数学浙教版九上二次函数性质 ppt课件

1、函数函数开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标y yaxax2 2(a0)(a0)y=axy=ax2 2+k (a0)+k (a0)y yaxax2 2 (a0)(a0)y=axy=ax2 2+k (a0)+k (a0)(a0)y=a(x+h)y=a(x+h)2 2 +t(a0)+t(a0)y ya a（x+hx+h）2 2(a0)(a0)y=a(x+h)y=a(x+h)2 2 +t(a0)+t(a0)直线直线x=-hx=-h直线直线x=-hx=-h对于二次函数对于二次函数y=ax2 +bx + c (a y=ax2 +bx + c (a 0) 0)图象图象: :一条抛物线一条抛物线抛物

2、线的外形抛物线的外形, ,大小大小, ,开口方向完全由开口方向完全由_来决议来决议. . 当当a的绝对值相等时的绝对值相等时,其外形完其外形完全一样全一样,当当a的绝对值越大的绝对值越大,那么开那么开口越小口越小,反之成立反之成立.0y=0.5x2y=0.5x2y= - x2y= - x2y= - 0.5x2y= - 0.5x2a a根据函数图象填空：根据函数图象填空：抛物线抛物线y= -2x2y= -2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 , ,对称轴是对称轴是 ，在，在 侧，侧，即即x_0 x_0时时, y, y随着随着x x的增大而增大；的增大而增大；在在 侧，即侧，即x_0 x_0时时,y,y

3、随着随着x x的增大而减小的增大而减小. .当当x= x= 时，时，函数函数y y最大值是最大值是_._.当当x_0 x_0时时,y0 ,y0 (0,0)直线直线x=0y y轴右轴右y轴左轴左0 00 0 0 0y= -2x2y= -2x2y yx x(0,0)直线直线x=0Y Y轴右轴右Y轴左轴左00 0y= 2x2y yx x根据函数图象填空：根据函数图象填空：抛物线抛物线y= -2x2y= -2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 , ,对称轴是对称轴是 ，在，在 侧，侧，即即x_0 x_0时时, y, y随着随着x x的增大而增大；的增大而增大；在在 侧，即侧，即x_0 x_0时时,y,y随着

4、随着x x的增大而减小的增大而减小. .当当x= x= 时，时，函数函数y y最大值是最大值是_._.当当x_0 x_0时时,y0 ,y0 函数函数 y=ax2+bx+c y=ax2+bx+c 根本性质回想根本性质回想二次函数二次函数y=ax2+bx+ca0的图像是一条抛物线的图像是一条抛物线y=x +2xy=x +2x2 2协作学习协作学习(1)(1)当自变量增大时当自变量增大时, ,函数的值将怎样变化函数的值将怎样变化? ?顶点在图顶点在图象的位置有什么特点象的位置有什么特点? ?(2)(2)判别这个函数有没有最小值或最大值判别这个函数有没有最小值或最大值. .他能发现这他能发现这是由解析

5、式中的哪一系数决议的吗是由解析式中的哪一系数决议的吗? ?(3)(3)这个函数值的增减性是怎样变化的这个函数值的增减性是怎样变化的? ?xy02-2-22-4yx0246-22-44y=2x24x6y=0.75x2+3xy=0.5x22x1.5察看以下二次函数图像：察看以下二次函数图像：顶点在图像的位置有什么特点？顶点是抛物线上的最高点或最低点 条件条件 图像图像增减性最大（小）值 xyox2x1xyox1x2二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)的性质：的性质：a0a 0w(1).(1).每个图象与每个图象与x x轴有几个交点？轴有几个交点？w(2).(2)

6、.一元二次方程一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0 x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根有几个根? ?验证一下一元二次方程验证一下一元二次方程x2-2x+2=0 x2-2x+2=0有根吗有根吗? ?w(3).(3).二次函数二次函数y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c的图象和的图象和x x轴交点的坐轴交点的坐标与一元二次方程标与一元二次方程ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0的根有什么关系的根有什么关系? ?察看二次函数察看二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象的图象y=x2+2xy=x

7、2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+1y=x2-2x+2y=x2-2x+2求二次函数图象求二次函数图象y=x2-3x+2y=x2-3x+2与与x x轴的交点轴的交点A A、B B的坐标。的坐标。解：解：AA、B B在在x x轴上，轴上， 它们的纵坐标为它们的纵坐标为0 0， 令令y=0y=0，那么，那么x2-3x+2=0 x2-3x+2=0 解得：解得：x1=1x1=1，x2=2x2=2； A A1 1，0 0 ， B B2 2，0 0他发现方程他发现方程 的解的解x1x1、x2x2与与A A、B B的坐的坐标有什么联络？标有什么联络？x2-3x+2=0 x2-3x+2=0举例举例: :

