第五章平均指标与变异指标

1、第五章第五章 平均指标与变异指标平均指标与变异指标第一节第一节 平均指标平均指标 描述数据分布特征：描述数据分布特征： 一是数据分布的一是数据分布的集中趋势集中趋势，反映数据分布，反映数据分布各变量值向中心值靠拢或聚集的程度；各变量值向中心值靠拢或聚集的程度； 二是数据分布的二是数据分布的离中趋势离中趋势，反映数据分布，反映数据分布中各数据远离中心值的程度；中各数据远离中心值的程度； 三是数据分布的三是数据分布的形状形状，反映变量分布的偏，反映变量分布的偏斜程度和尖耸程度。斜程度和尖耸程度。平均指标（平均数）平均指标（平均数）平均指标反映同类现象的平均指标反映同类现象的一般水平一般水平，是总体

2、内各单位参差不，是总体内各单位参差不齐标志值的齐标志值的代表值代表值，也是对变量分布，也是对变量分布集中趋势集中趋势的测定。的测定。平均指标最能反映现象特征，大量的统计规律以平均指标的平均指标最能反映现象特征，大量的统计规律以平均指标的形式表现出来的。形式表现出来的。总体各单位的总体各单位的同质性同质性和某种标志值在各单位的和某种标志值在各单位的差异性差异性是计算是计算平均数的前提。平均数的前提。数据集中区数据集中区变量变量xx 平均指标平均指标就是将总体各单位某一数量标志就是将总体各单位某一数量标志差异抽象化差异抽象化，寻找出的数据，寻找出的数据一般水平一般水平或或平平均水平均水平，它是数据

3、和代表值或中心值，描，它是数据和代表值或中心值，描述了数据分布的述了数据分布的集中趋势集中趋势。 取得平均指标的方法通常有两种：取得平均指标的方法通常有两种： 一是从总体各单位变量值中抽象出具有一一是从总体各单位变量值中抽象出具有一般水平的量，这个量不是各个单位的具体般水平的量，这个量不是各个单位的具体变量值，但要反映总体各单位的一般水平，变量值，但要反映总体各单位的一般水平，这种平均数称为这种平均数称为数值平均数数值平均数。数值平均数。数值平均数有算术平均数、调和平均数、几何平均数有算术平均数、调和平均数、几何平均数等形式。等形式。 二是先将总体各单位的变量值按一定顺序二是先将总体各单位的变

4、量值按一定顺序排列，然后取某一位置的变量值来反映总排列，然后取某一位置的变量值来反映总体各单位的一般水平，把这个特殊位置上体各单位的一般水平，把这个特殊位置上的数值看作是平均数，称为的数值看作是平均数，称为位置平均数位置平均数。位置平均数有众数、中位数、四分位数等位置平均数有众数、中位数、四分位数等形式。形式。 这些平均数虽然都用来反映现象的一般水这些平均数虽然都用来反映现象的一般水平，但它们所反映的一般水平有不同的意平，但它们所反映的一般水平有不同的意义，同时每种平均数无论从计算方法，还义，同时每种平均数无论从计算方法，还是适用场合上都有各自不同的特点。是适用场合上都有各自不同的特点。平均指

5、标的特点平均指标的特点 （1）平均指标体现总体）平均指标体现总体同质性同质性 计算平均指标的各单位必须具有同类性质，计算平均指标的各单位必须具有同类性质，这是计算平均指标的前提。这是计算平均指标的前提。 （2）平均指标是对数量标志在总体单位）平均指标是对数量标志在总体单位之间数值之间数值差异抽象化差异抽象化 （3）它是说明总体综合数量特征的一个）它是说明总体综合数量特征的一个代表值代表值 反映总体某一数量标志的代表性水平。反映总体某一数量标志的代表性水平。平均指标的作用平均指标的作用 （1）平均指标可以消除因总体范围不同而带来的总体数量差异，从而使不同的总体具有可比性。 （2）同一总体在不同时

