【中考数学压轴题专题突破29】圆中的综合创新实践题

1、【中考压轴题专题突破29】圆中的综合创新实践题(1)问题探究(1)如图1.在ABC中，BC=8,D为BC上一点，AD=6.则4ABC面积的最大值是.(2)如图2,在ABC中，/BAC=60,AG为BC边上的高，。为ABC的外接圆，若AG=3,试判断BC是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.问题解决：如图3,王老先生有一块矩形地ABCD,AB=6/+12,BC=&/+6,现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN,且满足点E在CD上，AD=DE,点F在BC上， 且CF=6,点M在AE上， 点N在AB上， /MFN=90,这个四边形AMFN的面积是否存在最大值？若存在，求出面

2、积的最大值；若不存在，请说明理由.2 .发现问题：(1)如图1,AB为。的直径，请在。0上求作一点P,使/ABP=45.(不必写作法)问题探究：(2)如图2,等腰直角三角形ABC中，ZA=90,AB=AC=3、/,D是AB上一点，AD=2也，在BC边上是否存在点P,使/APD=45?若存在，求出BP的长度，若不存在，请说明理由.问题解决：(3)如图3,为矩形足球场的示意图，其中宽AB=66米、球门EF=8米，且EB=FA.点P、Q分别为BC、AD上的点，BP=7米，/BPQ=135,一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在PQ上的何处才能使射门角度(/EMF)最大?求出此时PM的长度

3、.3.【问题发现】如图1,半圆O的直径AB=10,点P是半圆O上的一个动点，则4PAB的面积最大值是;【问题探究】如图2所示，AB、AC、前是某新区的三条规划路，其中AB=6km,AC=3km,ZBAC=60,BC所对的圆心角为60.新区管委会想在BC路边建物资总站点P,在AB、AC路边分别建物资分站点E、F,即分别在BC、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P-E-F-P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP.显然，为了快捷环保和节约成本，就要使线段PE、EF、FP之和最短（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）.

4、可求得PEF周长的最小值为km；【拓展应用】如图3是某街心花园的一角，在扇形OAB中，/AOB=90,OA=12米，在围墙OA和OB上分别有两个入口C和D,且AC=4米，口是。3的中点，出口E而i上.现准备沿CE、DE从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形CODE内种花，在剩余区域种草.出口E设在距直线OB多远处可以使四边形CODE的面积最大？最大面积是多少？（小路宽度不计）已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元.请问：在良&上是否存在点巳使铺设小路CE和DE的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口E距直线OB的距离；若不存在，请说

5、明理由.4.【问题背景】（1）如图1,。与/P的两边分别切与A,A,B两点.求证：PA=PB.【深入探究】（2）在（1）的条件下，若/APB=60,连接PO,以PO为一条边向上作等边三角形POQ,连接AO,AQ.求证：AO=AQ.（3）若在 （1）的条件下， 以OP为斜边向上作等腰直角三角形POQ,取OP中点M,连接MB,MQ,BQ,求证：/MQB=/MBQ.【拓展延伸】在（3）的条件下，连接AO,AQ,探索AO,AQ,AP之间的数量关系.5 .问题提出：如图1,在等边ABC中，AB=9,OC半径为3,P为圆上一动点，连结AP+BP的最/、值3 3(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种

6、解题思路，通过构造一对相似三角形，将某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2,连结CP,在CB上取点D,使CD=1,则有且CPCBCPCB3 3又./PCD=Zs.zzBP3BP3PD=ABP.-.AP+BP=AP+PD3当A,P,D三点共线时，AP+PD取至ij最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+-1BP的最小值为.(2)自主探索：如图3,矩形ABCD中，BC=6,AB=8,P为矩形内部一点，且PB=4,则工AP+PC的2最小值为.(请在图3中添加相应的辅助线)(3)拓展延伸:如图4,在扇形COD中，O为圆心，/COD=120,OC=4.OA=2,OB=3,点

7、P是ES上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程.AP,BP,求工BP转化为3 36 .(1)初步思考:如图1,在PCB中，已知PB=2,BC=4,N为BC上一点且BN=1,试证明：PN=_LPC2(2)问题提出：如图2,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，求PD+PC的最/、值.2(3)推广运用：如图3,已知菱形ABCD的边长为4,/B=60,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，求PD-二PC的最大值.2 2【中考压轴题专题突破29】圆中的综合创新实践题（1）参考答案与试题解析一.解答题（共6小题）1.解：（1）当ADLBC时，ABC面积

