信号与系统 第一章

1、信号与系统信号与系统要解决的问题 什么是信号？什么是信号？ 信号是消息的表现形式，消息则是信号的信号是消息的表现形式，消息则是信号的具体内容具体内容。 系统是由若干相互作用和相互依赖的事物系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。组合而成的具有特定功能的整体。 信号作用于系统产生什么响应？信号作用于系统产生什么响应？信号与系统问题无处不在信号与系统问题无处不在通讯通讯 古老通讯方式：烽火、旗语、信号灯古老通讯方式：烽火、旗语、信号灯 近代通讯方式：电报、电话、无线通讯近代通讯方式：电报、电话、无线通讯 现代通讯方式：计算机网络通讯、视频现代通讯方式：计算机网络通讯、视频

2、电视传播、卫星传输、移动通讯电视传播、卫星传输、移动通讯信息科学已渗透到所有现代自然科学和社会科学领域信息科学已渗透到所有现代自然科学和社会科学领域 工业监控、生产调度、质量分析、资源遥感、地工业监控、生产调度、质量分析、资源遥感、地震预报、人工智能、高效农业、交通监控震预报、人工智能、高效农业、交通监控 宇宙探测、军事侦察、武器技术、安全报警、指宇宙探测、军事侦察、武器技术、安全报警、指挥系统挥系统 经济预测、财务统计、市场信息经济预测、财务统计、市场信息 、股市分析、股市分析 电子出版、新闻传媒、影视制作电子出版、新闻传媒、影视制作 远程教育、远程医疗、远程会议远程教育、远程医疗、远程会议

3、 虚拟仪器虚拟仪器信号(Signal)消息（消息（Message）：在通信系统中，一般将语言、文字、：在通信系统中，一般将语言、文字、图像或数据统称为消息。图像或数据统称为消息。信号（信号（Signal）：）：指消息的表现形式与传送载体。指消息的表现形式与传送载体。信号是消息的表现形式与传送载体，消息是信号的信号是消息的表现形式与传送载体，消息是信号的传送内容。例如电信号传送声音、图像、文字等。传送内容。例如电信号传送声音、图像、文字等。电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电荷、磁通等。荷、磁通等。 系统(System)系统（系统（system

4、）：）：由若干相互作用和相互依赖的事物由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的，具有稳定功能的整体。如太阳系、通信组合而成的，具有稳定功能的整体。如太阳系、通信系统、控制系统、经济系统、生态系统等。系统、控制系统、经济系统、生态系统等。通信系统为传送消息而装设的全套技术设备（包括传输信道）。为传送消息而装设的全套技术设备（包括传输信道）。系统(System) 系统可以看作是变换器、处理器。系统可以看作是变换器、处理器。 电系统具有特殊的重要地位，某个电路的输入、电系统具有特殊的重要地位，某个电路的输入、输出是完成某种功能，如微分、积分、放大，也输出是完成某种功能，如微分、积分、放大，也可以称系

5、统。可以称系统。 在电子技术领域中，在电子技术领域中，“系统系统”、“电路电路”、“网网络络”三个名词在一般情况下可以通用三个名词在一般情况下可以通用信号理论与系统理论信号理论信号理论 系统理论系统理论 信号分析：研究信号的基本性能，如信号信号分析：研究信号的基本性能，如信号 的描述、性质等。的描述、性质等。信号传输信号传输信号处理信号处理系统分析：给定系统，研究系统对于输入系统分析：给定系统，研究系统对于输入 激励所产生的输出响应。激励所产生的输出响应。系统综合：按照给定的需求设计（综合）系统综合：按照给定的需求设计（综合） 系统。系统。重点讨论信号的分析、系统的分析，分析是综合的基础。重点

