常微分方程§4.2)

1、& 1. 欧拉法与后退欧拉法欧拉法与后退欧拉法& 2. 梯形方法梯形方法& 3. 单步法的局部截断误差与阶单步法的局部截断误差与阶& 4. 改进的欧拉公式改进的欧拉公式4.2 简单的数值方法与基本概念简单的数值方法与基本概念 1. 欧拉法与后退欧拉法欧拉法与后退欧拉法)(,()()()(1nnnnnxyxfxyhxyxy 欧拉法是解初值问题欧拉法是解初值问题(4.1)的最简单的数值方法的最简单的数值方法导数是差商的极限形式，因此，当步长导数是差商的极限形式，因此，当步长h不太大时，在点不太大时，在点xn处的导数处的导数y (xn)可以近似地用差商表示可以近似地用差商表示)2 . 4(, 1 ,

2、 0),(1 nyxhfyynnnn称为称为欧拉欧拉(Euler)公式公式(1) 向前差商向前差商, 1 , 0)(,()()(1 nxyxhfxyxynnnn化简得化简得如果用如果用y(xn)的近似值的近似值yn代入上式右端，所得的结果作为代入上式右端，所得的结果作为y(xn 1)的近似值，记为的近似值，记为yn 1，则初值问题则初值问题(4.1)可以化为可以化为)(,()()()(1111 nnnnnxyxfxyhxyxy, 1 , 0),(111 nyxhfyynnnn称为称为后退欧拉公式后退欧拉公式(2) 向后差商向后差商同同(1)的讨论，初值问题的讨论，初值问题(4.1)可以化为可以

3、化为)(,()(2)()(11nnnnnxyxfxyhxyxy , 1 , 0),(211 nyxhfyynnnn称为称为中心欧拉公式或欧拉两步公式中心欧拉公式或欧拉两步公式(3) 中心差商中心差商同理得相应的差分方程为同理得相应的差分方程为用分段的折线逼近函数，此为用分段的折线逼近函数，此为“折线法折线法”而非而非“切线法切线法”，除，除第一个点是曲线上的切线，其它第一个点是曲线上的切线，其它都不是基于这种几何意义，欧都不是基于这种几何意义，欧拉法又称为拉法又称为折线法折线法欧拉公式的几何意义欧拉公式的几何意义设设y(x)是初值问题是初值问题(4.1)的解，那么按欧拉公式的解，那么按欧拉公式

4、所得的数值解所得的数值解y1就是解就是解y y(x)在点在点P0(x0,y0)的切线上的一个点的切线上的一个点P1(x1,y1)的纵坐标值，而的纵坐标值，而y2则是通过点则是通过点P1斜率为斜率为f (x1, y1)的直线的直线上的一点上的一点P2(x2,y2)的纵坐标值依次类推，这样推得的的纵坐标值依次类推，这样推得的yn (n=0,1, )就取作为就取作为初值问题初值问题(4.1)在点在点xn (n=0,1, )上的上的数值数值解把点解把点P0 , P1 , , Pn , 连成折线，在几何上这条折线就是连成折线，在几何上这条折线就是解解y(x)的近似曲线的近似曲线, 1 , 0),(1 n

5、yxhfyynnnn1P2Pyx0 x1xnx2x)(xy0PnP.21)(1 . 0,比比较较并并与与精精确确解解取取步步长长的的数数值值解解xxyh 用欧拉法求常微分方程初值问题用欧拉法求常微分方程初值问题例例4.1 1)0()10(2yxyxyy解解 欧拉公式的具体形式为欧拉公式的具体形式为)2(1nnnnnyxyhyy 算出的准确值算出的准确值y(xn)同近似值同近似值yn一起列在下表中，两者相比较可一起列在下表中，两者相比较可以看出欧拉方法的精度很差以看出欧拉方法的精度很差7321. 17848. 10 . 14142. 14351. 15 . 06733. 17178. 19 .

6、03416. 13582. 14 . 06125. 16498. 18 . 02649. 12774. 13 . 05492. 15803. 17 . 01832. 11918. 12 . 04832. 15090. 16 . 00954. 11000. 11 . 0)()(nnnnnnxyyxxyyx下面考察欧拉法的精度下面考察欧拉法的精度为了分析计算公式的精度，通常可用将为了分析计算公式的精度，通常可用将y(xn 1)在在xn 处泰勒展处泰勒展开，则有开，则有),(, )(2)()()()(121 nnnnnnnnxxyhhxyxyhxyxy在在yn y(xn)的前提下，的前提下，f(xn

