扭转强与刚PPT学习教案

1、会计学1扭转强与刚扭转强与刚1 1、实验：、实验：一、一、薄壁圆筒横截面上的应力薄壁圆筒横截面上的应力 薄壁圆筒轴的扭转薄壁圆筒轴的扭转0101rt , r0为平均半径）(壁厚壁厚实验实验变形规律变形规律应力的分布规律应力的分布规律应力的计算公式。应力的计算公式。第1页/共56页2 2、变形规律：、变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。了一个不同的角度。纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。3 3、切应变（角应变）：直角角度的改变量、切应变（角应

2、变）：直角角度的改变量 。第2页/共56页认为切应力沿壁厚均匀认为切应力沿壁厚均匀分布（方向垂直于其半径方向）。分布（方向垂直于其半径方向）。3 3、切应变（角应变）：直角角度的改变量、切应变（角应变）：直角角度的改变量 。4 4、定性分析横截面上的应力、定性分析横截面上的应力, 0（1 1）00（2 2）因为圆周上切应变相同，所以横截面上切应力沿圆周均匀分布因为圆周上切应变相同，所以横截面上切应力沿圆周均匀分布。（3 3）0,Dt Dt第3页/共56页5 5、切应力的计算公式：、切应力的计算公式： dA 对圆心的矩对圆心的矩 d dAr0 02.2020200trtdrrdATAtrT202

3、d 薄壁圆筒扭转时薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力计算式横截面上的切应力计算式第4页/共56页二、关于切应力的若干重要性质二、关于切应力的若干重要性质1 1、剪切虎克定律、剪切虎克定律l为扭转角为扭转角lr0即即lr0做薄壁圆筒的扭转试验可得做薄壁圆筒的扭转试验可得T 纵轴纵轴 TtrT202psblr0横横轴轴第5页/共56页剪切虎克定律剪切虎克定律,pG)1 (2EG在弹性范围内切应力在弹性范围内切应力与切应变成正比关系与切应变成正比关系。psb第6页/共56页从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体单元体单元体zyddzxddxyzabOcddx

4、dydz 0yF0zM自动满足自动满足0 xF且由于yzxxzydddddd存在存在得得2 2、切应力互等定理切应力互等定理Me Me 第7页/共56页切应力互等定理切应力互等定理 单元体在其两对互相单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为而无正应力的状态称为纯纯剪切应力状态剪切应力状态。dabcxyzabOcddxdydz 在相互垂直的两个面上，切在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小相应力总是成对出现，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。个面的交线。第8页/共56页一、圆轴扭转时横截面上的应力（

5、超静定问题）一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题）几何关系：几何关系：由实验找出变形规律由实验找出变形规律应变的变化规律应变的变化规律物理关系：物理关系：由应变的变化规律由应变的变化规律应力的分布规律应力的分布规律静力关系静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系由横截面上的扭矩与应力的关系应力的计算公式。应力的计算公式。一）、几何关系一）、几何关系：1 1、实验：、实验： 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力2 2、变形规律：、变形规律： 圆周线圆周线形状、大形状、大小、间距不变，各圆周小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一线只是绕轴线转动了一个不同的角度。个不同的角度。第9页

6、/共56页2 2、变形规律：、变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动动 了一个不同的角度。了一个不同的角度。纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。3 3、平面假设：、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大 小、间距不变，半径仍为直线。小、间距不变，半径仍为直线。4 4、定性分析横截面上的应力、定性分析横截面上的应力00（1）00（2） 因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应因为同一圆周上切应变相同，所以同一

7、圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。第10页/共56页5 5、切应变的变化规律：、切应变的变化规律： 取楔形体取楔形体O1O2ABCD 为研究为研究对象对象DD D bbA A第11页/共56页5 5、切应变的变化规律：、切应变的变化规律：dxRddxDDtgtgxdddxdd取楔形体取楔形体O1O2ABCD 为研究对象为研究对象微段扭转微段扭转变形变形 d DD D bbA ADA点处的切应变点处的切应变a点处的切应变点处的切应变第12页/共56页dxd二）物理关系：二）物理关系： 弹性范围内弹性范围内PmaxG GdxdG方向垂直于半径。方