6、讨论信号的分析、系统的分析，分析是综合的基础。 信号与系统的关系 激励激励输入信号输入信号响应响应输出信号输出信号系统系统二信号的分类信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进行分类。进行分类。按实际用途划分按实际用途划分电视信号电视信号雷达信号雷达信号控制信号控制信号通信信号通信信号广播信号广播信号按所具有的时间特性划分按所具有的时间特性划分信号的描述函数函数 f( (t) )波形波形1确定性信号和随机信号。性性具有未可预知的不确定具有未可预知的不确定对于指定的某一时刻对于指定的某一时刻t，可确定一相应的函数值，可确定一相应的函数值f(t)。若干不

7、连续点除外。若干不连续点除外。确定性信号确定性信号随机信号随机信号伪随机信号伪随机信号 貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）。貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）。 2周期信号和非周期信号 周期信号(period signal)是定义在(-，)区间，每隔一定时间T (或整数N），按相同规律重复变化的信号。 连续周期信号f(t)满足f(t) = f(t + mT)，m = 0,1,2, 离散周期信号f(k)满足f(k) = f(k + mN)，m = 0,1,2, 满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。 不具有周期性的信号称为非周期信号。2周期信号和非周期信号 非周期

8、信号非周期信号周期信号周期信号 号）号）除简谐信号外的周期信除简谐信号外的周期信复杂周期信号（复杂周期信号（）简谐信号简谐信号正弦周期信号（正弦周期信号（ ) , ( ) ( 衰减函数衰减函数脉冲脉冲瞬态瞬态频率之比值为无理数频率之比值为无理数准周期准周期瞬态信号：除准周期信号外的瞬态信号：除准周期信号外的一切可以用时间函数描述的非一切可以用时间函数描述的非周期信号。周期信号。 3连续信号和离散信号连续时间信号：信号存在的连续时间信号：信号存在的时间范围内，任意时刻都有定时间范围内，任意时刻都有定义（即都可以给出确定的函数义（即都可以给出确定的函数值，可以有有限个间断点）。值，可以有有限个间断

9、点）。用用t表示连续时间变量。表示连续时间变量。离散时间信号：离散时间信号：在时间上是在时间上是离散的，只在某些不连续的规离散的，只在某些不连续的规定瞬时给出函数值，其他时间定瞬时给出函数值，其他时间没有定义。没有定义。用用n n表示离散时间变量。表示离散时间变量。nO1 2f(n)tf(t)O4模拟信号，抽样信号，数字信号数字信号：时间和幅值均为离散数字信号：时间和幅值均为离散 的信号的信号。模拟信号：时间和幅值均为连续模拟信号：时间和幅值均为连续 的信号的信号。抽样信号：时间离散的，幅值抽样信号：时间离散的，幅值 连续的信号连续的信号。量化 nfnO nfnO抽样判断信号性质判断下列波形是

10、连续判断下列波形是连续时间信号还是离散时时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信间信号是否为数字信号？号？ tfOt tfOt1 2435 6 7 8123值，只有321 tfOt1 2435 678连续信号连续信号离散信号离散信号离散信号离散信号数字信号数字信号5一维信号和多维信号一维信号：一维信号：只由一个自变量描述的信号，如语音信号。只由一个自变量描述的信号，如语音信号。多维信号：多维信号：由多个自变量描述的信号，如图像信号。由多个自变量描述的信号，如图像信号。1.2典型确定性信号5.5.钟形脉冲函数钟形脉冲函数( (高斯函数高斯函数) )1.1.指数信号

11、指数信号2.2.正弦信号正弦信号3.3.复指数信号复指数信号( (表达具有普遍意义表达具有普遍意义) )4 4. 抽样信号抽样信号(Sampling Signal)信号的表示信号的表示 tf函数表达式函数表达式波形波形重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。1指数信号tKtf e)( 单边指数信号单边指数信号通常把通常把 称为指数信号的称为指数信号的时间常数时间常数，记作，记作 , ,代表信代表信号衰减速度，具有时间的量纲。号衰减速度，具有时间的量纲。 1l 指数衰减指数衰减, ,0 0 l l 指数增长指数增长0 0 l 直流直流( (常数