6、间上的平均指标可以反映现象总体的发展变化趋势。 （3）利用平均指标可以分析现象之间的依存关系或进行数量上的推算。 （4）平均指标可以作为研究和评价事物的一种数量标准或参考。 在各项管理工作中，各种定额多是以实际平均数为基础来制定的。二、算术平均数二、算术平均数 算术平均数也称为算术平均数也称为均值均值，是变量的所有取，是变量的所有取值的总和除以变量值的个数的结果。值的总和除以变量值的个数的结果。 算术平均数是平均指标中最重要的一种，算术平均数是平均指标中最重要的一种，它是所有平均指标中应用它是所有平均指标中应用最广泛最广泛的平均数。的平均数。 它的计算方法是与许多社会经济现象中个它的计算方法是

7、与许多社会经济现象中个别现象与总体现象之间存在的客观数量关别现象与总体现象之间存在的客观数量关系相符合的。系相符合的。 计算算术平均数时要求各变量值必须是计算算术平均数时要求各变量值必须是同质同质的，分子与分母必须属于同一总体。的，分子与分母必须属于同一总体。在计算算术平均数时，分子与分母在经在计算算术平均数时，分子与分母在经济内容上有着从属关系，即分子数值是济内容上有着从属关系，即分子数值是分母各单位标志值的总和。也就是说，分母各单位标志值的总和。也就是说，分子与分母具有分子与分母具有“一一对应一一对应”的关系，的关系，有一个总体单位必有一个标志值与之对有一个总体单位必有一个标志值与之对应。

8、只有这样计算出的平均指标才能表应。只有这样计算出的平均指标才能表明总体的一般水平。明总体的一般水平。 平均指标平均指标与与强度相对指标强度相对指标表现出性质上表现出性质上的差异。的差异。 强度相对指标是两个有联系的强度相对指标是两个有联系的不同总体不同总体的总量指标对比，这两个总量指标没有的总量指标对比，这两个总量指标没有依附关系，而只是在经济内容上存在客依附关系，而只是在经济内容上存在客观联系。观联系。 以此标准来衡量，职工平均工资、人均以此标准来衡量，职工平均工资、人均粮食消费量等是平均指标；而人均收入、粮食消费量等是平均指标；而人均收入、人均粮食产量是强度相对指标。人均粮食产量是强度相对

9、指标。 总体平均数是根据总体各个单位的标志值或标志特征计算的，反映总体一般水平的指标，用 字母 表示。 样本平均数是由样本各个标志值或标志特征计算反映样本一般水平的指标，用符号 表示，多数情况下我们计算的是样本平均数。 由于所掌握的统计资料的不同，利用上述公式进行计算时，可分为简单算术平均数和加权算术平均数两种。Xx简单算术平均数：简单算术平均数：nxx例如：某机械厂某生产班组有例如：某机械厂某生产班组有10名工人，生产某种名工人，生产某种零件，每个工人的日产量分别为零件，每个工人的日产量分别为45件、件、48件、件、52件件、62件、件、69件、件、44件、件、52件、件、58件、件、38件

10、、件、64件，件，计算工人平均日产量。计算工人平均日产量。1064385852446962524845x件）(5310532加权算术平均数加权算术平均数ffx某厂机械车间有某厂机械车间有200名工人，每人每天生产的零件名工人，每人每天生产的零件数如表所示，试求平均每个工人日产零件数。数如表所示，试求平均每个工人日产零件数。每人日产零每人日产零件数（件）件数（件）151918171620合计合计工人数工人数（人）（人）102036604430 200 比重比重（%）1522301810510015032061210808366003598fxfxxffff0.751.603.06 5.40 4.

11、18 3.0017.99x加权算术平均数加权算术平均数fxx2)( 某地农民家庭收入情况如表所示，计算平均收入。某地农民家庭收入情况如表所示，计算平均收入。人均纯收入人均纯收入（元）（元）1000以下以下400050003000400020003000100020005000以上以上合计合计农民数农民数（人）（人）4479236260223158 1000组中值组中值550045003500250015005002200011850059000091000010035008690003513000fxfxxff399439436320121351242175884 43940 21723968

12、7 6238107021802831000 x人均纯收入人均纯收入（元）（元）1000以下以下400050003000400020003000100020005000以上以上合计合计农民数农民数（人）（人）4479236260223158 1000 2 1 0-1-2-3-132 -158 -236 0 223 31613fiAx xf 500 1500 25003500 4500 5500 iAx 351335001000100013AiffiAxx2022-5-13第三章 综合指标16简单算术平均数简单算术平均数 5 5名工人日产零件数为名工人日产零件数为1212，1313，1414，14

