第五讲极限连续偏导数(题)

1、第五第五 讲讲 极限、连续、偏导数极限、连续、偏导数 1多元函数极限与连续多元函数极限与连续方法方法 :(1) 利用极限的四则运算法则利用极限的四则运算法则1、极限的计算、极限的计算(2) 利用等价无穷小代换利用等价无穷小代换(3) 利用夹逼定理利用夹逼定理证明极限不存在的方法：证明极限不存在的方法：选择两条不同的路径，证明其有不同的极限值选择两条不同的路径，证明其有不同的极限值2200112yxxy yx lim)(例例1 计算计算 ：22001yxxxy yx )(lim)(解解(1)22yxxxyyxf )(),(设设则对则对 有有(0,0),( yx2222220yxxxyyxxxyy

2、xf ),(222222222321yxyxyxyx )(据夹逼定理知据夹逼定理知:0112200 yxxy yxlim2200112yxxy yx lim)()(limxyyxxy yx 112200220021yxxy yx lim现现2222210yxyxxy 据夹逼定理知据夹逼定理知:02200 yxxy yxlim0112200 yxxy yxlim2、函数的连续性、函数的连续性f (x , y) 在点在点 (x0 , y0) 处连续处连续 ),(),(lim0000yxfyxf yyxx 例例2 讨论讨论 的连续性的连续性 ),(yxf0222222 yx yxyxxy,0022

3、yx ,解解 在在 的点处的点处 , 为初等函数为初等函数 022 yx2222yxyxxyyxf ),( f (x , y) 在在 的点处连续的点处连续022 yx在在 点处点处 , ),(00 22220000yxyxxyyxfyxyx lim),(lim考虑考虑由于由于xyyxyxxyyxf 22220),(据夹逼定理知据夹逼定理知:),(lim),(lim00022220000fyxyxxyyxfyxyx f (x , y) 在在 上处处连续上处处连续2R f (x , y) 在在 的点处连续的点处连续),(00 2偏导数、全微分、方向导数偏导数、全微分、方向导数1、偏导数、偏导数方法

4、方法 :(1) 利用偏导数的定义利用偏导数的定义(2) 利用链式法则利用链式法则(3) 利用全微分利用全微分例例3 (练习七练习七/三三)研究研究 在在 (0 , 0) 处偏导数的存在性处偏导数的存在性452yxyx,f )(解解 xxxfxffxxx2100000000lim),(),(lim),(不存在不存在00000004500 yyyfyffyyylim),(),(lim),(例例4 设设 讨论讨论 f (x , y) 在在 (0 , 0) 点处的可微性点处的可微性 ),(yxf0222222 yx yxyxxy,)sin(0022 yx ,解解只需验证只需验证000000000220

5、0 )()(),(),(),(),(limyxyfxffyxfyxyx?000000000 xxfxffxxxlim),(),(lim),(000000000 yyfyffxyylim),(),(lim),(220000000000)()(),(),(),(),(lim yxyfxffyxfyxyx 22222200)()()()sin()()(limyxyxyxyxyx 22222200)()()()sin()()(limyxyxyxyxyx 若令若令 x = y 上式上式021222120 )(sinlimxxx f (x, y) 在在 (0 , 0) 处不可微处不可微 则在则在 (0 ,

6、 0) 点处点处 f (x , y)(A) 偏导数不存在偏导数不存在 (B) 不可微不可微(C) 偏导数存在且连续偏导数存在且连续 (D) 可微可微例例5 讨论讨论 ),(yxf01222222 yx yxyx,sin)(0022 yx ,解解01000002200 xxxxfxffxxx)(sin)(lim),(),(lim),(01000002200 yyyyfyffxyy)(sin)(lim),(),(lim),( ),(yxfx0121222222222 yx yxyxx yxx,cossin0022 yx ,当当 (x , y) 沿沿 y = x 趋向于趋向于 ( 0 , 0) 点时