12、常数) ), ,0 K0 O tft 0e00 tttft 2正弦信号振幅：振幅：K 周期：周期： 频率：频率：f 角频率：角频率： 初相：初相： fT12 f2 0 0 00sine)( tttKtft)sin()( tKtf衰减正弦信号：衰减正弦信号： 欧拉(Euler)公式 ttt jjeej21sin ttt jjee21cos ttt sinjcose j 3复指数信号讨论讨论 衰减指数信号衰减指数信号升指数信号升指数信号直流直流 0 , 0 0 , 0 0 , 0 振荡振荡衰减衰减增幅增幅等幅等幅 0 , 0 0 , 0 0 , 0 为复数，称为复频率为复数，称为复频率 j s ,

13、均为实常数均为实常数 )( e)(tKtfst表征角频率表征振幅， tKtKtt sinejcose4抽样信号(Sampling Signal)性质性质 ，偶函数，偶函数ttSaSa 1)Sa(lim1)Sa(, 00 tttt，即，即3 , 2 , 1, 0)Sa( nntt， dsin,2dsin0tttttt0)Sa(lim tt tttsin)sinc( tttsin)Sa( 5钟形脉冲函数(高斯函数)2e)( tEtfOt tfE 2 eEE78. 0在随机信号分析中占有重要地位。在随机信号分析中占有重要地位。信号的自变量的变换信号的自变量的变换移位反褶尺度移位反褶尺度一般情况一般情

14、况微分和积分微分和积分两信号相加或相乘两信号相加或相乘一信号的自变量的变换（波形变化）1.1.信号的移位信号的移位2.2.信号的反褶信号的反褶3.3.信号的展缩（尺度变换）信号的展缩（尺度变换）4.4.一般情况一般情况)(tf1信号的移位 为常数为常数即得时移信号即得时移信号轴平移轴平移沿沿将信号将信号 , tfttf)()( tftf例：例： 0，右移，右移(滞后滞后) 0，左移，左移(超前超前)Ot)(tf1 11f(t+1)的波形？的波形？2反褶)()(tftf 例：例：以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。 O12 1 tftO21 1 tf

15、t3信号的展缩(Scale Changing)例例 ： 已已 知知 tf， 画画 出出 tf 2和和 2tf的的 波波 形形 。 波形的压缩与扩展，尺度变换波形的压缩与扩展，尺度变换波波形形扩扩展展,2tt atftf0at2t，波形压缩。，波形压缩。OT21 tft例题例题Ot)(tf1 11解解: :t)5( tf6 14 5 Ot)3( tf131O31 t)53( tf12 34 已知已知f(t)，求，求f(3t+5)。时移标度变换标度变换时移再看书上再看书上P11P11例题例题1-11-1。f3(t+5/3)4一般情况注意注意！ 0 aabtafbatftf设设平移平移展缩展缩一切变

16、换都是相对一切变换都是相对t 而言而言最好用先平移后展缩的顺序最好用先平移后展缩的顺序 加上倒置：加上倒置： abtafbatf 二微分和积分Ot tf2 2 Ot1 2 tf 1 2 2 Ot tf2 2 Ot1 tf d2 2 ddd tfttftf积积分分：，微微分分：冲激信号冲激信号三两信号相加和相乘t t sint t 8sint tt 8sinsin同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。t t sint t 8sint tt 8sinsin单位斜变信号单位斜变信号单位阶跃信号单位阶跃信号单位冲激信号单位冲激信号冲激偶信号冲激偶信号一单位斜变信号t)(t