13、14，1515件，件，计算平均每人日产量。计算平均每人日产量。 用统计功能计算用统计功能计算 开机，开机，2ndF2ndF，ONON，在，在0 0的上方出现的上方出现STATSTAT 12 12，M+M+；1313，M+M+；1414，M+M+；1414，M+M+；1515，M+M+； 出现结果出现结果13.613.6 下一页x2022-5-13第三章 综合指标17 加权算术平均数：加权算术平均数： 用统计功能算用统计功能算： 2ndF，ON， 20，M+；21， ，4，M+；22， ，6， M+； 23， ，8，M+； 24， ，12，M+； 25， ，10，M+；26， ，7， M+； 2

14、7， ，2，M+； ，结，结果为果为23.88x权数权数，是分布数列中的频数，对求平均数具有权衡是分布数列中的频数，对求平均数具有权衡轻重的作用。轻重的作用。权数权数(1) (2)(3)X456合计合计频数频数 频率频率(%)10201025.050.025.040100.0X456合计合计频数频数 频率频率(%)20402025.050.025.080100.0X456合计合计频数频数 频率频率(%)20101050.025.025.040100.0 =5 =5 =4.75 频率分布变了，均值也变。因此，在加权平均频率分布变了，均值也变。因此，在加权平均数中真正数中真正起决定作用的是频率起决

15、定作用的是频率，而非，而非频数频数。xxx算术平均数的数学性质算术平均数的数学性质 算术平均数有以下数学性质：算术平均数有以下数学性质： （1）各变量值与其算术平均数的离差之和等）各变量值与其算术平均数的离差之和等于零，即：于零，即： （2）如果对每个变量值加或减一个任意数）如果对每个变量值加或减一个任意数A，则算术平均数也增加或减少则算术平均数也增加或减少A，即：，即： 0)(xx0)(fxxAxnAx)(AxffAx)(（3）如果对每个变量值乘以或除以一个任）如果对每个变量值乘以或除以一个任意数意数A（A0），则算术平均数也乘以或除），则算术平均数也乘以或除以以A，即：，即：（4）各变量值

16、与其算术平均数的离差平方）各变量值与其算术平均数的离差平方和最小，即：和最小，即：xAnAxxAfAxfAxnAx/AxffAx min)(2xxmin)(2fxx算术平均数的优缺点算术平均数的优缺点 算术平均数优点：算术平均数优点： 一是可以利用算术平均数来一是可以利用算术平均数来推算总体标志总量推算总体标志总量，因为算术平均数与变量值个数的成绩等于总体标因为算术平均数与变量值个数的成绩等于总体标志总量；志总量； 二是算术平均数的数学性质可知，算术平均数在二是算术平均数的数学性质可知，算术平均数在数理上具有数理上具有无偏性和有效性无偏性和有效性（方差最小）的特点，（方差最小）的特点，这使得算

17、术平均数在统计推断中得到了极为广泛这使得算术平均数在统计推断中得到了极为广泛的应用；的应用； 三是算术平均数具有三是算术平均数具有良好的代数运算功能良好的代数运算功能，即分，即分组算术平均数的算术平均数总体算术平均数。组算术平均数的算术平均数总体算术平均数。算术平均数局限性算术平均数局限性一是算术平均数一是算术平均数易受特殊值易受特殊值（特别大或特别小的（特别大或特别小的值）值）的影响的影响，从而影响对总体一般水平的代表性；，从而影响对总体一般水平的代表性；二是根据组距数列计算算术平均数时，由于组中二是根据组距数列计算算术平均数时，由于组中值具有假定性而使得计算结果只是一个近似值，值具有假定性

