[数学]第2章非线性方程求解ppt课件

1、第第2章章 非线性方程求非线性方程求解解2.1 化工实践问题的提出化工实践问题的提出 J求解非线性方程是化工设计及模拟计算中必求解非线性方程是化工设计及模拟计算中必需处理的一个问题。需处理的一个问题。J与线性方程相比，非线性方程问题无论是从与线性方程相比，非线性方程问题无论是从实际上还是从计算公式上，都要比线性方程复实际上还是从计算公式上，都要比线性方程复杂的多杂的多J对于普通的非线性对于普通的非线性f(x)=0，计算方程的根既，计算方程的根既无一定章程可循也无直接方法可言。无一定章程可循也无直接方法可言。2.1 化工实践问题的提出化工实践问题的提出 F例如，求解高次方程组例如，求解高次方程组

2、7x6-x3+x-1.5 = 0的根，的根，求解含有指数和正弦函数的超越方程求解含有指数和正弦函数的超越方程ex-sin(x) = 0的零点。的零点。F解非线性方程或非线性方程组也是计算方法解非线性方程或非线性方程组也是计算方法中的一个主题。中的一个主题。F普通地，我们用符号普通地，我们用符号f(x)来表示方程左端的来表示方程左端的函数，方程的普通方式表示为函数，方程的普通方式表示为f(x)= 0，方程，方程的解称为方程的根或函数的零点。的解称为方程的根或函数的零点。 2.1 化工实践问题的提出化工实践问题的提出 v 通常，非线性方程的根不止一个，而任何一种方法只能算出一个根。v 因此，在求解

3、非线性方程时，要给定初始值或求解范围。v 而对于详细的化工问题，初值和求解范围经常可根据详细的化工知识来决议。2.1 化工实践问题的提出化工实践问题的提出 v常见的雷诺数和摩擦系数关系方程在雷常见的雷诺数和摩擦系数关系方程在雷诺数低于诺数低于4000时有以下关系式：时有以下关系式： 0 50 52118 71 742.lgii.dRe 2.1 化工实践问题的提出化工实践问题的提出v当我们知雷诺数当我们知雷诺数Re，如何根据公式，如何根据公式2-1求出摩擦系求出摩擦系数数，这是我们在管路设计中必需首先处理的问题。，这是我们在管路设计中必需首先处理的问题。v 对于方程对于方程2-1而言，无法用解析

4、的方法求出摩擦系而言，无法用解析的方法求出摩擦系数，只能用数值求解的方法。如用在下面即将引见的松数，只能用数值求解的方法。如用在下面即将引见的松弛迭代法，假设：弛迭代法，假设： v v那么利用松弛迭代公式可得：那么利用松弛迭代公式可得：v 0 50210 1380000 5.,. ,.iixRexd 118 70 50 51 7420 11 25000()( ).( .lg., ,kkkxxxk 这是一个典型的非线性方程。我们在管路设计中经这是一个典型的非线性方程。我们在管路设计中经常碰到。常碰到。2.1 化工实践问题的提出化工实践问题的提出 经11次迭代可得摩擦系数为0.07593。 同样，

5、在n个组分的等温闪蒸计算中，经过物料和相平衡计算，我们可得到如下非线性方程2-3 ： 110()niiiizkk 2.1 化工实践问题的提出化工实践问题的提出v 在方程在方程2-3中只需中只需是未知数，是未知数，ki为相平衡常为相平衡常数，数，zi为进料组分的摩尔浓度，均为知数。为进料组分的摩尔浓度，均为知数。v 方程方程2-3也无法直接解析求解，必需利用数也无法直接解析求解，必需利用数值的方法。值的方法。v 借助于计算机方可准确的计算。借助于计算机方可准确的计算。 110()niiiizkk 2-3 2.1 化工实践问题的提出化工实践问题的提出v对于这个问题的求解，可利用我们下面引见的对于这