17、RO11t)(0ttR O10t10 t1 1 定义定义 000)(ttttRt)(tfOK 00)(0000ttttttttR3 3三角形脉冲三角形脉冲 它它其其 0)()( ttRKtf由由t - -t0=0 可知起始点为可知起始点为0t2 2有延迟的单位斜变信号有延迟的单位斜变信号二单位阶跃信号t)(tuO1t)(0ttu O10t1. 1. 定义定义210 0100)(点点无无定定义义或或 tttu0 ,10)(0000 tttttttu2. 2. 有延迟的单位阶跃信号有延迟的单位阶跃信号3. 3. 应用应用a.a. 表示单边信号。表示单边信号。参见教材参见教材P16P16图图1-25

18、1-25，1-261-26。b. b. 表示矩形脉冲。表示矩形脉冲。其他函数只要用门函数处理其他函数只要用门函数处理( (乘以乘以门函数门函数) )，就只剩下门内的部分。，就只剩下门内的部分。 22TtuTtutGT门函数：门函数：也称窗函数也称窗函数 TtututRT)(t)(tRTO1TtO12T T2T T tGTGT(t)c.c.表示符号函数表示符号函数 符号函数符号函数：(Signum) 0101)sgn(ttt1)(2)()()sgn( tututut1)sgn(21)( ttutO tsgn思考教材习题思考教材习题1-81-8，1-91-9，1-101-10。三单位冲激函数 概念

19、引出概念引出定义定义1 1定义定义2 2定义定义3 3冲激函数的性质冲激函数的性质)(t 定义1：狄拉克(Dirac)函数ot)(t )1( 0 0)( 1d)(tttt 1d)(d)(00tttt 函数值只在函数值只在t = 0t = 0时不为零；时不为零； 积分面积为积分面积为1 1； t =0 t =0 时，时， ，为无界函数。，为无界函数。 t 定义2t)(tpO 12 2 221)( tututp0 面积面积1 1；脉宽脉宽； 脉冲高度脉冲高度； 则窄脉冲集中于则窄脉冲集中于 t=0 t=0 处。处。面积为面积为1 1宽度为宽度为0 0 000tt无无穷穷幅幅度度三个特点：三个特点：

20、 221lim)(lim)(00 tututpt若面积为若面积为k，则强度为，则强度为k。三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数取取 0极限，都可以认为是冲激函数。极限，都可以认为是冲激函数。描述ot)(t )1(ot)(0tt )1(0t时移的冲激函数时移的冲激函数定义3 以分配理论为基础定义以分配理论为基础定义)0(d)()(ftttf 冲激函数的性质为了信号分析的需要，人们构造了为了信号分析的需要，人们构造了 t 函数，它属于广函数，它属于广 义函数。就时间义函数。就时间t而言，而言， t 可以当作时域连续信号处可以当作时域连续信号处 理

21、，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但由于理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但由于 t是一个广义函数，它有一些特殊的性质。是一个广义函数，它有一些特殊的性质。 1抽样性抽样性2奇偶性奇偶性3标度变换标度变换4微分性质（冲激偶微分性质（冲激偶）和积分性质）和积分性质5. 卷积性质卷积性质1.抽样性(筛选性)()0()()(tftft )()(0ttft 对于移位情况：对于移位情况：ttfttd)()(0 如果如果f(t)在在t = 0处连续，且处处有界，则有处连续，且处处有界，则有 )0(d)()(fttft ot)(tf )0(f)()(0ttf )(0tf2. 奇偶性)()(tt

22、 3. 对(t)的标度变换 at ta 1?d)()5( ttft 051f5.5.卷积性质卷积性质 tfttf 4.4.微、积分性质微、积分性质td)t (ud)t ( )(d)(tut td)t (d)t ( 6.6.冲激偶冲激偶Ot)(t )1(0 Ot)(t ot)(tst)(ts O 21 21 1ot)(ts t)(ts O 21 21 1)(t )0( d)()( fttft ,0d)( tt tttt d)( 冲激偶的性质时移时移)( d)()( 00tfttftt )()(tt是奇函数是奇函数)(t ，则：，则： 冲激函数的性质总结（1 1）抽样性）抽样性 )0(d)()(f

