第十一章动能定理

1、1.动能、功的计算2.动能定理3.动力学普遍定理的综合应用第一节第一节 动能的概念和计算动能的概念和计算 第二节第二节 功的概念和计算功的概念和计算 第三节第三节 动能定理动能定理 本章重点本章重点 第十一章 动能定理第四节第四节 功率功率功率方程功率方程 第五节第五节 机械能守恒定理机械能守恒定理第六节第六节 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用第一节第一节 动能的概念和计算动能的概念和计算 一、质点的动能一、质点的动能动能：物体机械运动强弱的一种度量。动能恒为正值。质量为m的质点，速度为v，2k21mvE 质点的动能质点的动能在国际单位制中动能的单位为Nm（牛米），即J（焦耳）

2、。动能的量纲dim Ek= M L2 T2二、质点系的动能二、质点系的动能 2k21iivmE将各质点的动能相加1.平动刚体的动能222k212121CiCiimvmvvmE222222k21)(212121ziiiiiiJrmrmvmE2.定轴转动刚体的动能3.平面运动刚体的动能 设P是某瞬时平面图形的速度瞬心 2k21PJE2mdJJCP2222k)(2121)(21dmJmdJECCdvC22k2121ccJmvE 例例11-1 四连杆机构如图所示，OA=DB=AB=l。质量均为m。若OA绕O轴以匀角速度转动，求系统的动能。ODABCvAvCvB解解: 杆杆OA和DB定轴转动，杆AB平动

3、Ek = EkOA + EkDB+ EkABvC = vA = vB= l 22KK613121mlmlEEDBOA2k2121mlmvECAB22k21612mlmlE265mlODABCvAvCvB例例11-2 周转轮系机构置于水平面内，曲柄OA质量为m，以角速度转动。定齿轮 O 的半径为R，动齿轮A 的半径为 r，质量为 m。求系统的动能。OA解解: 杆OA定轴转动，轮A平面运动， I为瞬心。IvAAvA= (R+r) = r ArrRA22K613121rRmrRmEOA22K212121rmmvEAA2KKK1211rRmEEEAOA243rRmOAIvAA例例11-3 图示椭圆规尺

4、AB的质量为 2m1 ，曲柄 OC的质量为m1 ，而滑块A和B的质量均为m2。已知OC=AC=CB= l ，曲柄和尺的质心分别在其中点上，曲柄绕O轴转动的角速度为常量。求图示瞬时系统的动能。解解:杆OA定轴转动，滑块A、B平动，杆AB平面运动， I为瞬心。OB CAtIvCvAvBIC = OC = llvCABtlvAcos2tlvBsin2221221K613121lmlmEOC2212K3421lmJEABIABOB CAtIvCvAvB2221KKBKKK)235(lmmEEEEEBAAOC222222KK2)(21lmvvmEEBABA第二节第二节 功的概念和计算功的概念和计算 一、

5、常力的功一、常力的功12cosFsW 在国际单位制中，功的单位为J（焦耳）。功是标量，可为正、负或零。功的量纲为dim W = M L T2L = M L2 T2二、变力的功二、变力的功12dsFsFWdd)cos(ddrFF，sFdsFWssMMMMdd)cos(212121rFF，)ddd(d2121zFyFxFWzyxMMMMrF三、合力的功三、合力的功nFFF,21nFFFF21RrFFFrFRd)(d212121nMMMMWnWWW21设质点M受力系的作用，力系的合力为 质点的合力的功drFdrFdrF212121MMnMM2MM1四、常见力的功四、常见力的功1重力的功重力的功g12

6、122121（2）质点系mghzzmgWCC)(21（1）质点mghzzmgzmgzFWzzzzz)(d)(d2121212弹性力的功弹性力的功 F= -k(r-ro) rorF ddWrrrrrrrrd2dd)d( MFrr0r2r1orrrd)d(21)d(21d2rrrrrrrkrrrkrrkWooood)(d)(d)(ddrrrrrF)(2)()(d)(2221202211221krrrrkrrrkWorro3平动刚体上力的功平动刚体上力的功2121ddRMMCCiMMWrFrF4定轴转动刚体上力的功定轴转动刚体上力的功力偶的功力偶的功ddddrFsFWd)(FzMd)(21FzMW式