6、个问题的求解，可利用我们下面引见的牛顿迭代法进展计算，也可利用其他迭代公式进牛顿迭代法进展计算，也可利用其他迭代公式进展计算，如采用牛顿迭代公式，那么可以得到如展计算，如采用牛顿迭代公式，那么可以得到如下的详细迭代公式：下的详细迭代公式：11111()()()miinnniimiiniizkkaaazkka 2-42.1 化工实践问题的提出化工实践问题的提出2lnlnBD ppACTTT v 饱和蒸气压是我们经常要用到的数据，虽然饱和蒸气压是我们经常要用到的数据，虽然我们可以经过实验丈量来获取饱和蒸气压的数我们可以经过实验丈量来获取饱和蒸气压的数据。据。v 我们通常利用前人曾经丈量得到的数据或

7、回我们通常利用前人曾经丈量得到的数据或回归的公式来获取，这可以减轻我们大量的根底归的公式来获取，这可以减轻我们大量的根底实验任务。实验任务。v公式公式2-5是一种常用的饱和蒸气压计算公是一种常用的饱和蒸气压计算公式：式：2.1 化工实践问题的提出化工实践问题的提出J由于公式由于公式2-5两边都有未知变量，并且无法用解两边都有未知变量，并且无法用解析的方法求解，必需用数值计算的方法求解。析的方法求解，必需用数值计算的方法求解。J 经过上面的一些例子，我们可以发现，假设没有适经过上面的一些例子，我们可以发现，假设没有适当的手段和方法来求解非线性方程，那么化学化工中当的手段和方法来求解非线性方程，那

8、么化学化工中的许多研讨、设计等任务将无法展开，这势必影响化的许多研讨、设计等任务将无法展开，这势必影响化学化工的开展，下面我们将引见一些适用的非线性方学化工的开展，下面我们将引见一些适用的非线性方程求解方法，并提供计算机程序。程求解方法，并提供计算机程序。 2lnlnBDppACTTT 2-52.2 实根的对分法实根的对分法 v 2.2.1 运用对分法的条件运用对分法的条件 v 2.2.2 对分法求根算法对分法求根算法 v 2.2.3 对分法对分法VB程序清单程序清单 2.2.1 运用对分法的条件运用对分法的条件v 对分法或称二分法是求方程近似解的一种简单直观的方法。对分法或称二分法是求方程近

9、似解的一种简单直观的方法。v 设函数设函数 f(x) 在在a, b上延续，且上延续，且 f(a) f(b)0，那么，那么f(x)在在a, b上至上至少有一零点，这是微积分中的介值定理，也是运用对分法的前提少有一零点，这是微积分中的介值定理，也是运用对分法的前提条件。条件。v 计算中经过对分区间，逐渐减少区间范围的步骤搜索零点的位计算中经过对分区间，逐渐减少区间范围的步骤搜索零点的位置。置。v 假设我们所要求解的方程从物理意义上来讲确实存在实根，但假设我们所要求解的方程从物理意义上来讲确实存在实根，但又不满足又不满足f(a) f(b)0，这时，我们必需经过改动，这时，我们必需经过改动a和和b的值

10、来满足二的值来满足二分法的运用条件。分法的运用条件。 2.2.2 对分法求根算法对分法求根算法 计算计算f (x) =0的普通计算步骤如下：的普通计算步骤如下：1、输入求根区间、输入求根区间a,b和误差控制量和误差控制量，定义函，定义函数数f(x)。2、判别、判别: 假设假设f(a)f(b)0那么转下，否那么，重那么转下，否那么，重新输入新输入a 和和 b的值。的值。3、计算中点、计算中点 x=(a+b)/2以及以及f(x)的值的值 2.2.2 对分法求根算法对分法求根算法 分情况处置分情况处置1|f(x)|：停顿计算：停顿计算 x*= x，转向步骤，转向步骤42f(a)f(x)0：修正区间：

11、修正区间a,xa,b，反复，反复33f(x)f(b)0：修正区间：修正区间x,ba,b，反复，反复3 4、输出近似根、输出近似根 x*。 右图给出对分法的表示图。右图给出对分法的表示图。 x0 x3 x2 x1 x3 = (x0+ x2) / 2 x2= (x0+ x1)/2 2.2.3 对分法对分法VB程序清单程序清单 Private Sub Command1_Click()Dim x1, x2, x, y1, y2, y, eer80 x1 = InputBox(x1)x2 = InputBox(x2)y1 = f(x1)y2 = f(x2)If y1 * y2 0 Then GoTo 1

