正态分布及其经典习题和答案

1、专题：正态分布【知识网络】 1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念； 2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；3、通过实际问题，借助直观如实际问题的直观图，认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。【典型例题】例1：1随机变量X服从二项分布，且EX=2.4，VX=1.44，那么二项分布的参数n，p的值为 An=4，p=0.6Bn=6,p=0.4Cn=8，p=0.3Dn=24，p=0.1答案：B。解析：，。 2正态曲线下、横轴上，从均数到的面积为( )。A95% B50% C97.5% D不能确定与标准差的大小有关 答案：B。解析：由正态曲线的特点知。3某班有48

2、名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 A 32 B 16 C 8 D 20答案：B。解析:数学成绩是XN(80,102)，。 4从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为_ 。答案：8.5。解析：设两数之积为X，X23456810121520P0.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1E(X)=8.5. 5如图，两个正态分布曲线图：1为，2为，那么 ， 填大于，小于答案：，。解析：由正态密度曲线图象的特征知。例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，

3、乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.求甲答对试题数的概率分布及数学期望；0123P求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.答案：解：依题意，甲答对试题数的概率分布如下：甲答对试题数的数学期望 E=.设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，那么P(A)=，P(B)=. 因为事件A、B相互独立，方法一：甲、乙两人考试均不合格的概率为 甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 方法二：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.0.10.6Y123P0.3b0.3例3：甲、乙两名

4、射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X和Y，其分布列如下： 1求a,b的值； 2比较两名射手的水平.答案：1a=0.3,b=0.4; 2 所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定.例4：一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规那么为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动.。答案：设取出的红球数为X，

5、那么XH6，6，12，其中k=0,1,2,6设赢得的钱数为Y，那么Y的分布列为X1005020100P，故我们不该“心动。【课内练习】1标准正态分布的均数与标准差分别为( )。A0与1 B1与0 C0与0 D1与1答案：A。解析：由标准正态分布的定义知。2正态分布有两个参数与，( )相应的正态曲线的形状越扁平。A越大 B越小 C越大 D越小答案： C。解析：由正态密度曲线图象的特征知。3已在个数据，那么是指A B C D 答案：C。解析：由方差的统计定义知。 4设，那么的值是 。答案：4。解析：，5对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题。记X为解出该题的人数，那么EX= 。

6、答案：。解析：。6设随机变量服从正态分布，那么以下结论正确的选项是 。 (1) (2)(3)(4)答案：(1),(2),(4)。解析：。7抛掷一颗骰子，设所得点数为X，那么VX= 。答案：。解析：，按定义计算得。8有甲乙两个单位都想聘任你，你能获得的相应的职位的工资及可能性如下表所示：甲单位1200140016001800概率0.40.30.20.1乙单位1000140018002200概率0.40.30.20.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位并说明理由。 答案： 由于E甲=E乙，V甲V乙，应选择甲单位。解析：E甲=E乙=1400，V甲=40000，V乙=160000。9交5元钱

7、，可以参加一次摸奖。一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和设为，求抽奖人获利的数学期望。答案：解：因为为抽到的2球的钱数之和，那么可能取的值为2，6，10. ，设为抽奖者获利的可能值，那么，抽奖者获利的数学期望为 故，抽奖人获利的期望为-。10甲乙两人独立解某一道数学题，该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.1求该题被乙独立解出的概率；2求解出该题的人数的数学期望和方差.答案：解：1记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2. 那么PA=P1=0.6,

8、P(B)=P2012 P0.080.440.48，或利用。【作业本】A组1袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X表示取出球的最大号码，那么EX等于 A、4 B、5 C、4.5 D、4.75答案：C。解析：X的分布列为X345P0.10.30.6故EX=30.1+40.3+50.6=4.5。2以下函数是正态分布密度函数的是 A BC D答案：B。解析：选项B是标准正态分布密度函数。3正态总体为概率密度函数是 A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数答案：B。解析：。4正态总体落在区间的概率是05，那么相应的正态曲线在 时到达最高点。答案：0.2。解析：正态

9、曲线关于直线对称，由题意知。5一次英语测验由40道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，总分值120分，某学生选对一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望为 ；方差为 。答案：84；75.6。解析：设X为该生选对试题个数，为成绩，那么XB50，0.7，=3XE(X)=400.7=28 V(X)=400.70.3=8.4故E()=E(3X)=3E(X)=84 V()=V(3X)=9V(X)=75.66某人进行一个试验，假设试验成功那么停止，假设实验失败，再重新试验一次，假设试验三次均失败，那么放弃试验，假设此人每次试验成功的概率为，

10、求此人试验次数X的分布列及期望和方差。解：X的分布列为X123P故，。7甲、乙两名射击运发动，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s，假设他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X，那么EX=，Y为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s的值及Y的分布列及期望.答案：解：由可得，故有Y的取值可以是0，1，2. 甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是， 甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是， 甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是 所以； 甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是，甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是 所以

11、，故 所以Y的分布列是Y123P 所以 Y的期望是EY=。8一软件开发商开发一种新的软件，投资50万元，开发成功的概率为0.9，假设开发不成功，那么只能收回10万元的资金，假设开发成功，投放市场前，召开一次新闻发布会，召开一次新闻发布会不管是否成功都需要花费10万元，召开新闻发布会成功的概率为0.8，假设发布成功那么可以销售100万元，否那么将起到负面作用只能销售60万元，而不召开新闻发布会那么可能销售75万元.1求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率.2求开发商盈利的最大期望值.答案：解：1设A=“软件开发成功，B=“新闻发布会召开成功 软件成功开发且成功在发布会上发布的概率是P(AB)=

12、P(A)P(B)=0.72. 2不召开新闻发布会盈利的期望值是(万元)； 召开新闻发布会盈利的期望值是万元故开发商应该召开新闻发布会，且盈利的最大期望是24.8万元.B组1某产品的废品率为0.05，从中取出10个产品，其中的次品数X的方差是 A、0.5 B、0.475 C、0.05 D、2.5答案：B。解析：XB10，0.05，。2假设正态分布密度函数，以下判断正确的选项是 A有最大值，也有最小值 B有最大值，但没最小值 C有最大值，但没最大值 D无最大值和最小值 答案：B。3在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布，那么考试成绩在区间内的概率是 A06826 B03174 C09544 D0

13、9974答案：C。解析：由XN100，36，故。4袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，假设取到一个红球那么得2分，用X表示得分数，那么EX=_；V(X)= _.答案：；。解析：由题意知，X可取值是0，1，2，3，4。易得其概率分布如下：X01234PE(X)=0+1234 V(X)= + 注：要求次品数的数学期望与方差，应先列出次品数X的分布列。5假设随机变量X的概率分布密度函数是，那么= 。答案：-5。解析：。6一本书有500页，共有100个错字，随机分布在任意一页上，求一页上错字个数X的均值、标准差。解：XBX的标准差。7某公司咨询热线 共有10路外线，经长期统计发现，在8点至10点这段时间内，外线同时使用情况如下表所示： 同时打入次数X012345678910概率0.130.350.270.140.080.020.010000假设这段时间内，公司只安排2位接线员一个接线员只能接一部 .1求至少一路 号不能一次接通的概率；2在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这一时间至少一路 不能一次接通，那么公司形象将受到损害，现在至少一路 不能一次接通的概率表示公司的“损害度，求这种情况下公司形象的“损害度；3求一周五个工作日的时间内，同时打入 数X的数学期望.答案：解：1只安排2位接线员那么至少一路 号不能一次接通的