8、的最大，则ABC面积的最大值是一BC?AD=_xgx6=24,故答案为：24;（2）如图2中，连接OA,OB,OC,作OEXBC于E.设OA=OC=2x,图2 2.ZCOB=2ZCAB=120,OC=OB,OEXCB,.CE=EB,ZCOE=ZBOE=60,.OE=-iOB=x,BE=/3x,.OC+OEAG,-3x3, .x1,x的最小值为1, -BC=2后，_ BC的最小值为2/3;(3)如图3中，连接AF,EF,延长BC交AE的延长线于G, .ZD=90,AD=DE=6/2+6, ./DAE=ZAED=45,CD=AB=6&+12,.CE=CF=6, ./CEF=ZCFE=45, ./A

9、EF=90,EF=6BF,将EFM顺时针旋转得到FBH,作FHB的外接圆。交BC于N,连接ON, ./AEF=/ABF=90,AF=AF,EF=BF, RtAAEFRtAABF(HL),SAAEF=SAABF, ,/EFG=45, ./FEG=90,/EFG=45,EF=EG=6-72,FG=|V2EF=12,由（2）可知，当FHN的外接圆的圆心O在线段BF上时，FNH的面积最小，此时四边形ANFE的面积最大，设OF=ON=r,则OB=BN=22_r,2 2r+&2r=6 6叵,2 2r=6f2（2-/2）,NH=V2r=12（2-亚，（12+蚯）*蚯-二X12（2-血）X6/2（2）存在.如

10、图2和图2所示:P,则点P或P即为所求;，四边形ANFM的面积的最大值=2XAX2=144.2.解：（1）如图所示：作AB的垂直平分线交OO于点P、在ABC中 .ZBAC=90,AB=AC=3/2,AD=2，/B=/C=45,BD=BD=-,j2,-,j2,BC=72AB=6 ./BDP+ZBPD=135/APD=45 ./APC+ZBPD=135 ./BDP=/APC .BPDACAP.取=更PCACPCAC设BP=x,贝UPC=6-x=6-13/26-13/2解得xi=3+：,X2=3-.；BP=3+或BP=3-心；(3)先证明以下事实：若点A、E、F、G均在。O上，点G为。O外一点,./

11、G=ZEAF,/EAFZG/G/G,即一条弧所对的圆周角大于圆外角.如图3,过点E、F作。O,使。与PQ相切于点M,则此时/EMF最大图丁.AB=66米、EF=8米，EB=FAGZG证明：如图所示，连接AFG Gr rEB=29延长AB、QP交于点N .BN=BP=7,PN=BP=7&，NE=36,NF=44 .ZN=ZN,/NEM=/NMF=90 .NEMANMFNM2=NE?NFNM=12IPM=NM-PN=12/11-7答：当王员在PQ上距离点P（12/!-的）米时，才能使射门角度最大，即PM的长度为（1211-7衣）米.3.解：【问题发现】如图1,点P运动至半圆O的中点时，底边AB上的

12、高最大，即PO=r=5,此时PAB的面积最大值，SAPAB=X10X5=25,2 2故答案为：25;【问题探究】如图2,假设P点即为所求，分别作点P关于AB、AC的对称点P、P,连接PP,分别交AB、AC于点E、F,连接PE,PF,由对称性可知，PE+EF+PF=PE+EF+FP=PP,且P、E、F、P在一条直线上，PP”即为最短距离，其长度取决于PA的长度，作出前的圆心O,连接AO,与筋交于P,P点即为使PA最短的点， AB=6,AC=3km,/BAC=60, .ABC是直角三角形，/ABC=30,BC=3/3, BC所对的圆心角为60,.OBC是等边三角形，/CBO=60,BO=BC=3-

13、73,，/ABO=90。,AO=3-/7,PA=3后-3网，/PAE=ZEAP,/PAF=/FAP”，PAP=2ZABC=120,PA=AP， ./APE=ZAPF=30,PP=2PA?cosZAPE=|I/3PA=3 3IHIH-9, .PEF周长的最小值为3/H-9,故答案为：3/H-9;【拓展应用】如图3-1,作OGXCD,垂足为G,延长OG交AB于点E,则此时CDE的面积最大，OA=OB=12,AC=4,点D为OB的中点,.OC=8,OD=6,在RtACOD中，CD=10,OG=4.8, .GE=12-4.8=7.2,，四边形CODE面积的最大值为SACDO+SACDE=_1X6X8+

