第九章 弯曲变形 静不定梁

1、第九章第九章 弯曲变形弯曲变形 静不定梁静不定梁9-1 概概 述述一、工程实践中的弯曲变形问题一、工程实践中的弯曲变形问题 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。常工作。 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。 桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行则会使小车

2、行走困难，出现爬坡现象。走困难，出现爬坡现象。 但在另外一些情况下，有时却要求构件具但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。 例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。P2P2P1.挠曲线挠曲线二、弯曲变形的基本概念二、弯曲变形的基本概念挠曲线挠曲线2.挠度和转角挠度和转角规定：向上的挠度为正规定：向上的挠度为正 逆时针的转角为正逆时针的转角为正xyxv挠曲线方程：挠曲线方程：v f x ( )转角方程：转角方程：

3、 f xfx( )dd tan9-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、梁的挠曲线近似微分方程式一、梁的挠曲线近似微分方程式Kyy()/123 2yf x( ) 曲线曲线 的曲率为的曲率为1MEIz1123/2 vv()MEIvEIvMz 或 vEIvM M 0 xy v0MMMMM 0 v0 xy梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程:EIvM xEIvxM x ( ):( )或dd22二、用积分法求梁的变形二、用积分法求梁的变形式中积分常数式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定由边界条件和连续条件确定EIvM x ( )EIvM xxC ( ) dE

4、IvM xx xCxD ( ) d d 例：已知梁的抗弯刚度为例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简。试求图示简支梁在均布载荷支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定方程，并确定max和和vmax。xylq解：解：M xqlxqx( ) 222EIvqlxqx 222EIvqlxqxC 4623EIvqlxqxCxD122434由边界条件：由边界条件：xvxlv000时，时，得：得：CqlD 3240,xqlxyAB梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：qEIlxxl2464233()vqxEIlxxl242233()最大转角和最大

5、挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：max ABqlEI324vvqlEIxlmax 245384xqlxyAB 例：已知梁的抗弯刚度为例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬。试求图示悬臂梁在集中力臂梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定程，并确定max和和vmax。xylPAB解：解：M xP lx( )() EIvP xPl EIvPxPlxC 22EIvPxPlxCxD6232由边界条件：由边界条件：xvv 000时，,得：得：CD 0 xylPABx梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：PxEIxl22()vPxEIxl2

6、63()最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：max BPlEI22vvPlEIBmax 33xylPABx 例：已知梁的抗弯刚度为例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简。试求图示简支梁在集中力支梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定程，并确定max和和 vmax。xyl2PABCl2解：解：ACM xPx段：( ) 2EIvPx 2EIvPxC 42EIvPxCxD123由边界条件：由边界条件：xv00时，得：得：D 0由对称条件：由对称条件：xlv 20时，得：得：CPl 216xyl2PABCl2xAC段段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：

7、梁的转角方程和挠曲线方程分别为：PEIxl16422()vPxEIxl484322()最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：max ABPlEI216vvPlEIxlmax 2348xyl2PABCl2x 例：已知梁的抗弯刚度为例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定梁的转角方程、挠曲线方程，并确定max和和vmax。yaqABCxaaaDE解：由对称性，只考虑半跨梁解：由对称性，只考虑半跨梁ACDMxqaxxa11110()()EIvqaxEIvqaxqxa1122222()yaqABCxaaaDEqaqax1x2Mxqaxqxaa

8、xa22222222()()()由连续条件：由连续条件：xxavvvv121212时,EIvqaxC11212由边界条件：由边界条件：由对称条件：由对称条件：得CCDD1212xv1100时,得 D10 xav2220时,得 Cqa23116 EIvqax11EIvqaxqxa22222()EIvqaxC xD1131 116EIvqaxqxaC22223226()EIvqaxqxaC xD22324222624()梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：1212122223321211312232432261130631126110244442 qaEIaxxaqEI

9、axxaaaxavqaEIa xxxavqEIaxxaa xaxa()()()()最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：max AxqaEI1031116vvqaEIxamax 22421989-3 用叠加法计算梁的变形用叠加法计算梁的变形梁的刚度计算梁的刚度计算一、用叠加法计算梁的变形一、用叠加法计算梁的变形 在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个起的变形是

10、各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。例：用叠加法求例：用叠加法求vCAB、解：解：vC53844qlEIPlEI348mlEI216AqlEI324PlEI216mlEI3BqlEI324PlEI216mlEI3 例：已知梁的例：已知梁的 为常数，今欲使梁的挠曲为常数，今欲使梁的挠曲线在线在 处出现一拐点，则比值处出现一拐点，则比值为多少？为多少？lm2xm1xl/ 3EImm12/解：由梁的挠曲线近似微分方程解：由梁的挠曲线近似微

