对数函数的图像和性质

1、对数函数的概念与图象对数函数的概念与图象人们发现，当生物死亡后，它机体内原有的碳人们发现，当生物死亡后，它机体内原有的碳1414会按确定的规律衰减，大约每经过会按确定的规律衰减，大约每经过57305730年衰减为年衰减为原来的一半，这个时间称为原来的一半，这个时间称为“半衰期半衰期”。湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残留量约占原始含量的百分比为的残留量约占原始含量的百分比为P，试推算马王堆古墓的年代试推算马王堆古墓的年代t. 一般地,函数 y = loga x (a0,且a 1 )叫做对数函数.其中 x是自变量,函数的定义域是（函数的定义域是（ 0 , +0

2、, +）. .对数函数的定义：对数函数的定义：注意注意:1):1)形式化的定义形式化的定义; ;0a. 1a，且，且2)对数函数对底数的限制条件：对数函数对底数的限制条件：判断是不是对数函数判断是不是对数函数5log5xy (1)2(log2xy(2)xy5log2)3(xyx2log)4(5log)7(1log)6(log)5(55xyxyxy（）（）（）（）（）（）（）哈哈哈哈 ，我们都，我们都不是对数函数不是对数函数你答对了吗？你答对了吗？我们是我们是对数型对数型函数函数请认清我们哈请认清我们哈例例1 已知函数已知函数f(x)为为对数函数，且图象过点对数函数，且图象过点(4, 2)，求，

3、求f(1)，f(8)为对数函数解：)(xf32log8log)8(01log) 1 (log)(2(244log224)(log)(322222ffxxfaaaxfxxfaa舍），过（又设) 10aa且（在在同一坐标系同一坐标系中用描点法画出对数函数中用描点法画出对数函数 的图象。的图象。xyxy212loglog和作图步骤作图步骤列表列表, , 描点描点, , 用平滑曲线连接。用平滑曲线连接。X1/41/2124y=log2x-2-1012列表列表描点描点作作y=log2x图象图象连线连线21-1-21240yx32114列表列表描点描点连线连线21-1-21240yx32114x1/41/

4、2124xy2log -2 -1 0 1 2xy21log这两个函这两个函数的图象数的图象有什么关有什么关系呢？系呢？关于关于x轴对称轴对称 图象特征代数表述 探索发现探索发现:认真观察认真观察函数函数y=log2x 的图象填写下表的图象填写下表图象位于y轴右方图象向上、向下无限延伸自左向右看图象逐渐上升21-1-21240y x32114,0定点（1 ）,0与轴交点（1 ）xy21log 发现发现:认真观察函数认真观察函数 的图象填写下表的图象填写下表211421-1-21240yx3图象特征代数表述 图象位于y轴右方图象向上、向下无限延伸自左向右看图象逐渐下降-2,0定点（1 ）,0与轴交

5、点（1 ）对数函数对数函数 的图象。的图象。xyxy313loglog 和和猜猜猜猜: 21-1-21240yx32114xy2log xy21log xy3logxy31log y X O x =1 (1,0) )1(log ayxay X O x =1 (1,0) )10(log ayxa函数函数图图象象定义域定义域值域值域过定点过定点 单调性单调性 值变值变化规律化规律y(1)xyaalog(1)ayx a(0,)(0,)(,) (,) 指数函数指数函数 与对数函数与对数函数 的图象和性质：的图象和性质：(1)xyaalog(1)ayx axyo1xyo1（0 0，1 1）（1 1，0

6、0）(,) 在在 上是增函数上是增函数(0,)在在 上是增函数上是增函数0 x 时,01y1y 0 x 时,0y 1x 时,0y 01x 时,函数函数图图象象定义域定义域值域值域过定点过定点单调性单调性 值变值变化规律化规律指数函数指数函数 与对数函数与对数函数 的图象和性质：的图象和性质：(01)xyaalog(01)ayxa(01)xyaalog(01)ayxaxyo1xyo1y(0,)(0,)(,) (,) （0 0，1 1）（1 1，0 0）(,) 在在 上是减函数上是减函数(0,)在在 上是减函数上是减函数1y 0 x 时,01y0 x 时,0y 1x 时,0y 01x 时,函数函数

