深挖教材例习题,提升解题效率

1、挖教材深例习题提升解题效率-以一个课后习题结论的推广和应用为例云南省下关第一中学671000 马孟华教材例、习题具有典型性、示范性和深刻性，蕴含丰富的知识和内涵，给师生留下广阔的思维空间和探索空间.在新课标及数学核心素养的要求下，单纯解决课后习题是不够的， 只有在解读教材，回归教材中带领学生深挖教材例习题，在一系列的知识联动、整合、延伸、拓展的活动中，提升学生思维水平， 提高解题效率，促进学生数学能力的发展，才能最终达 到培养学生学科素养的目标 .下面以一个课后习题结论的推广和应用为例，说明深挖教材例习题在提升解题效率上的作用.高中数学新课标教材中以习题的形式给出了这样一个不等式的证明：已知

2、0 x 一，求证：sin x x tanx. 2该不等式采用三角函数的单位圆定义，利用三角函数线以及图形(扇形、直角三角形) 的面积的大小关系即可证明.而在教学常规下带领学生深挖该习题的结论，对该不等式结论的前部分 sinx x(0 x )进行推广，就可以得到：sinx x(x 0).2证明如下：设函数 f(x) sin x x (x 0),贝U f (x) cosx 1 0 ,所以f(x)在0,)上单调递减，所以 f (x) f (0) 0 ,故有sin x x(x 0).该不等式推广结论的重要意义在于：在特定解题环境下，通过将复杂函数中的三角函数部分(即sinx)放缩转化为一次函数，使研究

3、对象转化为较为简单的函数模型，则问题就 会大大得到简化.近年来，高考中以三角函数为背景的导数压轴题屡见不鲜，如果能够恰当地使用sinx x(x 0)等类型的不等式，将会快速解决高考中出现的一些不等式证明问题(即利用现成的结论不等式证明不等式问题).利用“不等式放缩”证明不等式是高考的重要考点，掌握以下结论不等式将会对高考有重要作用：(1) ln(1 x) x(x 1),其变形为：ln x x 1(x 0)；(2) exx 1(xR),其变形为：ex1 x(xR)；1 o1411(3) lnx -(x21)(x 2),其变形为：2 ()(x2);4lnx x2 1 x 1 x 1(4) sin

4、x x(x 0) ,下面就不等式sinx x(x 0)的应用举例加以说明.例1 已知函数f (x) ex(x2 3ax 2a2 a),其中a为实数.(I)函数f (x)在x 1处取得极大值，求 a的值;x5设函数g（x） e （sinx词），证明：当a 0时，对任意的x 0,）f (x)g(x).原解(I)略;(n)F(x) f(x) g(x) ex(x2sinx 勺) 16x 0,).2H(x) x25sinx , x16H (x) 2xcosx令 h(x) 2xcosx, x 0,)，则 h (x)2 sin x0 ,所以 h(x)在0,)上是增函数，即H（x）在0,）上单调递增.又因为H

5、 （0）1 , H (-) - - 0632所以存在唯一 x0（0,一）,使得6H (%) 2x0 cosx00 ,所以当0 x xo时，H(x) 0 , H (x)在(0, xO)上单调递减.x x0 时,H (x) 0,所以 H (x)在(x°,）上单调递增.所以当x0,)时，H (x)m.H(%)2x0sin x0516因为2%cosx。，所以 H(x)min H (%)12-cosx041.24sinx0sinx0sinx0516916因为x0(0,6)，则 sin x010,2小sin x0故有1t24t 2160,2所以0,即 H (x)min0,故 H(x)sinx5

6、八，0在0,）上恒成乂 .而 F(x)f (x) g(x)_ x 2e (x sin x所以F(x) 0,即对任意x 0,), f(x) g(x).分析 原解中第（n）问主要采用了 “部分函数法"和”函数零点设而不求"的导数求解技巧（这也是近年来函数导数综合试题的考查热点）次函数以及换元思想，是难度较大的一个导数题.,同时也综合考查了三角函数、但如果采用不等式 sinx x（x 0）,即利用不等式放缩来证明，那么该不等式证明问题将会迎刃而解.新解如下:595巧斛 (n)要证 f(x) g(x)即证：ex e (sinx )x sinx '16162x sin x 0