8、向垂直于半径。d / / dx扭转角变化率扭转角变化率第13页/共56页 扭转切应力分布扭转切应力分布（实心截面（实心截面）（空心截面（空心截面）dxddxdG第14页/共56页三）静力关系：三）静力关系：AdAATAdAIApd2令xGI Tpdd 代入物理关系式代入物理关系式 得：得：xGdd pIT圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。pGITx dd dAdAdAAxGAddd 2AxGAddd2OA扭转变形计算式扭转变形计算式dxdG?dxd第15页/共56页横截面上横截面上 PPPWTITITmaxmaxmax抗扭截面模量抗扭截面模量，整个

9、圆轴上整个圆轴上等直杆：等直杆：PWTmaxmax三、公式的使用条件：三、公式的使用条件：1 1、等直的圆轴，、等直的圆轴， 2 2、弹性范围内工作。、弹性范围内工作。I Ip p截面的极惯性矩截面的极惯性矩，单位，单位：二、圆轴中二、圆轴中max的确定的确定44, mmm.,33mmm单位单位：maxpPIW PWpIT圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式: :第16页/共56页四、圆截面的极惯性矩四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数和抗扭截面系数WpAAId2p162/3ppddIW)d2(202d324dd2dA2/04)4(2d实心圆截面：

10、实心圆截面：Odd第17页/共56页223pd2DdI4344pp116162/DDdDDIW空心圆截面：空心圆截面：d2dA4432dD 44132DDdDdOd四、圆截面的极惯性矩四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数和抗扭截面系数Wp第18页/共56页注意：对于空心圆截面注意：对于空心圆截面33p16dDW44p32dDIDdOd第19页/共56页mN1993605 . 795509550nNmmN199 mT441cm95. 732DIP4442cm38. 632dDIPMPa5 .37Pa105 .372611maxPPACACWTDIT外外MPa8 .46Pa108 .4626

11、22maxPPCBCBWTDIT外外解：（解：（1 1）计算外力偶矩、扭矩）计算外力偶矩、扭矩由截面法（2）计算极惯性矩）计算极惯性矩 , AC段和段和CB段段横截面的极惯性矩分别为横截面的极惯性矩分别为 （3 3）计算应力）计算应力 minr/360n，kW5 . 7Ncm3Dcm2d例例 AB轴传递的功率为轴传递的功率为，转速，转速 。 如图所示，轴如图所示，轴AC段为实心圆截面，段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。段为空心圆截面。已知已知。试计算试计算AC以及以及CB段的最大切应力。段的最大切应力。第20页/共56页1 1、强度条件、强度条件：2 2、强度条件应用、强度条件应用：1 1）

12、校核强度）校核强度: : .)1 (16,16433空空心心实实心心DDWP扭转变形扭转变形 扭转强度和刚度计算扭转强度和刚度计算PWTmaxmax PWmaxT2 2）设计截面尺寸）设计截面尺寸: :3 3）确定外载荷）确定外载荷: :maxTPWm一、一、 扭转强度计算扭转强度计算max maxpmax WT pmaxmaxWT 等截面圆轴等截面圆轴: :变截面圆轴变截面圆轴: :第21页/共56页例例 已知已知 T =1.5 kN . m， = 50 MPa，试根据强度条件设，试根据强度条件设计实心圆轴与计实心圆轴与 = 0.9 的空心圆轴。的空心圆轴。解：解：1. 1. 确定实心圆轴直

13、径确定实心圆轴直径 316dT 316 Td mm d 54实实心心轴轴取取：m .Pa)(mN.053501050)1051 (16363max 163maxdT 2. 2. 确定空心圆轴内、外径确定空心圆轴内、外径 )1 (1643DT mm 3 .76)1 (1634TD43p116DWmm7 .68 Dd mm d mm D 6876，取：取：3. 3. 重量比较重量比较%5 .394)(4222ddD空心轴远比空心轴远比实心轴轻实心轴轻第22页/共56页解：1. 计算扭矩作扭矩图计算扭矩作扭矩图例 R050 mm的薄壁圆管，左、右的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别为段的壁厚分别为 d d

