第7章多元函数积分学9-16(第一类曲线积分)-郑

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A7.2.1 7.2.1 第一类曲线积分第一类曲线积分 7.2.1 7.2.1 第一类曲线积分第一类曲线积分 .引引例例与与概概念念一一 .性性质质二二 .算算对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分的的计计三三直接计算法直接计算法 习例习例1-3对称性简化计算法对称性简化计算法习例习例4-6 .用用对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分的的应应四四第一类曲线积分第一类曲线积分引例引例1. ., ),( 求其质量求其质量构件构件的非均匀平面曲线形的非均匀平面曲线形设有线密度为设有线密度为Lyx 解解oxyAB

2、L分割分割, ,121insMMM 1 nMiM1 iM2M1M,),(iiis ),(ii ;),(iiiism 求和求和, ;),(1 niiiism 取极限取极限,.),(lim10 niiiism 近似值近似值精确值精确值一一.引例及概念引例及概念引例引例2. ., ),( 求其质量求其质量构件构件的非均匀空间曲线形的非均匀空间曲线形设有线密度为设有线密度为 zyx 解解ABL分割分割, ,121insMMM 1 nMiM1 iM2M1M,),(iiiis ;),(iiiiism 求和求和, ;),(1 niiiiism 取极限取极限,.),(lim10 niiiiism 近似值近似值

3、精确值精确值oxyz),(iii 第一类曲线积分的统一定义（形式上的定义）第一类曲线积分的统一定义（形式上的定义） ,)(,),(是是有有界界函函数数是是可可以以度度量量的的空空间间平平面面表表示示曲曲线线设设PfS );(,)1(1也也表表量量度度个个小小部部分分任任意意分分划划成成将将insssnS ), 1( ,)( ,)2(nisPfsPiiii 作作乘乘积积;)( 1 niiisPf作和作和,max )3(1的的直直径径记记inis ,上怎样的取法上怎样的取法在在怎样的分划怎样的分划如果无论对如果无论对iisPS niiisPf10)(lim .)(,上的第一类曲线积分上的第一类曲线

4、积分在在则称其为则称其为都存在都存在SPf记为记为.)(lim)(10 niiiSsPfdsPf 则则若若),()(, )1(yxfPfLS .),(lim),(10 niiiiLsfdsyxf 平面曲线上对弧长的曲线积分平面曲线上对弧长的曲线积分则则若若),()(, )2(zyxfPfS .),(lim),(10 niiiiisfdszyxf 空间曲线上对弧长的曲线积分空间曲线上对弧长的曲线积分注意注意: .),( ,),( )1(存在存在积分积分对弧长的曲线对弧长的曲线上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当 LdsyxfLyxf.),( )2( Ldsyxm 曲线型构件的质量曲线型构

5、件的质量.),( dszyxm .),( ,)3( LdsyxfL则则记记为为为为封封闭闭曲曲线线若若.),(, dszyxf则则记记为为为为封封闭闭曲曲线线若若. 0 )4( is对弧长的曲线积分与路径的走向无关对弧长的曲线积分与路径的走向无关! .性质性质二二.),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数为常数kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL . )4( Ldss.),(),( )5( BAABdsyxfdsyxf .算算对弧长的曲线积分的计对弧长

6、的曲线积分的计三三定理定理1. ,),()1(上上连连续续在在设设Lyxf ),(),(),()2( ttytxL的的参参数数方方程程为为, 0)()( ,)(),()3(22 tttt 且且上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数在在 )( )()()(),(),( 22 dtttttfdsyxfL则则注意注意: ; )1( 一定小于上限一定小于上限积分下限积分下限. 0, 0 iits1. 直接计算法直接计算法 . ,)()(),(),(,)2(22的的积积分分再再作作换换成成将将计计算算时时 dtttttdsyx概括为概括为“一代二换三定限一代二换三定限”).()(:)3(bxaxyL .)