23、tttf )()0()()(tfttf （2 2）奇偶性）奇偶性 )()(tt （3 3）比例性）比例性 taat 1)( （4 4）微积分性质）微积分性质ttutd)(d)( )(d)(tut （5 5）冲激偶）冲激偶 )()(tt 0d)(tt tttt)(d)( )0(d)()(ftttf （6 6）卷积性质）卷积性质 tfttf 四.总结： R(t)，u(t)， (t) 之间的关系t)(tRO11t)(tuO1Ot)(t )1( R(t) 求求 积积(- t ) u(t) 导导 分分 (t) 思考习题思考习题1-141-14的（的（1 1）、（）、（3 3） 为了便于研究信号的传输和处

24、理问题，往往将为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号分解为一些简单信号分解为一些简单( (基本基本) )的信号之和，分解角度的信号之和，分解角度不同，可以分解为不同的分量不同，可以分解为不同的分量一直流分量与交流分量)()()(ADtftftf 平平均均值值。：信信号号的的直直流流分分量量，即即tfDTtttd)t (fT)t (f001D信号的平均功率信号的平均功率 = = 信号的直流功率信号的直流功率 + + 交流功率交流功率 ttfTtfttftfTttfTPTttTttTttd)(1)(d)()(1d)(10000002A2D2AD2 思考习题思考习题1-171-17。二偶分量与

25、奇分量对任何对任何实实信号而言：信号而言：信号的平均功率信号的平均功率 = = 偶分量功率偶分量功率 + + 奇分量功率奇分量功率 odd :oeven :e: )(: )()()()(ooeeoeoetftftftftftftftftf 奇分量奇分量偶分量偶分量 )()(21)(etftftf )()(21)(otftftf Ot)(tfOt)( tf Ot)(etfOt)(otf 例：求f(t)的奇分量和偶分量思考习题思考习题1-181-18。 tf t fO三脉冲分量, t当当 , f脉高：脉高：, 脉宽：脉宽：1 1矩形窄脉冲序列矩形窄脉冲序列此窄脉冲可表示为此窄脉冲可表示为 )()(

26、 tutuf)()( tutu存在区间：存在区间：出现在不同时刻的，出现在不同时刻的，不同强度的冲激函不同强度的冲激函数的和。数的和。叠加叠加可表示为许多窄脉冲的可表示为许多窄脉冲的到到从从)(,tf ）tutuf()()( ）tutuftf()()()( d)()()( tftf所以所以0 令令 tttututud)(d()(lim0） ,d 将信号分解为冲激信号叠加的方法应将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广，后面的卷积积分中将用到，可利用用很广，后面的卷积积分中将用到，可利用卷积积分求系统的零状态响应。卷积积分求系统的零状态响应。2 2连续阶跃信号之和连续阶跃信号之和 01111d)(

27、d)(d)()0()(tttuttftuftf tf1t t1t 0f 11ttf 1tfO四实部分量与虚部分量瞬时值为瞬时值为复数复数的信号可分解为实虚部两部分之和。的信号可分解为实虚部两部分之和。即即实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来研究实信号。研究实信号。共轭复函数共轭复函数)(j)()(irtftftf )(j)()(ir*tftftf )()(21)(*rtftftf )()(21)(j*itftftf 系统的定义和表示系统的定义和表示描述系统的基本单元方框图描述系统的基本单元方框图系统的分类系统的分类一系统的定义和表示系统：系统