14、1 1 5 5 mm，d d2 2 4 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m， 50 MPa，试校核圆管强度。试校核圆管强度。第23页/共56页2. 2. 强度校核强度校核危险截面：危险截面：1202d d RTAA 2202d d RTBB 截面截面 A 与与 BMPa 6 .442120 d d RmlMPa 9 .2722220 d d Rml圆管强度足够圆管强度足够例 R050 mm的薄壁圆管，左、右的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别为段的壁厚分别为 d d1 1 5 5 mm，d d2 2 4 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m， 50 MP

15、a，试校核圆管强度。试校核圆管强度。解：解：1. 1. 计算扭矩作扭矩图计算扭矩作扭矩图第24页/共56页BC段段MPa3 .71mm10016mmN1014362p2max, 2WTAB段段1p1max, 1WT2 2、计算轴横截面上的最大、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度切应力并校核强度MPa8 .64mm12016mmN102236MPa80该轴满足强度条件。该轴满足强度条件。2214T图（kNm）MA MBMC ACB例例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料

16、的许用切应力 = 80MPa ，试校核该轴的强度。解解： 1 1、求内力，作出轴的扭矩图、求内力，作出轴的扭矩图第25页/共56页 例 有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮如图a所示。轴的直径分别为d140，d270，。已知作用在轴上的外力偶矩分别为T10.62kNm，T20.81kNm，T31.43kNm。材料的许用切应力=60MPa，G8104MPa，试校核该轴的强度。 阶梯形圆轴阶梯形圆轴 解解（1）作出扭矩图（见图）作出扭矩图（见图b） （2）强度校核）强度校核 由于由于AC 段和段和BD 段的直径不相段的直径不相同，横截面上的扭矩也不相同，因同，横截面上的扭矩也不相同，因此，对于此，对

17、于AC 段轴和段轴和BD 段轴的强度段轴的强度都要进行校核。都要进行校核。0.62kNm1.43kNm第26页/共56页AC 段段 MPaMPadWT604 .4910)40(1610621. 01610621. 09333max31MPaMPadWT602 .2110)70(161043. 1161043. 19333max32BD 段段 计算结果表明，轴的强度足计算结果表明，轴的强度足够够阶梯形圆轴阶梯形圆轴 0.62kNm1.43kNm 例 有一阶梯形圆轴，轴的直径分别为d140，d270，。已知T10.62kNm，T20.81kNm，T31.43kNm。材料的许用切应力=60MPa，G

18、8104MPa，试校核该轴的强度。 第27页/共56页一、扭转变形：（相对扭转角）一、扭转变形：（相对扭转角）PGITdxddxGITLP扭转角单位：弧度扭转角单位：弧度（rad） GIP抗扭刚度抗扭刚度。dxGITdPpGITlpiiiGIlT单位长度的扭转角单位长度的扭转角mrad二、二、 扭转杆的变形和刚度计算扭转杆的变形和刚度计算扭转变形与内力计算式扭转变形与内力计算式扭矩不变的等直轴扭矩不变的等直轴PGITdxd各段扭矩为不同值的阶梯轴各段扭矩为不同值的阶梯轴第28页/共56页 # 图示阶梯圆杆，如各段材料图示阶梯圆杆，如各段材料也不同，也不同，AB 两截面的相对扭转两截面的相对扭转

19、角为：角为： # 图示等直圆杆受分布扭矩图示等直圆杆受分布扭矩 t 作用，作用，t 的单位为的单位为 。N m m 13nn iiA BipiMlnG I T 从中取从中取 dx 段，段，dx 段两相邻截面段两相邻截面的扭转角为：的扭转角为： npMx dxdGI TAB 截面相对扭转角为：截面相对扭转角为： nllpMx dxdGI T第29页/共56页 从中取从中取 dx 段，该段相邻两截段，该段相邻两截面的扭转角为：面的扭转角为： # 图示为变截面圆杆，图示为变截面圆杆，A、B 两端直径分别为两端直径分别为 d1、d2 。 dxxGITdP)(AB 截面相对扭转角为：截面相对扭转角为：