12、00Else Print please repeat input x1 and x2 GoTo 80End If100 x = (x1 + x2) / 2y = f(x)If Abs(y) = 0.001 Then Print the function root is ; x Print y=; yElse If y1 * y 0 Then x2 = x y2 = y GoTo 100 Else x1 = x y1 = y GoTo 100 End IfEnd IfEnd SubPublic Function f(x)Dim yy = x 3 + x 2 - 1f = yEnd Functio

13、n 2.2.3对分法求解实例对分法求解实例用对分法求用对分法求 在区间在区间1,2之间的根。之间的根。解：解：(1) f(1)= -2.8，f(2)=0.3，由介值定理可得有根区，由介值定理可得有根区间间a,b=1,2。(2) 计算计算x2=(1+2)/2=1.5，f(1.5)= -0.45，有根区间，有根区间a,b=1.5,2。(3) 计算计算x3=(1.5+2)/2=1.75，f(1.75)=0.078125，有，有根区间根区间a,b=1.5,1.75。327 719 215.3f(x)x - . x. x-2.2.3 对分法求解实例对分法求解实例不断做到不断做到|f(xn)| (计算前给

14、定的精度计算前给定的精度)或或|a-b|时时停顿。详细计算结果见表停顿。详细计算结果见表2-1。 对分法的算法简单，然而，假设对分法的算法简单，然而，假设f(x)在在a,b上上有几个零点时，如不作特殊处置只能算出其中一有几个零点时，如不作特殊处置只能算出其中一个零点；另一方面，即使个零点；另一方面，即使f(x)在在a,b上有零点，也上有零点，也未必有未必有f(a)f(b)0。这就限制了对分法的运用范围。这就限制了对分法的运用范围。对分法只能计算方程对分法只能计算方程f(x)=0的实根。的实根。 v对于多个零点的方程，我们可以经过将给定的区间对于多个零点的方程，我们可以经过将给定的区间a,b进展

15、进展细分，然后在细分后的区间内用二分法分别求解，从而得到多细分，然后在细分后的区间内用二分法分别求解，从而得到多个零点。个零点。v例如求方程在例如求方程在0-30内的一切根。需求对二分法进展以下处置：内的一切根。需求对二分法进展以下处置：即先给定一个即先给定一个a，本例中为，本例中为0，然后不断添加，直到找到一个，然后不断添加，直到找到一个b，使使f(a)f(b)0，调用二分法，计算在，调用二分法，计算在a，b范围内的根，然后将范围内的根，然后将b作为作为a，反复上面的任务，直到计算范围超出，反复上面的任务，直到计算范围超出30为止。为止。 2.3直接迭代法直接迭代法 对给定的方程对给定的方程

16、f(x) =0，将它转换成等价方，将它转换成等价方式：式： 。给定初值给定初值x0，由此来构造迭代序列，由此来构造迭代序列 ，k = 1, 2, ，假设迭代收敛，假设迭代收敛，即即 ，有，有 , 那么就是方程那么就是方程f(x)=0的根。的根。在计算中当在计算中当 小于给定的精度控制量时，小于给定的精度控制量时，取取 为方程的根。为方程的根。( )xx 1()kkxx 1limlim()kkkkxxb ()bb 1kkxx 1kbx 2.3直接迭代法直接迭代法 例如，代数方程x3-2x-10=0的三种等价方式及其迭代格式如下： 31210kkxx 31102kkxx 1221 0kkkxxx