7、 , yn) f(xn , y(xn) y (xn)于是可得于是可得欧拉公式的误差欧拉公式的误差)3 . 4(, )(2)(2)(2211nnnnxyhyhyxy 称为称为欧拉公式的局部截断误差欧拉公式的局部截断误差也可用也可用数值积分法得离散化的差分方程数值积分法得离散化的差分方程 将微分方程将微分方程(4.1)的两端在区间的两端在区间xn , xn 1上积分，得上积分，得)4 . 4()(,()()(11 nnxxnndxxyxfxyxy右端积分用左矩形公式右端积分用左矩形公式hf(xn , y(xn)计算，则得计算，则得略去余项，并用略去余项，并用yn代替代替y(xn)， yn 1代替代

8、替y(xn 1)可得可得)1(11)(,()()( nnnnnRxyxhfxyxy即为已知的欧拉公式即为已知的欧拉公式, 1 , 0),(1 nyxhfyynnnn如果在如果在(4.4)中右端积分用右矩形公式中右端积分用右矩形公式hf(xn 1 , y(xn 1)近似，同近似，同上则可得后退欧拉公式上则可得后退欧拉公式)5 . 4(),(111 nnnnyxhfyy后退欧拉公式与欧拉公式有着本质的区别，后者是关于后退欧拉公式与欧拉公式有着本质的区别，后者是关于yn 1的一个直接的计算公式，这类公式称作是的一个直接的计算公式，这类公式称作是显式的显式的；然而公式；然而公式(4.5)的右端含有未知

9、的的右端含有未知的yn 1，它实际上是关于，它实际上是关于yn 1的一个函数的一个函数方程，这类公式称作是方程，这类公式称作是隐式的隐式的隐式方程隐式方程(4.5)通常用迭代法求解，而迭代过程的实质是逐通常用迭代法求解，而迭代过程的实质是逐步显示化步显示化设用欧拉公式设用欧拉公式),()0(1nnnnyxhfyy ，给出迭代初值给出迭代初值)0(1 ny用它代入用它代入(4.5)式的右端，使之转化为显式，式的右端，使之转化为显式，直接计算得直接计算得),()0(11)1(1 nnnnyxhfyy又有又有，式式代入代入然后再用然后再用)5 . 4()1(1 ny),()1(11)2(1 nnnn

10、yxhfyy如此反复进行得如此反复进行得)6 . 4(), 1 , 0(),()(11)1(1 kyxhfyyknnnkn由于由于f(x,y)对对 y 满足李普希兹条件满足李普希兹条件 (4.6) (4.5)得得),(),(11)(111)1(1 nnknnnknyxfyxfhyy1)(1 nknyyhL由此可知，只要由此可知，只要hL1迭代法迭代法(4.6)就收敛到解就收敛到解yn 1 2. 梯形方法梯形方法称为称为梯形公式梯形公式在等式在等式(4.4)右端积分中若用梯形公式计算，则得右端积分中若用梯形公式计算，则得略去余项，并用略去余项，并用yn代替代替y(xn)， yn 1代替代替y(x

11、n 1)可得可得)2(1111)(,()(,(2)()( nnnnnnnRxyxfxyxfhxyxy)7 . 4(, 1 , 0),(),(2111 nyxfyxfhyynnnnnn梯形方法是隐式单步法，可用迭代法求解同后退欧拉法梯形方法是隐式单步法，可用迭代法求解同后退欧拉法一样，仍用欧拉法提供迭代初值，则梯形法的迭代公式为一样，仍用欧拉法提供迭代初值，则梯形法的迭代公式为)8 . 4(, 1 , 0),(),(2),()(11)1(1)0(1 kyxfyxfhyyyxhfyyknnnnnknnnnn于是有于是有 (4.7) (4.8)得得),(),(2)(1111)1(11knnnnknn

12、yxfyxfhyy )(11)1(112knnknnyyhLyy 式中式中L为为f(x,y)关于关于 y 的李普希兹常数如果选取的李普希兹常数如果选取h充分小使得充分小使得12 hL.)8 . 4(,1)1(1是收敛的是收敛的即迭代过程即迭代过程时有时有则当则当 nknyyk 3. 单步法的局部截断误差与阶单步法的局部截断误差与阶定义定义4.1初值问题初值问题(4.1)的单步法可用一般形式表示为的单步法可用一般形式表示为)9 . 4(),(11hyyxhyynnnnn 其中多元函数其中多元函数 与与f(x , y)有关，当有关，当 含有含有yn 1时，方法是隐式的时，方法是隐式的,若不含若不含