20、dxxGITdLPL)(第30页/共56页单位长度的扭转角单位长度的扭转角mradPGITdxd 圆轴受扭时，除满足强度条件外，还须满足一定的刚度要求。圆轴受扭时，除满足强度条件外，还须满足一定的刚度要求。通常是限制单位长度上的最大扭转角不超过规范给定的许用值通常是限制单位长度上的最大扭转角不超过规范给定的许用值圆轴受扭时刚度条件可写作圆轴受扭时刚度条件可写作 )(maxmaxmax）或（PPGITGIT 0maxmax180)(PGITm3 3、刚度条件应用：、刚度条件应用：1)1)、校核刚度、校核刚度； max max pGMIn3)3)、确定外载荷、确定外载荷: :2)2)、设计截面尺寸

21、、设计截面尺寸: : maxpnGIMm三、三、 扭转杆的刚度计算扭转杆的刚度计算第31页/共56页例例 已知：已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa， = 0.5 ( )/m 。 AC=? 校核轴的刚度校核轴的刚度解：解：1. 1. 内力、变形分析内力、变形分析mN 1801 AMTmN 1402 CMTrad 101.502-p1 GIlTAB rad 101.172-p2 GIlTBC BCABAC rad 1033. 01017. 1101.502-2-22. 2. 刚度校核

22、刚度校核p111ddGITxp222ddGITxp11maxmaxdd GITx故故 m/ )( 43. 0180)m1010Pa)(3.010(80mN 180412-59max轴的刚度足够第32页/共56页例例 试计算图示圆锥形轴的总扭转角试计算图示圆锥形轴的总扭转角解：解：32)()(4pxdxI MT lxxdddGM0 4121d2132 32311211)-(332ddddGMlxldddxd121)( lxxGITd )( p 第33页/共56页例例 长长 L=2 m的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m的作用，杆的内外径之比为的作用，杆的内外径之比为 =0.8，G

23、=80 GPa，许用剪应力，许用剪应力 =30 MPa，试设计杆的外径；若，试设计杆的外径；若 =2/m，试校，试校核此杆的刚度，并求右端面相对于左端面的转角。核此杆的刚度，并求右端面相对于左端面的转角。解解：1.作扭矩图作扭矩图L-x)(20)()(xLxLmxT)(40220maxmNTTx40 116D max43TWp）（2.2.设计杆的外径设计杆的外径314max 116）（TDmaxpWT第34页/共56页 例例 长长 L=2 m的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m =20 Nm/m的作用，杆的内外径之比为的作用，杆的内外径之比为 =0.8，G=80 GPa，许用剪应力，许用剪应力

24、 =30 MPa，试设计杆的外径；若，试设计杆的外径；若 =2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面相对于左端面的转角。试校核此杆的刚度，并求右端面相对于左端面的转角。L-xTx40代入数值得：代入数值得： D 0.0226m。314max 116）（TD3. 3. 由扭转刚度条件校核刚度由扭转刚度条件校核刚度180maxmaxPGIT)1 (108018040324429D m/89. 1刚度足够刚度足够第35页/共56页 例例 长长 L=2 m的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m的作用，杆的内外径之比为的作用，杆的内外径之比为 =0.8，G=80 GPa，许用剪应力，许用剪应力

25、 =30 MPa，试设计杆的外径；若，试设计杆的外径；若 =2/m，试，试校核此杆的刚度，并求右端面相对于左端面的转角。校核此杆的刚度，并求右端面相对于左端面的转角。L-xTx404. 4. 右端面转角右端面转角为：为：LPdxGIxT0)(LPdxGIxLm0)(PGImL22弧度）( 033. 0第36页/共56页例例 实心圆轴受力如图示，已知材料的实心圆轴受力如图示，已知材料的试设计轴的直径试设计轴的直径 D 。 980,0.3,80 10MPam GPa 扭矩图扭矩图解解 （一）绘制扭矩图如图。（一）绘制扭矩图如图。 （二）由强度条件设计（二）由强度条件设计 D 。 解得：解得： 66

26、Dmm （三）由刚度条件设计（三）由刚度条件设计 D 。 解得：解得： 102Dmm 从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用 D=102mm 。 mKNT5 . 4maxmaxmaxpWT 16D max3TWp180maxmaxPGIT 18032D max4GTIp第37页/共56页 例例 有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮如图有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮如图a所示。轴的直径所示。轴的直径分别为分别为d140mm，d270mm。已知作用在轴上的外力偶矩分别为。已知作用在轴上的外力偶矩分别为T10.62 kNm，T20.81 kNm