28、：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换具有特定功能的总体，可以看作信号的变换 器、处理器。器、处理器。系统模型：系统模型：系统物理特性的数学抽象。系统物理特性的数学抽象。 系统模型的表示：系统模型的表示： 数学表达式：数学表达式：系统物理特性的数学抽象。系统物理特性的数学抽象。 方框图：方框图：形象地表示其功能。形象地表示其功能。二描述系统的基本单元方框图1.1.加法器加法器2.2.乘法器乘法器3.3.标量乘法器（数乘，比例）标量乘法器（数乘，比例）4.4.微分器微分器5.5.积分器积分器6.6.延时延时器器基本元件13.3.标量乘法器（数乘器，比例器）标量乘法器（数乘器，比例器） te t

29、raa)()(taetr 2.2.乘法器乘法器 te1 te2 tr tetetr21 1.1.加法器加法器 te1 te2 tr tetetr21 te1 te2 tr 注意注意: : 与公式中的卷积符号相区别，没有卷积器。与公式中的卷积符号相区别，没有卷积器。 4.4.微分器微分器 te tr dd ttetrd)(d tttetrd)()(5.5.积分器积分器 te tr 6.6.延时器延时器 te tr te trT tetr基本元件2参见教材参见教材P30P30图图1-411-41，1-421-42。三系统的分类1 1连续时间系统与离散时间系统连续时间系统与离散时间系统 a.a.定义

30、定义连续时间系统：连续时间系统：输入信号与输出信号都连续，输入信号与输出信号都连续，并且其内部也未转换为离散信号。并且其内部也未转换为离散信号。离散时间系统离散时间系统：输入信号与输出信号都离散。：输入信号与输出信号都离散。混合系统混合系统：连续系统与离散系统组合运用：连续系统与离散系统组合运用 b.b.数学模型数学模型连续时间系统连续时间系统：微分方程：微分方程离散时间系统：离散时间系统：差分方程差分方程2 2即时系统与动态系统即时系统与动态系统a.a.定义定义即时系统（无记忆系统）即时系统（无记忆系统）：系统的输出只由相同时刻的激励信号决系统的输出只由相同时刻的激励信号决定，而与过去的工作

31、状态无关。定，而与过去的工作状态无关。 动态系统（记忆系统）：动态系统（记忆系统）：系统的输出信号不仅与同时刻的激励信系统的输出信号不仅与同时刻的激励信号有关，还与它过去的工作状态有关。号有关，还与它过去的工作状态有关。b.b.数学模型数学模型即时系统（无记忆系统）：即时系统（无记忆系统）：代数方程代数方程动态系统（记忆系统）：动态系统（记忆系统）：微分方程或差分方程微分方程或差分方程3 3集总参数系统与分布参数系统集总参数系统与分布参数系统a.a.定义定义集总参数系统：集总参数系统：只由集中参数元件组成只由集中参数元件组成分布参数系统：分布参数系统：含有分布参数元件含有分布参数元件b.b.数

32、学模型数学模型集总参数系统：集总参数系统：常微分方程（常微分方程（t)t)分布参数系统：分布参数系统：偏常微分方程（偏常微分方程（t,x,y,zt,x,y,z) )4 4线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统a.a.定义定义线性系统：线性系统：即具有叠加性又具有均匀性即具有叠加性又具有均匀性非线性系统：非线性系统：不具有叠加性或均匀性不具有叠加性或均匀性b.b.数学模型数学模型线性系统：线性系统：线性方程线性方程非线性系统：非线性系统：非线性方程非线性方程5 5时变系统与时不变系统时变系统与时不变系统a.a.定义定义时变系统：时变系统：系统的参数随时间变化系统的参数随时间变化时不变系统：时不

33、变系统：系统的参数不随时间变化系统的参数不随时间变化b.b.数学模型数学模型时变系统：时变系统：变系数方程变系数方程时不变系统：时不变系统：常系数方程常系数方程 6 6可逆系统与不可逆系统可逆系统与不可逆系统可逆系统：可逆系统：输入输入e(te(t) )不同，不同，输出输出r(tr(t) )不同不同例：例：r(tr(t)=5e(t)=5e(t)不可逆系统：不可逆系统：输入输入e(te(t) )不同，不同，输出输出r(tr(t) )相同相同例：例：r(tr(t)=e)=e2 2(t)(t)重点研究重点研究: 确定性信号作用下的集总参数确定性信号作用下的集总参数线性时不线性时不变系统变系统 。线性