17、2.3 直接迭代法直接迭代法 对于方程 构造的多种迭代格式 ，怎样判别构造的迭代格式能否收敛？收敛能否与迭代的初值有关？根据数学知识，我们可以直接利用以下收敛条件： 1、 当 有 ; 2、 在a,b上可导，并且存在正数L1，使恣意的 ，有 ; 那么在a,b上有独一的点 满足 ， 称 为 的不动点。而且迭代格式对恣意初值均收敛于的不动点，并有下面误差估计式： (2-6) 0( )f x 1()kkxx , xa b ( )axb ( )x , xab |( )|xL *()xx *x*x( )x 101*|kkLxxxxL 2.3直接迭代法直接迭代法 要构造满足收敛条件的等价方式普通比较困难。要

18、构造满足收敛条件的等价方式普通比较困难。现实上，假设现实上，假设 为为f(x)的零点，假设能构造等价的零点，假设能构造等价方式方式 ，而，而 ，由，由 的边疆性，一定的边疆性，一定存在存在 的邻域的邻域 ，其上有，其上有 ，这，这时假设初值时假设初值 迭代也就收敛了。迭代也就收敛了。由此构造收敛迭代格式有两个要素，由此构造收敛迭代格式有两个要素，其一，等价方式其一，等价方式 , 应满足；应满足； 其二，初值必需取自其二，初值必需取自 的充分小邻域，其大小决的充分小邻域，其大小决议于函数议于函数f(x)，及做出的等价方式，及做出的等价方式 。*10|1kkLxxxxL *x( )xx *|()|

19、 1x *x( )x *,xx |( )|1xL *0,xxx ( )xx *|()| 1x *x( )xx (2-6)2.3直接迭代法直接迭代法例：求代数方程例：求代数方程 x3-2x-5=0，在，在x0=2附近的零点。附近的零点。 解：解：1x3=2x+5 ,构造的迭代序列收敛。取构造的迭代序列收敛。取x0=2，那么，那么 准确的解是准确的解是x = 2.09455148150。2将迭代格式写为将迭代格式写为 迭代格式不能保证收敛，但并不一定不收敛。迭代格式不能保证收敛，但并不一定不收敛。VB程序界面：程序界面： 3125kkxx 2311(), |()1 ,1 .5 , 2 .5 |3(

20、 25 )xxxx 1235462 080082 092352 0942172 0944942 0945432 094550 x. , x. , x.x. , x. , x. 331255,( )22kkxxxx 223|( )| | 1,1.5,2.52xxx 2.4 松弛迭代法松弛迭代法 有些非线性方程或方程组当用上一节中的直接迭代法求解时，迭代过程是发散的。这时可引入松弛因子，利用松弛迭代法。经过选择适宜的松弛因子，就可以使迭代过程收敛。松弛法的迭代公式如下: 2-7 由上式可知，当松弛因子等于1时，松弛迭代变为直接迭代。当松弛因子大于1时松弛法使迭代步长加大，可加速迭代，但有能够使原来

21、收敛的迭代变成发散。当01时, 松弛法使迭代步长减小，这适宜于迭代发散或振荡收敛的情况，可使振荡收敛过程加速。当 k 0时，迭代过程为单调收敛过程。当-1 k 0时,迭代过程为振荡收敛过程，但当k =1时，收敛将发散,故在编程计算时应留意当k = 1时那么取k = 0进展计算。 11k 韦格斯坦法求解方程韦格斯坦法求解方程x3-2x2+5x-4=0根的根的QB程序程序2.6 牛顿迭代法牛顿迭代法 2.6.1 牛顿法的实际推导牛顿法的实际推导 2.6.2 牛顿法的几何意义牛顿法的几何意义 对方程 f(x) = 0可构造多种迭代格式 ，牛顿迭代法是借助于对函数f(x)=0的泰勒展开而得到的一种迭代

22、格式。将f(x) = 0在初始值x0做泰勒展开得： 取展开式的线性部分作为的近似值，那么有： 设 那么 令 2.6.1 牛顿法的实际推导 1()kkxx 000002()( )()()()()!fxf xf xfxxxxx0000()()()fxfxxx 00()fx 000()()f xxxfx 0100()()f xxxfx 类似地，再将类似地，再将f(x) = 0在在x1作泰勒展开并取其线性部分得到：作泰勒展开并取其线性部分得到：不断做下去得到牛顿法的迭代格式：不断做下去得到牛顿法的迭代格式： 牛顿迭代格式对应于牛顿迭代格式对应于f(x)=0的等价方程为：的等价方程为：假设假设b是是f(