7、中，Mz可为力偶矩矢在轴上的投影 5平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功ddd平面运动 = 随质心平动 +绕质心转动 将力系向刚体的质心C简化，主矢量FR =Fi ，主矩MC =MC（Fi）。 2121ddRCCCCMWrF7、内力的功W = F1dr1 + F2dr2Or2r1r12F2F1讨论:1)对于刚体F1 dr120 ； W=0。2)对于一般质点系，dr120。内力不作功.内力作功. = F1 (dr1-dr2)= F1 dr128、约束反力的功、约束反力的功.理想约束理想约束dr=0FdrW1= -W2W=0当满足约束反力作功之和为零的约束，称之为理想约束理想约束。除动滑动

8、摩擦约束约束外，静力学中介绍的约束均为理想约束。A例例114 一刚度系数为k的弹簧，放在倾角为的斜面上。弹簧的重物A上所有力的功的总和。摩擦力不计。上端固定，下端与质量为m的物块A相连，图示为其平衡位置。如使重物A从平衡位置向下沿斜面移动了距离s，试计算作用于解：解：作出重物A的受力图；WFFN重物W和弹力F作功sin1mgsW 平衡时 0sinkmgFkmgo/sin)2(2)(222122sskkWooso12212ksWWW已知AB=200mm，不计滑轮的大小及轴承摩擦。例例11-5 重9.8N的滑块放在光滑的水平槽内，一端与刚度系数k=50N/m的弹簧连接，另一端被一绕过定滑轮C的绳子

9、拉住。滑块在位置A时，弹簧具有拉力2.5N。滑块在20N的绳子拉力作用下由位置A运动到位置B，试计算作用于滑块的所有力的功之和。200mm150mmTTN 解：解：作出重物A的受力图；绳的拉力FT和弹力F作功。弹力作功：J5 . 1)25. 005. 0(5021)(2222221kWFm25. 02 . 005. 0m05. 0505 . 221绳的拉力作功：200mm150mmT2215. 0)2 . 0(2 . 0cosxxJ2d15. 0)2 . 0(2 . 02 . 0dcos222 . 00T2 . 00TxxxxFWFJ5 . 0TFFiWWWW第三节第三节 动能定理动能定理一、

10、质点的动能定理一、质点的动能定理 FvtmddrFrvddddtmrFvvddmWmv d)21d(2质点动能定理的积分形式sFEMMKvvdd2121WEE1k2k积分 质点动能定理的微分形式二、质点系的动能定理二、质点系的动能定理质点系内任一质点，质量为mi，速度为vi，作用在该质点上的力为Fi ，iiWEddk i=1，2，3，nniiiniWE1k1ddiiWEddkiWEddk求和 交换求微分和求和次序，质点系动能定理的积分形式：质点系动能定理的微分形式：iWEE1k2k3、动能定理为标量式，可求一个未知数，通常先求速度，1、动能定理涉及v、F、S，已知足够量，可求其余。2、在Wi中

11、，一般含内力的功，但不含理想约束力的功。再求导，求加速度。注意：注意：例例11-6 链条长l质量为m,展开放在光滑的桌面上。开始时链条静止，并有长度为a 的一段下垂。求链条离开桌面时的速度。解：解： 1 1、取系统为研究对象；2、作作功的力；4、用动能定理求运动量。3、运动分析：链条上各点速度大小相同；W1W2lalmgallmagmv2)()(2122带入质点系动能定理解得：)(22allgv121k2kWEE01kE22k21mvE下垂段重力作功为)(1allmagW桌面段重力作功为lalmgW2)(22W1W2例例11-7 长l的两均质杆AC、BC的质量均为m，由铰链C相连接，放在光滑水

12、平面上，开始时杆静止，求铰链C与地面相碰时的速度。ABCvcC与地面相碰时，A、B为速度瞬心。解：解： 1 1、取系统为研究对象；2、作作功的力；4、用动能定理求运动量。3、运动分析：杆作平面运动当铰链mgmg121k2kWEE01kE22222k3131212CCmvlvmlEmghhmgW2221ABCvcmghmvC231带入质点系动能定理解得：ghvC3IIIg例例11-8 在绞车的主动上作用一恒力偶M以提升重物，已知轴承的摩擦和吊索的质量均不计。绞车初始时静止，求当重物重物的质量为m；主动轴I和从动轴II连同安装在轴上的齿轮等21/i转动惯量分别为J1和J2，传动比；鼓轮的半径为R。