7、16下证 x2 sin x 016，令 h(x)故 h(x)sin x516 (x0),因为 sinx x(x 0)(已证)，25x sinx16令 F (x) 16Lx2 x 3x160)因为F(x)的图像开口向上，且其判别式，5c-1 4 0,故F(x) 0在x 0上恒成立.所以h(x) F (x) 0 ,即h(x) 0在x 0上恒成立.综上 f(x) g(x).由此法可见，深挖教材习题结论，拓宽思维方向，将提升解题效率，达到事半功倍的效果。小结该题型所考查的内容是今年来高考新课标导数大题的一个热门考点，分别出现在2019年全国新课标1卷文理科(20题)、2019年天津卷理科(20题)、2

8、013年新课标 卷理科(II) (21题)、2012年新课标卷文科(21题)、2011年新课标卷文科(21题)中， 由于这类问题涉及到了由三角函数和指对哥函数构成的复杂函数问题，是学生乃至教师的思维痛点”，只是极少的学生能够解决此类问题，也就没有引起教师和学生的关注.而2019年全国新课标1卷中的文理科20题的再次出现提醒了我们应该关注此类问题.当然，此类问题没有一个固定的系统思路去解决所有问题，故作者选取了利用“放缩”这一思想解决一部分三角函数与指对募函数的交汇问题.下面我们再来看一个例子.例 2 已知函数 f (x) mx sin x , g (x) ax cosx 2sin x(a 0)

9、.(i)若函数y "*)是(，)上的单调递增函数，求实数m的最小值；(n)若m 1,且对于任意的x 0, ,都有不等式f(x) g(x)成立，求实数a2的取值范围.解 (I) 略；(n)由题意知 f (x) x sin x ,故有 x sinx axcosx 2sin x 对 x 0 ，2恒成立.即 ax cosx x sin x 对 x 0,一恒成立.2 一当x 0或x 一时，不等式恒成立，故此时 a 0 ；2x sin x 一、 x sin x -当 x 0,一时，有 a ,令 h(x) , x 0,一,则2x cosxx cosx2222h (x)xcosx xcos x xc

10、osx x sin x sin xcosx xsin x(xcosx)22 _2. 一 x x sin x sin xcosx；C2>(xcosx)x x sin x sin xcosx(xcosx)2因为x 0,- 时，有sinx x恒成立，故h (x)22.x x sin x xcosx x(1 cosx) x sin xC2(xcosx)(xcosx)x sin x故h(x)在0,- 上单调递增，下面计算函数h(x)在x 0时的极限值x cos x 2由于 x。时，有 lim h(x) lim snx lim 1-cosx- 2 (洛必达法则)x 0 x 0 xcosx x 0 c

11、osx xsin x故a 2小结 本例中，在处理函数 h(x)的导函数时，分子结构非常复杂，尽管利用“端点效应”可以看到函数会在0,- 上单调递增，即h(x) 0在0,- 上恒成立，但如果通过反复求导h(x)去解决h(x) 0的问题是较为复杂和困难的.若本例中采用了不等式 sinx x2. 一 x x sin x sin xcosx一 、放缩，就可将 h (x) 2的分子放小为表达式 x(1 cosx)(xcosx)2.x2sinx，而 1 cosx 0在 0,-上恒成立，故 h(x) x(1 cosx) 1s1nx 0，这2(xcosx)样就得出了函数h(x)在0,- 上单调递增，进而问题就

12、转化成了求解函数h(x)在x 02时的极限值问题.值得一提的是：高考导数压轴题中求解参数取值范围问题，往往采用参变x sin x分离法，而分离之后得到的新函数(如 h(x) )常常会在对应的区间上单调，此xcosx时问题就会转化为求解新函数在端点处的函数值.而新函数常常在端点处无定义，将端点带入函数后就会呈现“ 0”或“一”的不定式结构，故就要采用“洛必达法则”2来进行求0解，而该方法在解决高考中函数导数问题有着其特殊的重要意义我们一线教师如果能够在平时的教学中积极将例、习题进行“深加工” “延伸拓展”，并进行创造性的推广和改编，衍生出一些新的问题或结论，将会大大提高教师理解、使用教材的能力，提升教师课堂教学的有效性，最终在教学和学习上取得创造性的成果参考文献1 江慧斌.深挖课本例习题后的反思J.数学学习与研究，2010 （06）:102 .2 董珍，施雅亭.利用洛必达法则求未定式极限的几种技巧J.数学学习与研究，2015（ 19 ） :96-98.作者简介 马孟华（1986），男，大学本科毕