13、yn 1则为显式方法，所以显式单步法可表示为则为显式方法，所以显式单步法可表示为)10. 4(),(1hyxhyynnnn (x , y , h)称为称为增量函数增量函数，例如对欧拉法有，例如对欧拉法有),(),(yxfhyx 设设y(x)是初值问题是初值问题(4.1)的准确解，称的准确解，称)11. 4(),(,()()(11hxyxhxyxyTnnnnn 为显式单步法为显式单步法(4.10)在在xn 1的的局部截断误差局部截断误差Tn 1 之所以称为局部的，是假设在之所以称为局部的，是假设在xn前各步没有误差当前各步没有误差当yn y(xn)时，时， 计算一步，则有计算一步，则有11),(

14、,()()( nnnnnThxyxhxyxy),()()(111hyxhyxyyxynnnnnn 所以，局部截断误差可理解为用方法所以，局部截断误差可理解为用方法(4.10)计算一步的误差，计算一步的误差，也即公式也即公式(4.10)中用准确解中用准确解y(x)代替数值解产生的公式误差代替数值解产生的公式误差如由定义，欧拉法的局部截断误差为如由定义，欧拉法的局部截断误差为)(,()()(11nnnnnxyxhfxyxyT )()(2)()()(32hOxyhxyhxyhxynnnn . )(.)(2212hOTxyhnn 显然显然称为局部截断误差主项称为局部截断误差主项这里这里定义定义4.2

15、设设y(x)是初值问题是初值问题(4.1)的准确解，若存在最大整数的准确解，若存在最大整数)12. 4()(),()()(11 pnhOhyxhxyhxyTp 使显式单步法使显式单步法(4.10)的局部截断误差满足的局部截断误差满足则称显式单步法则称显式单步法(4.10)具有具有 p 阶精度阶精度若将若将(4.12)展开式写成展开式写成)()(,(211 ppnnnhOhxyxT则则 (xn , y(xn) hp 1称为称为局部截断误差主项局部截断误差主项以上定义对隐式单步法以上定义对隐式单步法(4.9)也是适用的例如对后退欧拉也是适用的例如对后退欧拉公式公式(4.5)，其局部截断误差为，其局

16、部截断误差为)(,()()(1111 nnnnnxyxhfxyxyT)()()(hxyhxyhxynnn )()()()()(2)(232hOxyhxyhhOxyhxyhnnnn )()(232hOxyhn . )(2,1,12nxyhp 局部截断误差主项为局部截断误差主项为阶方法阶方法是是这里这里同样对梯形公式同样对梯形公式(4.7)，其局部截断误差为，其局部截断误差为)(,()(,(2)()(1111 nnnnnnnxyxfxyxfhxyxyT)()(2)()(hxyxyhxyhxynnnn )()(! 3)(2)(432hOxyhxyhxyhnnn )()(1243hOxyhn . )(

17、12,2)7 . 4(3nxyh 局部截断误差主项为局部截断误差主项为阶的阶的是是所以梯形方法所以梯形方法)()(2)()()(232hOxyhxyhxyxyhnnnn 4. 改进的欧拉公式改进的欧拉公式梯形方法虽然提高了精度，但其算法复杂，在应用迭代公梯形方法虽然提高了精度，但其算法复杂，在应用迭代公式式(4.8)进行实际计算时，每迭代一次，都要重新计算函数进行实际计算时，每迭代一次，都要重新计算函数f(x , y)的值，而迭代又要反复进行若干次，计算量很大，而且往的值，而迭代又要反复进行若干次，计算量很大，而且往往难以预测为了控制计算量，通常只迭代一两次就转入下往难以预测为了控制计算量，通

18、常只迭代一两次就转入下一步的计算，这就简化了算法一步的计算，这就简化了算法具体地说，先用欧拉公式求得一个初步的近似值具体地说，先用欧拉公式求得一个初步的近似值,1 ny称为称为预测值预测值，预测值，预测值1 ny再用梯形公式再用梯形公式(4.7)的精度可能很差，的精度可能很差，将它校正一次，即按将它校正一次，即按(4.8)式迭代一次得式迭代一次得yn 1 ，这个结果称为，这个结果称为校正校正值值而这样建立的预测而这样建立的预测- -校正系统通常称为校正系统通常称为改进欧拉公式改进欧拉公式，即，即)13. 4(),(),(2),(1111 校正校正预测预测nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy或表为便于编制程序上机计算的下列平均化形式或表为便于编制程序上机计算的下列平均化形式 )(21),(),(11cpnpnncnnnpyyyyxhfyyyxhfyy.21)(1 . 0,比比较较并并与与精精确确解解取取步步长长的的数数值值解解xxyh 用改进的欧拉法求解初值问题用改进的欧拉法求解初值问题例例