围保持一致。注意：注意：要点回顾要点回顾我们学过的直线的普通方程都有哪些?两点式:112121yyxxyyxx点斜式:00()yyk xxykxb1xyab一般式:0AxByCk 2121yyxxtan 一、课题引入一、课题引入000问题：已知一条直线过点M (x ,y )，倾斜角 ， 求这条直线的方程.解:00tan()yyxx直线的普通方程为00sin()cosyyxx把它变成00sincosyyxx进一步整理，得：, t令该比例式的比值为

3、 即00sincosyyxxt0cos(sinttyyt0 x=x整理，得到是参数）要注意:, 都是常数,t才是参数0 x0y 二二、新课讲授、新课讲授000问题：已知一条直线过点M (x ,y )，倾斜角 ， 求这条直线的方程.M0(x0,y0)M(x,y)e(cos ,sin )0M M xOy解:在直线上任取一点M(x,y),则00, )()x yxy（00(,)xxyyel设 是直线 的单位方向向量，则(cos,sin)e00/ ,M MetRM Mte 因为所以存在实数使即00(,)(cos,sin)xxyyt所以00cos,sinxxtyyt00cos,sinxxtyyt即，00c

4、ossinxxttyyt所以，该直线的参数方程为（ 为参数）310 xy 例例1：化直线：化直线l1的普通方程的普通方程为为参数方程，并说明参数的几何意义参数方程，并说明参数的几何意义,说明说明 t 的几何意义的几何意义.313 txty 例例2：化直线：化直线l2的的参数方程参数方程（t为参数）为普通方程，并求倾斜角，为参数）为普通方程，并求倾斜角， 说明说明 t 的几何意义的几何意义.。的一个参数方程是的一个参数方程是）直线）直线（）为参数）的倾斜角是（为参数）的倾斜角是（）直线）直线（012160.110.70.20.20cos20sin31000000 yxDCBAttytxB为为参参

5、数数）（ttytx 222210,M Mtelt 由你能得到直线 的参数方程中参数 的几何意义吗？|t|=|M0M|xyOM0Me解:0M Mte 0M Mte 1ee又是单位向量，0M Mt e t所以所以, ,直线参数方程中直线参数方程中参数参数t t的绝对值等于直的绝对值等于直线上动点线上动点M到定点到定点M0 0的的距离距离. .这就是这就是t的几何的几何意义意义,要牢记要牢记el我 们 知 道是 直 线的 单 位 方 向 向 量 ， 那么 它 的 方 向 应 该 是 向 上 还 是 向 下 的 ？ 还是 有 时 向 上 有 时 向 下 呢 ？是 直 线 的 倾 斜 角 ， 当 00又

6、sin表 示 e的 纵 坐 标 ， e的 纵 坐 标 都 大 于 0那 么e的 终 点 就 会 都 在 第 一 ， 二 象 限 ， e的 方 向就 总 会 向 上 。0M M 此时,若t0,则 的方向向上;若t0,则 的点方向向下; 若t=0,则M与点 M0重合.0MM 0MM 我们是否可以根据t的值来确定向量的方向呢?0M M 3 112332xtyt 133 txty 例例3：已知直线：已知直线l过过点点M0（1，3），倾斜角为），倾斜角为判断方程判断方程（t为参数）为参数）（t为参数）是否为直线为参数）是否为直线的参数方程？如果是直线的参数方程，指出方程中的参数方程？如果是直线的参数方程

7、，指出方程中的参数的参数t是否具有标准形式中参数是否具有标准形式中参数t的几何意义的几何意义.和方程和方程00 xxatyybt 0M M当当a2+b2=1时，则时，则t的几何意义是有向线段的几何意义是有向线段 的数量的数量. 2202222022()()axxab tabbyyab tab 22ab t （2）当）当a2+b2 1时，则时，则t不具有上述的几何意义不具有上述的几何意义. 可化为可化为 令令t = 练习：练习：1.直线直线3sin204cos20 xtyt （t为为参数）的倾斜角参数）的倾斜角 .34 2.写出经过点写出经过点M0（2，3），倾斜角为），倾斜角为的的直线直线的标

8、准参数方程，并且求出直线上与点的标准参数方程，并且求出直线上与点M0相距为相距为2的点的坐标的点的坐标.21.:10l xyyx 例 已知直线与抛物线交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。例1ABM(-1,2)xyO 三、例题讲解三、例题讲解 三、例题讲解三、例题讲解 如果在学习直线的参数方程之前如果在学习直线的参数方程之前,你会怎你会怎样求解本题呢？样求解本题呢？(*)010122 xxxyyx得得：解解：由由112121 xxxx，由由韦韦达达定定理理得得：10524)(1212212 xxxxkAB251251(*)21 xx，解解得得：由由25325

9、321 yy，)253,251()253,251( BA，坐坐标标记记直直线线与与抛抛物物线线的的交交点点2222)2532()2511()2532()2511( MBMA则则245353 的参数方程？的参数方程？）如何写出直线）如何写出直线（l1?221ttBA，所所对对应应的的参参数数，）如如何何求求出出交交点点（有有什什么么关关系系？，与与、）（213ttMBMAAB 探究12121212( ), .(1)2yf xMMt tM MM MMt直线与曲线交于两点，对应的参数分别为曲线的弦的长是多少？（ ）线段的中点对应的参数 的值是多少？121212(1)(2)2M Mttttt1121.

10、(3520,xttyt 一条直线的参数方程是为参数），另一条直线的方程是x-y-2 3则两直线的交点与点（1，-5）间的距离是4 3课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习1.直线参数方程2.利用直线参数方程中参数t的几何意义,简化求直线上两点间的距离.3.注意向量工具的使用.0cos(sinttyyt0 x=x是参数）探究探究:直线的直线的参数方程形参数方程形式是不是唯式是不是唯一的一的|t|=|M0M|00(xxattyybt为参数）221abt当时，才具有此几何意义其它情况不能用。 四、课堂小结四、课堂小结思考:在例在例3中，海滨城市中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长受台风侵袭大概持续多长时间？如果台风侵袭的半径也发生变化时间？如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：比如：当前半径为当前半径为250KM，并以，并以10KM/h的速度不的速度不断增大断增大)，那么问题又该如何解决？，那么问题又该如何解决？。的切线方程及切点坐标求过点中点坐标；求两点，、交于直线与圆的且倾斜角的余弦是已知经过ABCCByxA)2() 1 (2553) 3, 5(. 522），切点为（和），切点为（的切线为过点；172717130, 085158055)2()256,2544)(1 (yxxA的点的坐标是距离等于上与点为参数、直线练习：2) 3