8、结论：方程结论：方程x2-3x+2=0 x2-3x+2=0的解就是抛物线的解就是抛物线y=x2-3x+2y=x2-3x+2与与x x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有亲密联络的。二次方程是有亲密联络的。 假设二次函数假设二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与的图像与x轴的两轴的两个交点的个交点的 坐标为坐标为 x1，0 和和 x2 ，0方程方程ax2+bx+c0 (a0)的解与二次函数的解与二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与的图像与x轴交点的坐标有什么关轴交点的坐标有什么关系？系？那么那么x1和和 x2 恰好是方程恰

9、好是方程ax2+bx+c0 (a0)的两个的两个根根方程方程ax2+bx+cax2+bx+c0 (a0)0 (a0)的解就是的解就是 函数函数y=ax2+bx+c (a0)y=ax2+bx+c (a0)的图像与的图像与x x轴交点的轴交点的 坐标。坐标。横横可以发现：二次函数可以发现：二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与的图像与x轴交点的轴交点的 存存在性与在性与 方程方程ax2+bx+c0 (a0)的的 解能否存在有关。解能否存在有关。协作探求协作探求 那么，进一步推想方程那么，进一步推想方程ax2+bx+c0 (a0)解解的存在性又与什么有关呢？的存在性又与什么有关呢？b2 4a

10、c的正负性有关。的正负性有关。故而：故而：当当b2 b2 4ac 4ac 时，抛物线与时，抛物线与x x轴轴 交点；交点；当当b2 4ac 时，抛物线与时，抛物线与x轴只需轴只需 交点；交点；当当b2 4ac 时，抛物线与时，抛物线与x轴轴 交点。交点。0 0 两个两个0 0 一个一个0 0 没有没有例例1 1、知函数、知函数y=y=0.5x20.5x27x7x7.57.5(1)(1)求函数的顶点坐标、对称轴，以及图像与坐标求函数的顶点坐标、对称轴，以及图像与坐标轴的交点轴的交点 坐标，并画出函数的大致图像；坐标，并画出函数的大致图像；解：解：1 1a=a=0.5,b=0.5,b=7,c=7.

11、5;7,c=7.5;所以函数所以函数y=y=0.5x20.5x27x7x7.57.5的大致图像如图：的大致图像如图：x=x=7 720 xy10O10103051020 155( (7 7，32)32)(0(0，7.5)7.5)( (1515，0)0)(1(1，0)0)自变量自变量x x在什么范围内时，在什么范围内时，y y随随x x 的增大而增大？何时的增大而增大？何时y y 随随x x的增大的增大而减小？并求出函数的最大值或而减小？并求出函数的最大值或最小值。最小值。解：解： 由右图可知，当由右图可知，当x7 时时 ， y随随x 的增大而增大；的增大而增大；当当x7 时，时，y 随随x的增

12、大的增大而减小；而减小；当当x7时，函数有最大值时，函数有最大值32。(-15,0)(1,0)(0,7.5)(-7,32)(-14,7.5).0 xy(3(3根据第题的图象草图，说根据第题的图象草图，说 出出 x x 取哪些取哪些值时，值时， y=0; y=0; y0; y0. y0.x=-15x=-15或或x=1x=1x-15x1x1-15x1-15x1ABCSABC=0.5SABC=0.5ABABOC=0.5OC=0.516167.5=607.5=60(4)(4)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：xoyx1x2(0,c)44,2(2abacab),

13、(cab 函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与y y轴的交点关于图象对称轴的对称点。轴的交点关于图象对称轴的对称点。xoyx2x1(0,c),(caby=ax2+bx+cy=ax2+bx+c)44,2(2abacabX=-b/2a练一练练一练1、求以下函数的最大值、求以下函数的最大值或最小值或最小值和对应的自变量的值：和对应的自变量的值： y=2x28x1； y=3x25x1解：解： y=2x28x12(x2)27当当x=2时时,y有最小值有最小值,为为7 a=30且且b=5,c=1;故故:当当x= 时，时，y有最有最 值，为值，为大配方

14、法配方法公式法公式法2、知函数、知函数y=x23x4.求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的大致图像；对称轴，并画出函数的大致图像；解：解： y=x2 y=x23x3x4 4 (x(x1.5)21.5)26.25,6.25,图象顶点坐标为图象顶点坐标为(1.5, (1.5, 6.25);6.25);又当又当y=0y=0时，时，得得x2x23x3x4 40 0的解为：的解为： x1 x11 1，x2x24 4。那么与那么与x x轴的交点为轴的交点为( (1,0)1,0)和和(4,0) (4,0) 与与y y轴的交点为轴的交点为(0