13、上升的距离为h时的速度v及加速度a。 解：解： 1 1、取系统为研究对象；2、作作功的力；4、用动能定理求运动量。3、运动分析：重物平动；轴I、轴II绕定轴转动；01kE22222112k22121vmJJE221,Rvi2222212k)(21RvmRJiJEhmMWg112Rihi/21RhmgRMiW)(12系统初始静止，动能重物升高h时系统的动能力的功IIIg121k2kWEERhRmMiRvmRJiJ)g(0)(212222212221)g(2mRJiJRhRmMivRvmgRMiRvamRJiJ)()(222212221)(mRJiJRmgRMia带入质点系动能定理对时间求导， I

14、IIg曲柄OA组成。曲柄OA在力偶矩为M的常力偶作用下由静止开始例例11-9 行星轮系位于水平面内，由半径为R的固定大齿轮O，半径为r、质量为m1的均质小齿轮A和质量为m2、长为（R+r）的之间的关系，并求其角加速度。运动。求曲柄的角速度与转角1解：解： 1 1、取系统为研究对象；2、作作功的力；4、用动能定理求运动量。3、运动分析：小齿轮平面运动，曲柄OA绕定轴转动；01kE212122k212121AAOJvmJErrR/)(12212212222k)(2121)(21)(3121rRmrRmrRmE初始瞬时系统静止，动能任意位置系统的动能小齿轮的角速度力偶矩作功 MW 2212)(129

15、2rRmm121k2kWEE1MrRmm2221)(1229212932mmMrRMrRmm221)(629221296rRmmM带入质点系动能定理对时间求一阶导数，1第四节第四节 功率功率功率方程功率方程 tWPdddddMWrFvFtrPvFFddZZMtMtWPdddd一、功率一、功率P 单位时间内力所作的功，称为功率。功率。 力的功率力矩的功率在国际单位制中，功率的单位为W，1000W=1kW。功率的量纲 dim P=ML2T-3iWEddkiiPtWtEddddk无用有用输入PPPtEPPPddk无用有用输入，两端除以dt，得二、功率方程二、功率方程三、机械效率三、机械效率输入功率有

16、效功率1 多级传动，总机械效率 =123n n增加，效率下降。 第五节第五节 机械能守恒定理机械能守恒定理一、势力场一、势力场场：某物理量作用的空间。场：某物理量作用的空间。力场：如果质点在某空间中的任一位置，都受到一个大小和力场：如果质点在某空间中的任一位置，都受到一个大小和方向完全决定于质点位置的力的作用，则这部分空间称为力场。方向完全决定于质点位置的力的作用，则这部分空间称为力场。势力场：如果质点在某力场中运动时，作用在质点上的力所势力场：如果质点在某力场中运动时，作用在质点上的力所作的功与质点路径无关，只取决于质点的初始位置和终止位置，作的功与质点路径无关，只取决于质点的初始位置和终止

17、位置，则该力场称为势力场，而质点所受的力称为有势力。则该力场称为势力场，而质点所受的力称为有势力。二、势能二、势能在势力场中，质点从点M运动到任选的点M0，有势力所作的功称为质点在点M相对于点M0的势能。用Ep表示。00)ddd(dPMMzyxMMzFyFxFErF点M0的势能等于零，称之为零势能点零势能点。 )(0PzzmgE)(PCOCzzmgE)(2202PkE2P2kE 1重力势能重力势能（2）质点系 2弹力势能弹力势能 取弹簧的自然位置为零势能点 （1）质点000dd221PMMMMrmfmErrrF1)11(d121221rrrrmfmrrmfm1rrmfmE21P3万有引力势能万

18、有引力势能质量为m1的质点受质量为m2物体的引力F作用， 选取无穷远处为零势能点。ormfmrF221drr1rro三、机械能守恒定律三、机械能守恒定律1、有势力作功和势能的关系M1M2MOxyz质点在势力场中运动，由点M1到达点M2，取M0为零势能点，W10 = W12+ W20，W12 = W10 - W20 =EP1 - EP22、机械能 质点系在某瞬时的动能和势能的代数和。E = Ek+ EP3、机械能守恒定律 质点在势力场内运动时机械能保持不变 。2p1p121k2kEEWEEEEEEE1p1k2p2k 注意：用机械能守恒定律解题时，一定要指明势能零点。四、有势力在直角坐标轴上的投影