18、而使得计算结果只是一个近似值，尤其当组距数列存在尤其当组距数列存在开口组开口组时，算术平均数的代时，算术平均数的代表性会值得商榷。表性会值得商榷。三、调和平均数三、调和平均数 1 1调和平均数的涵义调和平均数的涵义 从数学形式上看调和平均数具有独立的形式，从数学形式上看调和平均数具有独立的形式，它是各变量值它是各变量值倒数倒数的算术平均数的的算术平均数的倒数倒数，因而，因而也称为也称为倒数平均数倒数平均数。 在实际工作中，调和平均数更多以算术平均数在实际工作中，调和平均数更多以算术平均数的变形而存在。实际应用中经常会遇到只有各的变形而存在。实际应用中经常会遇到只有各组变量值和各组标志总量而组变

19、量值和各组标志总量而缺少总体单位数缺少总体单位数的的情况，这时就要用调和平均数法计算平均指标，情况，这时就要用调和平均数法计算平均指标，其计算形式有其计算形式有简单调和平均数简单调和平均数和和加权调和平均加权调和平均数数两种。两种。简单调和平均数：简单调和平均数：xnxH1例如：在蔬菜市场上某种蔬菜的价格为：例如：在蔬菜市场上某种蔬菜的价格为：早晨，早晨，0.80元元/斤；中午，斤；中午，0.50元元/斤；斤；晚上，晚上，0.30元元/斤。若苏闻早、中、晚各斤。若苏闻早、中、晚各买此种蔬菜买此种蔬菜1元，试求苏闻今天买此种元，试求苏闻今天买此种蔬菜的平均价格。蔬菜的平均价格。46. 03 .

20、015 . 018 . 013Hx加权调和平均数：加权调和平均数：某厂本月购进某材料四批，具体情况如表所示，计算这四批材料的平均价格。某厂本月购进某材料四批，具体情况如表所示，计算这四批材料的平均价格。 第三批第三批 第二批第二批 第一批第一批 第四批第四批合计合计35404550价格价格（元（元/千克）千克）100002000015000500050000 xMMxH285.71500 333.33 1001219.04x采购金额采购金额（元）（元）xM采购量采购量（千克）（千克）M02.4104.121950000 算术平均数与调和平均数的区别在于计算过程中应用数据条件的不同。 关键在于以

21、算术平均数的基本公式（总体标志总量/总体单位总量）为依据进行判断。 当我们直接掌握了分母资料时，用算术平均数公式计算； 当我们没有直接掌握分母资料而需要通过计算取得时，可考虑用调和平均数公式计算。 对同一现象，计算调和平均数和算术平均数的经过是相等的，无非是因数据条件不同而采取了不同的计算形式。27 某乡甲、乙两个村的粮食生产情况如下：某乡甲、乙两个村的粮食生产情况如下： 试分别计算甲、乙两个村的平均亩产。根据表列资料试分别计算甲、乙两个村的平均亩产。根据表列资料及计算结果，比较分析哪一个村的生产经营管理工作及计算结果，比较分析哪一个村的生产经营管理工作做得好，并简述作出这一结论的理由。做得好

22、，并简述作出这一结论的理由。 按耕地自按耕地自然条件分然条件分组组甲村甲村乙村乙村平均亩产平均亩产（千克（千克/ /亩）亩）粮食产量粮食产量（千克）（千克）平均亩产平均亩产（千克（千克/ /亩）亩）播种面积播种面积（亩）（亩）山地山地丘陵地丘陵地平原地平原地1001001501504004002500025000150000150000500000500000150150200200450450125012505005007507502022-5-13第三章 综合指标28平均亩产平均亩产=粮食总产量粮食总产量/播种面积播种面积甲：缺分母资料，用加权调和平均数，甲：缺分母资料，用加权调和平均数，

23、乙：缺分子资料，用加权算术平均数，乙：缺分子资料，用加权算术平均数， 亩千克甲/27025006750004005000001501500001002500050000015000025000 xmmx亩千克乙/250250062500075050012507504505002001250150fxfx2022-5-13第三章 综合指标29四、几何平均数四、几何平均数 在实际生活中，通常用来计算平均比率和平均速度。当所掌握的变量值本身是比率的形式，而且各比率的乘积等于总的比率时，就应采用几何平均法计算平均比率。 几何平均数是若干个变量值的连乘积开数次方来计算的一种平均数。 几何平均数的计算形式