7、(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL ).()(:)4(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL ).( ),(: )5( rrL).( ,sin)(cos)(: ryrxL .)()()sin,cos(),(22 drrrrfdsyxfL ).( ,)()()(: )6( ttztytx .)()()()(),(),(),(222dtttttttfdszyxf .(),(0,0),(1,0), (0,1) .1Lxy dsLOAB计算其中 是以为顶点的三角形的边例xyoAB22222,.2.,xyLedsLxyayxox计算其中 为圆周直线及轴在第一象限内所

8、围成的扇形的整个边界例xyoABa2.,(0,0,0), (0,0,2),(1,0,2), (1,3,2)3.x yzdsABCD计算其中 为折例线.(),(0,0), (1,0), (0,11) .Lxy dsLOAB计算其中 是以为顶点的三角形的边例解解xyoAB, 0: yOA; 10 x,1:xyAB ; 10 x, 0: xBO; 10 y BOABOALdsyx)( 10 xdx 102dx 10ydy. 21 222222., .xyLedsLxyayxox例 计算其中 为圆周直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界解解xyoABa, 0: yOA;0ax ,sincos: t

9、aytaxAB;40 t,:xyBO ;20ax BOABOALyxdse22 axdxe0 40 adtea 2022axdxe. 2)42( aea 23.,(0,0,0), (0,0,2), (1,0,2), (1,3,2).x yzdsABCD例 计算其中 为折线解解,00: yxAB; 20 z,20: zyBC; 10 x,21: zxCD; 30 y CDBCAByzdsx2 CDyzdsx200 302ydy. 9302 y2. 利用对称性简化计算利用对称性简化计算 , )1(轴轴时时对对称称于于当当xL ),(),( 0),(),( ),(2),(yxfyxfyxfyxfds

10、yxfdsyxfLL上上, )2(轴轴时时对对称称于于当当yL ),(),( 0),(),( ),(2),(yxfyxfyxfyxfdsyxfdsyxfLL右右2,:4 ,(1,2)(1, 2.)4LIydsL yx求其中到例从一段222222.,(5)().LIy dsLxyaxy计算其中 为双纽线的弧例22222.,6.0 xyzaIx dsxyz求其中 为圆周例2.,:4 ,(1,2)(1, 2).4LIydsL yx求其中从到一段例方法方法1.xy42 由于由于L关于关于x轴对称轴对称, 被积函被积函数是关于数是关于y的奇函数的奇函数. 0 LydsI方法方法2. ).22( ,4 2

11、 yyx选选取取. 0 dyyyI222)2(1 222222.,(5)().LIy dsLxyaxy计算其中 为双纽线的弧例解解 双纽线的极坐标方程为双纽线的极坐标方程为,2cos22 ar sin2coscos2cosayax drrds22 且且 da2cos 14LLdsydsyI于于是是 daa 402cossin2cos4 da 402sin4.)22(22a 22222.,6.0 xyzaIx dsxyz求其中 为圆周例解法解法1.得得消消去去由由zzyxazyx 02222222222ayxyx 222)2()23()2(ayyx ,cos22 tayx 令令taysin223

12、 tataztaytataxsin6cos2sin6sin6cos2 得得)20( t 2022)sin6cos2(dttataadsxI 2022222)sin6sincos12cos2(dttattataa.323a 解法解法2由轮换对称性由轮换对称性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球球面面大大圆圆周周长长ads 这里巧妙地利用了轮换对称性这里巧妙地利用了轮换对称性, 使计算大大简化。使计算大大简化。一般来讲，对曲线的方程，若其各坐标的一般来讲，对曲线的方程，若其各坐标的“地位地位”完全平等，则可考虑利用轮换对称性。完全平

13、等，则可考虑利用轮换对称性。另外，若被积函数出现积分曲线方程的形式，另外，若被积函数出现积分曲线方程的形式，则通常可以代入将积分化简。则通常可以代入将积分化简。 .用用对弧长的曲线积分的应对弧长的曲线积分的应四四 ,),()1(的的线线密密度度时时表表示示当当Lyx ;),( Ldsyxm ;,1),()2( LdsLyxf弧弧长长时时当当,),(),()3(处处的的高高时时柱柱面面在在点点上上的的表表示示立立于于当当yxLyxf.),( LdsyxfS柱面面积柱面面积sL),(yxfz )4(曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐标., LLLLdsdsyydsdsxx 曲线弧的转动惯量曲线弧的转动惯量)5(.)( , ,2222 LoLyLxdsyxIdsxIdsyI 对空间对空间曲线构曲线构件也有件也有结论结论!2227. cos ,sin , (02 ), ( , , ),( , , ).zxat yat zkttx y zxyzIx y z 例 设有曲线形构件方程为求解解 dszyxyxIz),()( )1(22 dszyxyx)(22222 20222222)(dtkatkaa).43(32222222kakaa dszyxm),( )2( dszyx)(222 2022222)(dtkatka).4