14、1X10X7.2=60;2222作EEHOB,垂足为H,/EOH+/OEH=90,/EOH+ZODC=90,./OEH=ZODC,又/COD=/EHO=90,CODAOHE,.叽生CD0ECD0Ez z .a.a=9=910121012,.EH=7.2; 出口E设在距直线OB的7.2米处可以使四边形铺设小路CE和DE的总造价为200CE+400DE=200(CE+2DE),如图3-2,连接OE,延长OB到点Q,使BQ=OB=12,连接EQ,在AEOD与4QOE中，/EOD=/QOE,且亚OEOQOEOQ2 2EODAQOE,故QE=2DE,.CE+2DE=CE+QE,问题转化为求CE+QE的最

15、小值，连接CQ,交ABAB于点E,此时CE+QE取得最小值为CQ,在RtCOQ中，CO=8,OQ=24,，CQ=8JH故总造价的最小值为1600元;作EHOB,垂足为H,连接OE,设EH=x,则QH=3x, .在RtEOH中，OH2+HE2=OE2,(24-3x)2+x2=122,届”曰36-6-/636-6-/6.解得，x1=i,x2=(舍去)，5555.总造价的最小值为1600/叵元，出口E距直线OB的距离为四生旦米.5 5CODE的面积最大为60平方米;A A4.解：【问题背景】(1)连接OA,OB,OP,.RA、PB是切线，RAXOA,PBXOB,./FAO=ZPBO=90,在RtAF

16、AO和RtAFBO中，小呼 P P(OAOB(OAOBRtAFAORtAFBO(HL),FA=PB;【深入探究】(2) RtAFAORtAPBO, ./APO=ZBPO, ./APB=60, ./APO=ZBPO=30,.POQ是等边三角形， ./OPQ=60,PO=PQ, ./APQ=/APO=30,且PO=PQ,二.PA垂直平分OQ, .AO=AQ;(3)如图3,连接OB,图3 3 PB是。O是切线，PBXOB,且点M是OP的中点,.QM=BM, ./MQB=ZMBQ;拓展延伸】AO+6AQ=AP,理由如下：过点Q作QH，AQ交AP于点H, ./AQH=ZPQO=90, ./AQO=ZPQ

17、H, ./QPO+/QOP=90,ZAOP+ZAPO=90, /APQ+/APO=/APO+/AOQ, ./APQ=/AOP,且/AQO=/PQH,QP=OQ,AOQAHPQ(ASA).QH=AQ,AO=PH, -AH=|/2AQ, AP=PH+AH,AO+V2AQ=AP.5.解：(1)如图1,o oBM=护，护，.OPQ是等腰直角三角形，且点M是OP的中点,.QM=连结AD,过点A作AFCB于点F,.AP+BP=AP+PD,要使AP+BP最小，3333 .AP+AD最小，当点A,P,D在同一条直线时,即：AP+BP最小值为AD,3 3 .AC=9,AFBC,/ACB=60故答案为：听1在AB

18、上截取BF=2,连接PF,PC, AB=8,PB=4,BF=2, .ABPAPBF,. .FPFP 史国-，APABAPAB 叵AP+PC=PF+PC,2 2且/ABP=ZABP,AP+AD最小,PF=AP2 2.AP+BP的最小值为寸石;(2)如图2,图26.延长OC,使CF=4,连接BF,OP,PF,过点F作FBLOD于点M,.OC=4,FC=4,.FO=8,且OP=4,且/AOP=ZAOPOA=2,AOPAPOFPF=2AP-2PA+PB=PF+PB,.当点F,点P,点B三点共线时,2AP+PB的值最小,./COD=120,FOM=60,且FO=8,FMOM.OM=4,FM=4/3.MB=OM+OB=4+3=71FB=【：VI：= 2PA+PB的最小值为(1)证明：如图1,，当点F,点P,点C三点共线时，AP+PC的值最小, - -CF=CF=加产十BCBC，= =VG2+2S= =2 2 . .，,4AP+PC的值最小值为2国,故答案为：2|；(3)如图3,PB=2,BC=4,BN=1,PB2=4,BN?BC=4.PB2=BN?BC.，型=空.又B=ZB,BPBCBPBCBPNABCP.典=现=二.PN=_1PC;PCBP22PCBP22(2)如图2,2,在BC上取一点G,使得B