34、线性特性特性时不变时不变特性特性线性时不变系统的微分特性线性时不变系统的微分特性因果因果性性一线性特性 tkr)()()()()()(212211tetetrtetrte tketrte线性线性:叠加性：叠加性：均匀性均匀性( (齐次性齐次性) )：1.定义指均匀性，叠加性。指均匀性，叠加性。)()(21trtr tete2211 H trtr2211 线性特性H te2 tr2H)(1te tr1先线性运算，再经系统先线性运算，再经系统2. 判断方法若若 tfHCtfHCtfCtfCH22112211 则系统则系统 是线性系统是线性系统,否则是非线性系统。否则是非线性系统。 H H tf1

35、tf2 tfH1 tfH21C2C tfHC11 tfHC22 tfHCtfHC2211 H 先经系统，再线性运算先经系统，再线性运算=例判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?0 )(5)(10d)(d ttetrttr分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有均匀性均匀性和和叠加性叠加性。可以证明可以证明： 所以所以此系统为此系统为非线性系统。非线性系统。 请看下面证明过程请看下面证明过程系统不满足均匀性系统不满足均匀性系统不具有叠加性系统不具有叠加性证明均匀性设信号设信号e(t)作用于系统，响应为

36、作用于系统，响应为r(t)1(0 )(5)(10d)(d ttAetArttAr原方程两端乘原方程两端乘A： )2(0 )(5)(10d)(d ttAetrttrA(1),(2)两式矛盾。故此系统两式矛盾。故此系统不满足均匀性不满足均匀性当当Ae(t)作用于系统时，作用于系统时，若此系统具有线性若此系统具有线性，则则证明叠加性 )4(0510dd)3(0510dd222111 ttetrttrttetrttr )5(0510dd212121 ttetetrtrtrtrt )6(01010dd212121 ttetetrtrtrtrt(5)、(6)式矛盾，该系统式矛盾，该系统不具有叠加性不具有叠

37、加性假设有两个输入信号假设有两个输入信号 分别激励系统，则由分别激励系统，则由所给微分方程式分别有：所给微分方程式分别有： )()(21tete及及当当 同时作用于系统时，若该系统为线性系统，同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有应有)()(21tete (3)+(4)得得二时不变特性认识认识: :电路分析上看电路分析上看: : 从方程看从方程看: :从输入输出关系看从输入输出关系看:元件的参数值是否随时间而变。元件的参数值是否随时间而变。系数是否随时间而变。系数是否随时间而变。)(te)(0tte )(tr)(0ttr H时不变性)(tettTOO)(trt)(0tte O0tTt 0t

38、O)(0ttr 0t先时移，再经系统先时移，再经系统2. 判断方法若若则系统则系统 是非时变系统是非时变系统, ,否则是时变系统。否则是时变系统。 tytfH H先经系统，再时移先经系统，再时移=例题判断下列两个系统是否为非时变系统。判断下列两个系统是否为非时变系统。1.系统的作用是对输入信号作余弦运算。系统的作用是对输入信号作余弦运算。 )()()1(0 0ttetet 时移时移0 )(cos)(011 tttetr经过系统经过系统)(cos)()2(tete经过系统经过系统所以所以此系统为时不变系统。此系统为时不变系统。 trtr1211 0cos ttetr系统系统1 1： 0cos tttetr系统系统2 2：0 )(cos)(012 0 tttetrt时移时移)()()1(00ttetet 时移时移0cos)()(021 ttttetr经过系统经过系统ttetecos)()()2(经过系统经过系统0)cos()()(00220 tttttetrt时移时移此系统为时变系统。此系