23、x)的单根时，的单根时， ，那么有，那么有 ，只需初值，只需初值x0充分接近充分接近b，牛顿迭代都收敛。牛顿迭代是二阶迭代方法。可以，牛顿迭代都收敛。牛顿迭代是二阶迭代方法。可以证明，证明，b为为f(x)的的a重根时，迭代也收敛，但这是一阶迭代，收敛重根时，迭代也收敛，但这是一阶迭代，收敛因子为因子为 ，假设这时取下面迭代格式，它仍是二阶方法：，假设这时取下面迭代格式，它仍是二阶方法： 2.6.1牛顿法的实际推导 000()()f xxxfx 11 2(), ,()kkkkf xxxkfx 02 ()()()()()()() )fxxxxfxfxfxxfx 00f(b), f (b) 0| (

24、 )|b 11a 11 2(), ,()kkkkf xxxakfx 以 为斜率作过(x0，f(x0)点的直线，即作f(x)在x0的切线方程：令y = 0，那么在x1处的切线与x轴的交点x1，即：再作f(x)在x1处的切线，得交点x2，逐渐逼近方程的根b。如图2-4所示。 在区域x0, x0+h的部分“以直代曲是处置非线性问题的常用手法。在泰勒展开中，截取函数展开的线性部分替代 f(x)。 yxx2x1x02.6.2 牛顿法的几何意义牛顿法的几何意义 0()fx000()()()yf xfxxx0100()()f xxxfx图图2.4 牛顿切线法表示图牛顿切线法表示图 2.6.2 牛顿法的几何意

25、义牛顿法的几何意义例：用牛顿迭代法求方程例：用牛顿迭代法求方程 f (x) = x3 - 7.7x2 + 19.2x -15.3，在，在x0=1附附近的零点。近的零点。 解：计算结果列于表解：计算结果列于表2-4中。中。 32127 719 215 3315 419 2.kkkkkkxxxxxxx 比较表2-1和表2-4的数值，可以看到牛顿迭代法的收敛速度明显快于对分法。牛顿迭代法也有局限性。2.6.2 牛顿法的几何意义牛顿法的几何意义在牛顿迭代法中，选取适当迭代初始值在牛顿迭代法中，选取适当迭代初始值x0是求解的前提，当迭是求解的前提，当迭代的初始值代的初始值x0在某根的附近时迭代才干收敛到

26、这个根，有时会在某根的附近时迭代才干收敛到这个根，有时会发生从一个根附近跳向另一个根附近的情况，尤其在导数数值发生从一个根附近跳向另一个根附近的情况，尤其在导数数值很小时，如图很小时，如图2-5所示。所示。x2yx1xx0 x2 x0 x3 x1假设假设f(x)=0没有实根，初始值没有实根，初始值x0是实数，那么迭代序列不收敛。图是实数，那么迭代序列不收敛。图2-6给出迭给出迭代函数代函数f(x)=2+x2，初始值，初始值x0=2的发散的迭代序列。的发散的迭代序列。 图图2-5图图2-62.7 割线法割线法 在牛顿迭代格式中：在牛顿迭代格式中： ，用差商，用差商代导数代导数 ，并给定初始值，并

27、给定初始值x0和和x1 ，那么迭代格式可写成，那么迭代格式可写成如下方式：如下方式： 上式称为割线法。上式称为割线法。 用割线法迭代求根，每次只需计算一次函数值，而用牛顿迭代用割线法迭代求根，每次只需计算一次函数值，而用牛顿迭代法每次要计算一次函数值和一次导数值。但割线收敛速度稍慢法每次要计算一次函数值和一次导数值。但割线收敛速度稍慢于牛顿迭代法，割线法为于牛顿迭代法，割线法为1.618阶迭代方法。阶迭代方法。 11 2(), ,()kkkkf xxxkfx 111()(),kkkkkkfxfxfxxxx ()kfx1111 2()(), ,()()kkkkkkkf xxxxxkf xf x