15、, (0, 4)4)(1,0)(1.5, 6.25)(0, 4)(4,0)x=1.5Oyx(1,0)(1.5, 6.25)(0, 4)(4,0)x=1.5Oyx记当记当x1=1.5, x2= , x3= x1=1.5, x2= , x3= 时对应的函时对应的函数值分别为数值分别为y1,y2,y3,y1,y2,y3,试比较试比较y1,y2,y3y1,y2,y3的大小的大小? ?( ,y2)( ,y3)(3.5,y1)x=x=x=3.5(2)(2)在二次函数在二次函数y=x2-3x-4y=x2-3x-4中中, ,自变量自变量x_x_时时,y,y随随x x 的增大而增大的增大而增大, ,x_x_时时

16、,y,y随随x x的增大而的增大而减小减小. .1.51.51.51.5 1.5- 22即即x2x3x1x2x3x1y1y3y2y1y3y2例例2 2、二次函数、二次函数y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)的图象如下图，的图象如下图，那么那么a a、b b、c c的符号分别怎样？的符号分别怎样？yxo1 1、知二次函数的图像如下图，以下结论：、知二次函数的图像如下图，以下结论：a+b+ca+b+c0 0 a-b+ca-b+c0 0 abc abc 0 0 b=2ab=2a其中正确的结论的个数是其中正确的结论的个数是 A A、1 1个个 B B、2 2个个 C C、3 3个个

17、 D D、4 4个个2 2、以下函数何时有最大值或最小值，并求出最大值或最小值、以下函数何时有最大值或最小值，并求出最大值或最小值 y=2x2-8x-3 y=-5xx- 43 3、二次函数、二次函数y=x2y=x2bx+8bx+8的图像顶点在的图像顶点在x x轴的负半轴上，轴的负半轴上，那么那么b b等于多少？等于多少？D D-110 xy做一做做一做例例3 3、如图，在、如图，在ABCABC中，中，AB=8cmAB=8cm，BC=6cmBC=6cm，BB9090，点点P P从点从点A A开场沿开场沿ABAB边向点边向点B B以以2 2厘米秒的速度挪动，点厘米秒的速度挪动，点Q Q从点从点B

18、B开场沿开场沿BCBC边向点边向点C C以以1 1厘米秒的速度挪动，假设厘米秒的速度挪动，假设P,QP,Q分别从分别从A,BA,B同时出发，几秒后同时出发，几秒后PBQPBQ的面积最大？最大面积是多少？的面积最大？最大面积是多少？ABCPQ解：根据题意，设经过解：根据题意，设经过x x秒后秒后PBQPBQ的面积的面积y y最大最大, ,那么：那么：AP=2x cm PB=AP=2x cm PB=8-2x 8-2x cm cm QB=x cmQB=x cm那么：那么： y=1/2 x y=1/2 x8-2x8-2x=-x2 +4x=-x2 +4x=-=-x2 -4x +4 -4x2 -4x +4

19、 -4= -= -x - 2x - 22 + 42 + 4所以，当所以，当P P、Q Q同时运动同时运动2 2秒后秒后PBQPBQ的面积的面积y y最大最大最大面积是最大面积是 4 cm2 4 cm20 x40 xx20,x1x20,试比较试比较y1y1与与y2y2的大小的大小. .2 2、如图直线、如图直线l l经过点经过点A(4,0)A(4,0)和和B(0,4)B(0,4)两点两点, ,它与二次它与二次函数函数y=ax2y=ax2的图像在第一象限内相交于的图像在第一象限内相交于P P点点, ,假设假设AOPAOP的面积为的面积为4.5,4.5,求二次函数的解析式求二次函数的解析式. .AB

20、POxy3 3、将抛物线、将抛物线y=x2y=x2向下平移后向下平移后, ,使它的顶点使它的顶点C C与它在与它在x x轴上轴上的两个交点的两个交点A,BA,B组成等边三角形组成等边三角形ABC,ABC,求此抛物线的解析求此抛物线的解析式。式。谈谈他的收获、感受？！谈谈他的收获、感受？！1 1、如图，等腰、如图，等腰RtRtABCABC的直角边的直角边ABAB，点，点P P、Q Q分别从分别从A A、C C两点两点同时出发，以相等的速度作直线运动，知点同时出发，以相等的速度作直线运动，知点P P沿射线沿射线ABAB运动，运动，点点Q Q沿边沿边BCBC的延伸线运动，的延伸线运动，PQPQ与直线相交于点与直线相交于点D D。(1)(1)设设 AP AP的长为的长为x x，PCQPCQ的面积为的面积为S S，求出，求出S S关于关于x x的函数关系式的函数关系式(2)(2)当当AP