11、分方程EIvM x ( )知，在梁挠曲线的拐点处有：知，在梁挠曲线的拐点处有：从弯矩图可以看出：从弯矩图可以看出：mm1212lm2xm1M 0Mm2m1 例：例：两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂梁梁、如图示，如图示，梁的最大挠度是梁的最大挠度是梁的多梁的多少倍？少倍？2llP2PPlEI33 例：例：简支梁在整个梁上受均布载荷简支梁在整个梁上受均布载荷q作用，若作用，若其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？lqvqlEImax 53844例：例：欲使欲使AD梁梁C点挠度为零，求点挠度为零，求P与与q的关系。的关系。解：

12、解：vqaEIC 523844()PaaEI()2162 0Pqa56 例：若图示梁例：若图示梁B端的转角端的转角B=0，则力偶矩，则力偶矩等于多少？等于多少？解：解：BPaEI 22maEI20mPa4例：求图示梁例：求图示梁 C、D两点的挠度两点的挠度 vC、 vD。解：解：vvqaEIqaEICD 05238452444,()例：求图示梁例：求图示梁B、D两处的挠度两处的挠度 vB、 vD 。解：解： vqaEIqaaEIqaEIB()()2823143434 vvqaaEIqaEIDB222488334()例：求图示梁例：求图示梁C点的挠度点的挠度 vC。解：解： 例：例： 用叠加法求

13、图示变截面梁用叠加法求图示变截面梁B、C截面的截面的挠度挠度 vB 、 vC 。解：解：vPaEIPa aEIB323 22 2()()vvaPaEICBB33 5123PaEIBPaEIPa aEI22 22()342PaEI顺时针 323PaEI例：例： 用叠加法求图示梁端的转角和挠度。用叠加法求图示梁端的转角和挠度。解：解：CBqaEIqaEI3364顺时针BqaaEIqaaEI22223216()qaEI312顺时针 vaqaEIqaEICB448524 例：例： 用叠加法求图示梁跨中的挠度用叠加法求图示梁跨中的挠度vC和和B点点的转角的转角B（为弹簧系数）。（为弹簧系数）。解：弹簧缩

14、短量解：弹簧缩短量BqkqlEIqlEI8224222433qkqaEI873843顺时针 vqlkqlEIC1657684 qlk8 例：例： 梁梁AB，横截面为边长为，横截面为边长为a的正方形，的正方形，弹性模量为弹性模量为E1；杆；杆BC，横截面为直径为，横截面为直径为d的圆的圆形，弹性模量为形，弹性模量为E2。试求。试求BC杆的伸长及杆的伸长及AB梁梁中点的挠度。中点的挠度。 例：例： 图示梁处为弹性支座，弹簧刚度图示梁处为弹性支座，弹簧刚度。求。求C端挠度端挠度vC。kEIa23解：解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为点挠度为 vqakqaEIC1

15、4323 vqaEIaqaEIC 2342243()(2)弹簧不变形，仅梁变形引起的弹簧不变形，仅梁变形引起的C点挠度为点挠度为(3)C点总挠度为点总挠度为 vvvqaEICCC12483例：用叠加法求图示梁例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。端的挠度和转角。解：解：二、梁的刚度计算二、梁的刚度计算刚度条件：刚度条件：vvmaxmax v、是构件的许可挠度和转角，它们决定是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。于构件正常工作时的要求。 例：图示工字钢梁，例：图示工字钢梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3， v = l500，E=200GPa，=100

16、MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷的许可载荷 P，并校核强度。，并校核强度。解：由刚度条件解：由刚度条件vPlEIvlmax 348500得PEIl485002所以 .P 711kNmaxmaxMWz所以满足强度条件。PlWz460MPa 711.kN9-4 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入

17、手。就应从上述各种因素入手。一、增大梁的抗弯刚度一、增大梁的抗弯刚度EI二、减小跨度或增加支承二、减小跨度或增加支承三、改变加载方式和支座位置三、改变加载方式和支座位置9-5 用变形比较法解静不定梁用变形比较法解静不定梁一、静不定梁的基本概念一、静不定梁的基本概念 用多余反力代替用多余反力代替多余约束，就得多余约束，就得到一个形式上的到一个形式上的静定梁，该梁称静定梁，该梁称为原静不定梁的为原静不定梁的相当系统。相当系统。二、用变形比较法解静不定梁二、用变形比较法解静不定梁例：求图示静不定梁的支反力。例：求图示静不定梁的支反力。 解：将支座解：将支座B看成看成多余约束，变形协调多余约束，变形协调条件为：条件为：vB 0即R lEIqlEIB34380RqlB38 另解：将支座另解：将支座A对截面对截面转动的约束看成多余约转动的约束看成多余约束，变形协调条件为：束，变形协调条件为：A 0即M lEIqlEIA32403MqlA182 例：为了提高悬臂梁例：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，的强度和刚度，用短梁用短梁CD加固。设二梁加固。设二梁EI相同，试求相