28、2.7 割线法割线法 做过两点做过两点(x0，f(x0)和和(x1，f(x1)的一条直线弦，的一条直线弦，该直线与该直线与x轴交点就是生成的迭代点轴交点就是生成的迭代点x2，再做过，再做过(x1，f(x1)和和(x2，f(x2)的一条直线，的一条直线，x3是该直线与是该直线与x轴的交轴的交点，继续做下去得到方程的根点，继续做下去得到方程的根f(a)=0，如图，如图2.4所示。所示。 yxx2x1x0图图2.4 牛顿切线法表示图牛顿切线法表示图 2.7 割线法割线法 例例2.5：用割线法求方程：用割线法求方程 的根，的根，取取 x0=1.5，x1=4.0。解：解： 327 719 215 3(

29、).f xxxx 111()()()()kkkkkkkf xxxxxf xf x 计算结果列于表计算结果列于表 VBVB程序程序 为了表达的简单，我们以解二阶非线性方程组为例演示解题的方法和步骤，类似地可以得到解更高阶非线性方程组的方法和步骤。 设二阶方程组 其中x, y为自变量。为了方便起见，将方程组写成向量方式：将 在x0, y0附近进展二元泰勒展开，并取其线性部分，得到下面方程组： 令 那么有 1200(,)(,)fxyfxy 12(,)( ),(,)fx yxF uufx yy 其其 中中12( , )( , )f x yfx y，010010010000200200200000(,)

30、(,)(,) ()()(,)(,)(,) ()()f x yf x yf x yx xyyxyf x yf x yf x yx xyyxy 0000,xxxyyy 1001000010020020000200(,)(,)(,)(,)(,)(,)f x yf x yxyf x yxyfx yf x yxyf x yxy 2.8 非线性方程组的牛顿方法非线性方程组的牛顿方法2.8 非线性方程组的牛顿方法非线性方程组的牛顿方法假设再将原方程组在u1处进展二元泰勒展开，并取其线性部分，得到下面方程组： 解出 得出 继续做下去，每一次迭代都是一个方程组 00110000220(,)|(,)|,xyffx

31、yJ xyxyffxy ，解解出出00010000 xxxuuyyy 1111111111121121111211(,)(,)()()(,)(,)(,)()()(,)fxyfxyxxyyfxyxyfxyfxyxxyyfxyxy 1111,xxxyyy11211xxuyy 1211(,)(,)(,),kkkkkkkkkkkkkkxf x yJ x yyf x yxxxyyy 11,max(|,|)kkkkkkkkxxxyyyxy 直直到到即即 为止。为止。 2.8非线性方程组的牛顿方法非线性方程组的牛顿方法例例2.6 求解下面非线性方程组求解下面非线性方程组 取初始值取初始值 解：解： 解方程得

32、解方程得 继续做下去，直到继续做下去，直到 时停顿。时停顿。 22124010(,)(,)xfx yxyfx yey 011 7 .u 1122221|( , )|xffxyxyJ x yffexy 002342718281.| (,)|.J x y 100020000000 110 0182823 40 112 718280 01828(,).()(,).f xyF ufxyxyxy 0000 0042560 029849.xuy 010010 0042561 0042561 70 0298491 729849.xuuy 510max(|,|)kkxy 2.9 化工消费中非线性方程组求解运用实例化工消费中非线性方程组求解运用实例 在化工消费中,为了求解反响前后各物料的浓度,经常要联立求解一些非线性方程组,这些方程组难以用常规的解析方法求解,普通只能利用数值求解的方法加以求解。下面是在合成氨消费中利用非线性方程组求解方法求解烃类蒸气转化反响前后各物料浓度的实例。 例 2.7 在合成氨消费中,烃类蒸气发生以下转化反响: 知进料甲烷为1mol,水蒸汽为5mol,反响后总压P=1atm,反响平衡常数为: 试求反响平衡时各组分的浓度。 解:设反响平衡时有x摩尔甲烷转化成CO,同时生成的CO中又有y摩尔转化成CO2,那么反响平衡时各组分的摩尔数及分压如下