19、与势能的关系四、有势力在直角坐标轴上的投影与势能的关系zEFyEFxEFzyxppp 例例11-10 质量为m长为l的均质杆AC和BC由理想铰链C连接，A端用理想铰链固定于水平面上 ，B 端置于光滑水平面上在铅垂平面内运动。设开始时， =60o，系统静止，求当 =30o时两杆的角速度。CAB 解：解： 1 1、取系统为研究对象；2、作作功的力；4、用机械能守恒定律求运动量。3、运动分析：杆AC绕定轴转动，杆CB作平面运动；WWCAB 取地面为重力零势点AC = BC= EK1= 000160sin60sin212mglmglEPIBC02P30sinmglE作出CB杆的瞬心IvCvB BC22

20、2K613121mlmlEACAC22202K12560sin12121mllmmlEBCBC2CKCK2K127mlEEEBAEK1+EP1 = EK2+EP2lgCAB IBCvCvB BC第六节第六节 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用eitF Fdd peiCmFaeiiCimFa一、动力学普遍定理比较一、动力学普遍定理比较1、动量定理；质心运动定理 矢量式；内力不出现；涉及到速度、时间和外力三种量；常用于求约束反力；动量、质心运动守恒用于求运动量。)(ddOeiOtFML其投影形式求含单个绕定轴转动刚体的物体系统的运动量，动量2、动量矩定理矢量式；内力不出现；涉及到速度

21、、时间和外力三种量；常用矩守恒用于求运动量。（1）刚体绕定轴转动微分方程用于求单个绕定轴转动刚体的动)(ezZMJF力学问题。（2）刚体平面运动微分方程，用于求单个作平面运动的刚体的动力学问题。)(eCCeyCexCMJFymFxmF 3、动能定理 iWEE1k2k涉及到速度、时间和路程三种量，标量式，内力作功一般不为零。常用于求速度量，通过求导求加速度量。二、综合应用题题型二、综合应用题题型1、用两个以上的定理求解一个问题2、综合运用静力学、运动学、动力学知识解题3、一题多解常用解题方法：用动能定理求运动量，用质心运动定理求力。常用解题方法：用动能定理求运动量，用质心运动定理求力。例例11-

22、10 匀质杆OA长l重W，其一端O用理想铰链固定如图所示。设开始时杆在水平位置，初速为零。求转过角时的角速度，角加速度以及铰链O处的约束反力。OA解：解： 1 1、取杆为研究对象；2、作受力图；3、运动分析：杆OA绕定轴转动，FOxFOyyOAC xW4、选择解题所用定理。OAC xyacnacsin20212lWJOlgsin3cos23lgcos432glacsin2322glacn121k2kWEE1.用动能定理求运动量cosWFagWOxcsinWFagWOycn解得:cos25. 0WFoxsin5 .2WFoy（2）用质心运动定理求力。WFOxOAC xyacnacFOy例例11-

23、11 均质杆AD和BD质量均为m，长为l，用铰D铰接置于光滑水平面上。其中 sin = 0.8 求开始运动时系统质心C的加速度. ABD 解：解：1 1、取系统为研究对象；2、作受力图；3、运动分析：杆作平面运动4、选择解题所用定理。WWFAFBABD mgmgFAFB系统水平方向动量守恒，C点沿y轴作直线运动。xyC1C2COsin2lyCcos2lyC sin2cos2llyCI1I201kE121k2kWEE)31(212KKmlEEBDAD)sin(sin21 212omglW作出杆AD、DB的速度瞬心I1、 I2代入动能定理表达式omglmglmlsinsin312将上式求导，并注意

24、 :cos22mgll lgcos开始运动时lgglaoCycos210ABD mgmgFAFBxyC1C2COI1I2例例11-12 铰车鼓轮的半径为r，重为G1，重心与轴承O的中心相重合，在其上作用一力偶矩为M的常力偶，使半径为R，重为G2的滚子沿倾角为的斜面由静止开始向上作纯滚动。绳子的拉力和轴承O处约束力。滚子质心C的速度、加速度、设绳子不能伸长且不计质量，求鼓轮由静止开始转过角度时，12TN1解：解：1 1、取系统为研究对象；2、作受力图；3、运动分析：轮C作平面运动，轮O4、选择解题所用定理。xoyo绕定轴转动；121k2kWEE（1）用动能定理求运动量01kE22222k212121OOCCCJJvgGERvCC/rvCO/22222k)(21)(2121rvJRvJvgGECOCCC一般