24、分为简单几何平均数和加权几何平均数两种。某机械厂生产机器，设有毛坯、粗加工、精加工、某机械厂生产机器，设有毛坯、粗加工、精加工、装配四个连续作业的车间。某批产品其毛坯车间制装配四个连续作业的车间。某批产品其毛坯车间制品合格率为品合格率为97%，粗加工车间制品合格率为，粗加工车间制品合格率为93%，精加工车间制品合格率为精加工车间制品合格率为91%，装配车间制品合格，装配车间制品合格率为率为87%，求各车间制品的平均合格率。，求各车间制品的平均合格率。4%87%91%93%97nGxx%93.91某银行某项投资的年利率是按复利计算的，某银行某项投资的年利率是按复利计算的，25年的年的年利率分配是

25、：年利率分配是：1年为年为8%，4年为年为9%，8年为年为10%，10年为年为12%，2年为年为14%，求平均年利率。，求平均年利率。ffGxx252108414. 112. 110. 109. 108. 1%87.110所以平均年利率为：所以平均年利率为：110.87%-1=10.87%位置平均数位置平均数概概 念念 计算计算 公公 式式 特特 点点中位数中位数（Me）标志值排标志值排序，排列序，排列中居中间中居中间位置的标位置的标志值志值位置平均位置平均数数上限公式：上限公式：下限公式：下限公式：ifSfUMemm12/ifSfLMemm12/优点：容易优点：容易理解，理解， 不受极值不受

26、极值影响影响适宜于有开适宜于有开口组的资料和口组的资料和不能用数字测不能用数字测定的事物定的事物缺点：灵敏度缺点：灵敏度和计算功能差和计算功能差 定序数据的中位数定序数据的中位数解：中位数的位解：中位数的位置为置为300/2150从累计频数看，从累计频数看，中位数在中位数在“一般一般”这一组别中。这一组别中。因此因此 Me=一般一般甲城市甲城市回答类别回答类别300合计合计2413222527030024108934530 非常不满意非常不满意 不满意不满意 一般一般 满意满意 非常满意非常满意累计频数累计频数户数户数 (户户)甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分

27、布未分组资料：先将数据按从小到大顺序未分组资料：先将数据按从小到大顺序排列排列，如项，如项数为数为奇数奇数，居于，居于中间位置中间位置的的标志值标志值即为中位数。即为中位数。例：有例：有9 9个数字个数字2 2，3 3 ， 5 5 ， 6 6 ， 9 9 ， 10 10 ， 11 11 ， 13 13 ， 1414先将数据按从小到大顺序排列，如项数为先将数据按从小到大顺序排列，如项数为偶数偶数，中位数为居于中间的那中位数为居于中间的那2 2个单位标志值的平均值个单位标志值的平均值。例：有例：有1010个数字，个数字，2,3,5,6,9,10,11,13,14,152,3,5,6,9,10,11

28、,13,14,15如为单项式分组资料，要将次数进行累计，中位数如为单项式分组资料，要将次数进行累计，中位数为居于中间位置所对应的标志值。为居于中间位置所对应的标志值。 36 中位数位置=80/2=40 按向上累计次数，到34所在组为54，到32所在组为27，故中位数应在34所在组，即中位数=34。 如分组资料为组距式，需用公式计算。返回本节首页利用公式计算利用公式计算分组：分组：500 800 1100 1400 1700 2000 2300频数：频数： 40 90 110 105 70 50 35向上累计：向上累计： 40 130 240 345 415 465 500中位数组：中位数组：（

29、累计到（累计到500/2=250）向下累计：向下累计： 500 460 370 260 155 85 3557.11283001052402501100/12ifSfLMemm57.11283001051552501400/12ifSfUMemm概概 念念 计算计算 公公 式式 特特 点点众数众数（Mo）分配数列分配数列中重复出中重复出现次数最现次数最多的标志多的标志值，位置值，位置平均数平均数上限公式：上限公式：下限公式：下限公式：优点：容易优点：容易理解，理解， 不受极值不受极值影响影响 缺点：灵敏缺点：灵敏度和计算功能度和计算功能差差 稳定性差稳定性差 具 有 不 唯 具 有 不 唯一性一性idddUMo212idddLMo211定类数据的众数定类数据的众数不同品牌饮料的频数分布不同品牌饮料的频数分布 10050