27、，T31.43 kNm。材料的许用切应力。材料的许用切应力 =60 MPa，G8104 MPa，轴的许用单位长度扭转角为，轴的许用单位长度扭转角为2/m，试校核该轴的强度和刚度。，试校核该轴的强度和刚度。 解（解（1 1）作出扭矩图）作出扭矩图 （2 2）强度校核）强度校核 由于由于AC 段和段和BD 段的直径不相段的直径不相同，横截面上的扭矩也不相同，因同，横截面上的扭矩也不相同，因此，对于此，对于AC 段轴和段轴和BD 段轴的强度段轴的强度都要进行校核。都要进行校核。0.62 kNm1.43 kNm第38页/共56页AC 段段MPaMPadWMn604 .4910)40(1610621.

28、01610621. 09333max31MPaMPadWMn602 .2110)70(161043. 1161043. 19333max32BD 段段 （3 3）刚度校核）刚度校核AC 段段 mmGIMon/2/77. 118010)40(32101081062. 0124643maxmmGIMoon/2/434. 018010)70(32101081043. 1124643maxBD 段段 计算结果表明，轴的强度和刚度是足够的。计算结果表明，轴的强度和刚度是足够的。0.62 kNm1.43 kNm第39页/共56页第40页/共56页66982004.72 10Pa42.39 10200 20

29、.003980 10127.17 10pABpTWTlGI重物下降的距离 319610100.0039 0.20.00128m2200 10100 10ABWlDhEA 第41页/共56页eMdeM1d2dxdx第42页/共56页 211222221122112002111211211,2222,2222eexxxeexlleeleMMddxrdxrrlxMM dxxdx dxGGrddGdxlM dxMddddxdxGlddGdxlMldddxGddldddddddddddd2112021211212121122leeeMlGddddMlddMlGddddGddddddddddd第43页/共

30、56页例 试求图示轴两端的反力偶矩解解: : 受力分析,建立平衡方程(a) 0 , 0MMMMBAx未知力偶矩2个，平衡方程1个，一次超静定四、扭转超静定问题四、扭转超静定问题变形分析,列变形协调方程0 CBACAB (b) 0bMaMBA联立求解方程(a)与(b) baMaMbaMbMBA ，p1GIaTAC p)(GIaMA p2GIbTCB pGIbMB 建立补充方程代入上式第44页/共56页例例 长为长为 L=2 m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m 的作用，如图，若的作用，如图，若杆的内外径之比为杆的内外径之比为 =0.8 ，外径，外径 D=0.0226 m ，G

31、=80 GPa，试试求：固定端的反力偶。求：固定端的反力偶。解解：杆的受力图杆的受力图02mmmBA几何方程：几何方程：0BA 物理方程：物理方程：LPBAdxGIxT0)(第45页/共56页mN 20 AM 由平衡方程得由平衡方程得：另另: :此题可由对称性直接求得结果。此题可由对称性直接求得结果。mN 20BMxLPBAdxGIxT0)(0)(AMmxxT0 xmmxMxTA)(xMA202020dxGIxMPA0402PAGIM0BA02mmmBA平衡方程平衡方程几何方程几何方程)(xTxAM第46页/共56页 圆轴扭转破坏分析圆轴扭转破坏分析低碳钢试件低碳钢试件：沿横截面断开：沿横截面

32、断开。铸铁试件：铸铁试件：沿与轴线约成沿与轴线约成4545 的螺的螺旋线断开。旋线断开。 材料抗拉能力差，材料抗拉能力差，构件沿构件沿4545斜截面因拉应斜截面因拉应力而破坏（脆性材料）力而破坏（脆性材料）。 材料抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力而发生破坏材料抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力而发生破坏( (塑性材料）；塑性材料）；第47页/共56页 x分析方法分析方法取单元体（单元体上的应力认为是均匀分布的）取单元体（单元体上的应力认为是均匀分布的）第48页/共56页, 0n, 0t2sin2cos设：设：ef 边的面积为边的面积为 dA 则则 xntefbeb 边的面积为边的面积为dAcos bf 边的面积为边的面积为dAsin 0sin)sin(cos)cos(dAdAdAsin)cos(dAdAcos)sin(dA