7、点时)cossin(lim),(lim222222001212yxyxxyxxyxfxxyxxxy )cossin(lim220212212xxxxx 不存在不存在22000000)()(),(),(limyxyfxfzyxyx 222222001)()()()(sin)()(limyxyxyxyx 01222200 )()(sin)()(limyxyxyx f (x, y) 在在 (0 , 0) 处可微处可微 , 故选故选 ( D )例例6 (练习七练习七/二二(3) 设设 , 求求 exyxfzy),( xz 例例7 设设 , 求求uf x y z yx t tx z ( , , ) ,(

8、 , ) ,( , ) zu xu ,解解)(),(yyexfyfxexyfxz 21),(),(yyexyxyfexyf1 解解xyffxu 21)(xtff 2121 )(12121 ff32fzyfzu ztff 223 2223 ff 例例8 (练习七练习七/四四) 设设 , 其中其中 f 有有 ),(,)(xxfxfxfx 一阶连续偏导数一阶连续偏导数 , 且且 f (1 , 1) = 1 , f1(1 , 1) = p , )(1 f 2(1 , 1) = q , 求求 和和 )( 1 解解11111111111 ),(),(,(),(,(,)(ffffff ),(,(),(,(,

9、),(,(,)( xxfxfxxxfxfxfxxfxfxfx 21 ),(,(,xxfxfxf1),(),()(,(,(),(,(),(,(,xxfxxfxxfxfxxfxfxxfxfxf21212 令令 x = 1 得得),(),(),(),(),(),()( 1111111111111212121ffffff 32qpqqppqpqpqp )(例例9 若函数若函数 z = f (x , y) 可微可微 , 且且 yxfxy,),(12 xyxf xyx 2),(, 则当则当 x 0 时时 , 计算计算2xyyyxf ),(解解由由 12 ),(xxf两边对两边对 x 求导数求导数 , 得得

10、0222 xxxfxxfyx),(),(022 xxxfxy),( 212 ),( xxfy例例10 (练习七练习七/五五) 若函数若函数 f (x , y) 有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数 , 6tx6tetttf tettf )(),(,),(1932532 ),(t tf y32, 求求解解 由由 ttettf6532 ),(两边对两边对 t 求导数求导数 , 得得tyxetttfttf6615332232)(),(),( tttyetetetttf666413192615323)()()(),( 将将 代入上式代入上式 , 得得 txetttf61932)(),( tyetttf64

11、132)(),( 设设 u = f (z) , z = x + y (z) , 其中其中 f , 可导可导 , 求求yu 例例11 (练习七练习七/二二(4) 解解四个变量四个变量 , 两个方程两个方程),( , ),( yxuuyxzz yzzfyu )( yzzyzyz )( )( )( )( zyzyz 1)( )()( zyzzfyu 1例例12 (练习七练习七/二二(5) 设设 u = z(x , y) 由方程由方程 F(x + 2y + 3z , xy2z3) = 0 所所确定确定 , 其中其中 F 可微可微 , 求求yz 解解将方程两边对将方程两边对 y 求偏导数有求偏导数有03

12、23222321 )()( yzzyyzxFyzF )()( 222123132FzxyFFxyzFyz 例例13 (练习七练习七/七七) 设设 u = z(x , y) 由方程由方程 x = f (u , v) , y = g(u , v) , z = h(u , v)所确定所确定 , 求求 , 其中其中 f , g , h 有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数 ,uz xz ,且且 fv 0解解),( , ),( , ),( uxvvuxzzuxyy 对方程组取全微分有对方程组取全微分有dvhduhdz21 dvfdufdx21 dvgdugdy21 由由duffdxfdv2121 dufhf

13、dxfhduhdz221221 dufhfhdxfhdz)( 221122 221122fhfhuzfhxz , 2、方向导数、方向导数方法方法:(1) 利用定义利用定义 (2) lyxflfyx ),(),(例例14 (练习七练习七/八八) 证明证明: 函数函数 在在 M0(0 , 0) 点处沿点处沿 22yxyxf ),(任一方向任一方向 的方向导数都有的方向导数都有 l10 Mlf解解任取一方向任取一方向: cos , cos l ),()cos,cos(lim),(0000000fflf 22220coscoslim 10 lim例例15 (练习八练习八/一一(3) 求函数求函数 在点在点 M0( 3 , 4 ) 处沿函数过处沿函数