7、图图象象定义域定义域值域值域过定点过定点单调性单调性 值变值变化规律化规律(0,)(,) 对数函数对数函数 的图象和性质：的图象和性质：log(0,1)ayx aaxyo1xyo1ylog(01)ayxalog(1)ayx a（1 1，0 0）(0,)在在 上是减函数上是减函数第一象限图像从上往下，底数第一象限图像从上往下，底数a a依次增大依次增大第四象限图像从上往下，底数第四象限图像从上往下，底数a也是依次增大也是依次增大0y 1x 时,0y 01x 时,0y 1x 时,0y 01x 时,同正异负原则：同正异负原则：,0a xy 当取值范围相同时，,0a xy 当取值范围不同时，(0,)在

8、在 上是增函数上是增函数图象位图象位置关系置关系例例2、求下列函数所过的定点坐标。、求下列函数所过的定点坐标。 7)4ln()1( xy)1, 0)(27(log)2( aaxeya总结：求总结：求对数函数对数函数的定点坐标方法是的定点坐标方法是_？ 令真数为令真数为1,求出求出X值即为定点的横坐标值即为定点的横坐标, 求出求出Y值即为定点的纵坐标值即为定点的纵坐标.联想：求联想：求指数函数指数函数的定点坐标方法是的定点坐标方法是_？ 例3求下列函数的定义域：（1） （2） 2log xya)4(logxya 51(3)log(72)xyx练习 P73 2题题函数函数图图象象定义域定义域值域值

9、域过定点过定点单调性单调性 值变值变化规律化规律(0,)(,) 对数函数对数函数 的图象和性质：的图象和性质：log(0,1)ayx aaxyo1xyo1ylog(01)ayxalog(1)ayx a（1 1，0 0）(0,)在在 上是减函数上是减函数第一象限图像从上往下，底数第一象限图像从上往下，底数a a依次增大依次增大第四象限图像从上往下，底数第四象限图像从上往下，底数a也是依次增大也是依次增大0y 1x 时,0y 01x 时,0y 1x 时,0y 01x 时,同正异负原则：同正异负原则：,0a xy 当取值范围相同时，,0a xy 当取值范围不同时，(0,)在在 上是增函数上是增函数图

10、象位图象位置关系置关系 比较下列各组中，两个值的大小比较下列各组中，两个值的大小（1） log23.4与与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与与 log 0.3 2.7（3） loga5.1与与 loga5.9 你能口答吗？你能口答吗？变一变还能口答吗？变一变还能口答吗？、5 . 065 . 0log_log21-1-21240yx32114xy2log xy21log xy3logxy31log 规律：规律：做直线做直线y=1x1yxo0 c d0 c d 1 a 1 a b b1logaxlogbxlogcxlogdx例例 比较大小：比较大小：1） log53 log43解解

11、: 利用对数函数图象利用对数函数图象得到得到 log53 log5 log3 33 =3 =1 1 loglog5 53 log3 log 53 例例. .比较大小比较大小2 2） loglog3 35 log5 log5 53 3 因为因为log 32 0log 20.8 log 20.8当当底数不相同，真数也不相同底数不相同，真数也不相同时，方方法法100 0 1 1( (各种变形式）各种变形式）. .解解:3 3） loglog3 32 log2 log2 20.80.8 练习练习1 1：比较大小：比较大小 loglog7 76 1 6 1 log log0.50.53 13 1 log

12、 log6 67 1 7 1 log log0.60.60.1 10.1 1 log log3 35.1 0 5.1 0 log log0.10.12 02 0 log log2 20.8 0 0.8 0 log log0.20.20.6 00.6 021-1-21240yx32114xy2log xy21log xy3logxy31log 规律：规律：做直线做直线y=1x1yxo0 c d0 c d 1 a 1 a log(4x+8)log2 22x 2x 的解集的解集为为 （ ）解：由对数函数的性质及定义域要求，得 x0 4x+802x04x+82xx -2X0 x -4解对数不等式时解对数不等式时 , 注意注意真数大于零真数大于零.A. x0 B. x -4 C. x -2 D. x 4A 例（应用）例（应用）溶液酸碱度的测量。溶液酸碱度的测量。溶液酸碱度是通过溶液酸碱度是通过pH刻画的。刻画的。pH的计算公式的计算公式为为pH=-lgH+，其