第一课时任意角与弧度制

1、1.任意角的概念任意角的概念2.正角、负角、零角正角、负角、零角3.象限角、轴线角象限角、轴线角4.终边相同的角终边相同的角5.弧度制的有关概念弧度制的有关概念6.角度与弧度之间的互化角度与弧度之间的互化角的推广 通过上面的两个实例，发现仅用通过上面的两个实例，发现仅用0- -360范范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广问题，需要对角的概念进行推广创设情景创设情景 兴趣导入兴趣导入 2角的概念的推广角的概念的推广“旋转旋转”形成角形成角 如图：一条射线由原来的如图：一条射线由原来的位置位置OA，绕着它的端点，绕着它的

2、端点O按按逆逆时针方向旋转时针方向旋转到另一位置到另一位置OB，就形成角就形成角 旋转开始旋转开始时的时的射线射线OA叫做叫做角角的的始边始边，旋转终止旋转终止的的射线射线OB叫做角叫做角的的终边终边，射线的，射线的端端点点O叫做角叫做角的的顶点顶点 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。旋转到另一个位置所成的图形。OAB 按逆时针方向旋转所成的角叫正角；按逆时针方向旋转所成的角叫正角； 按顺时针方向旋转所成的角叫负角；按顺时针方向旋转所成的角叫负角； 一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零一条射线没有作任何旋转而形成的角

3、叫零角。角。 角的记法：角的记法：用角的顶点与边的字母表示角用角的顶点与边的字母表示角 AOB或或O 用小写希腊字母用小写希腊字母、来表示角来表示角. Zkkk,36090360|第一第一象限象限Zkkk,222|第二第二象限象限Zkkk,36018036090|Zkkk,222|第三第三象限象限Zkkk,360270360180|Zkkk,2232|第四第四象限象限Zkkk,360360360270|Zkkk,22223| 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就

4、说这个角是第几象点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角。限角。例如：例如：30 、390 、 330 是第一象限角，是第一象限角， 300 、 60 是第四象限角，是第四象限角， 585 、1300 是第三象限角，是第三象限角， 135 、 2000 是第二象限角等是第二象限角等 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x x轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限，我标轴上，这时这个角不属于任何象限，我们称之为轴线角。们称之为轴线角。 390 =30 +360 330 =30+(-1) 360

5、30 =30 +0360 1470 =30 +4360 1770 =30 (-5)360 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合： 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同； 终边相同的有无数多个，它们相差360的整数倍。ZkkS,360|ZkkS,2|1、1的角是怎样规定的？的角是怎样规定的？2、什么叫角度制？、什么叫角度制？规定规定周角周角的的1/360叫做叫做1度的角。度的角。用用度度作单位来度量角的作单位来度量角的单位制叫做角度制。单位制叫做角度制。3、角度制的单位是什么？、角度制的单位是什么？度、分、秒度、分、秒ABO12.2.弧长公式弧长公式nR180l= 3.3

6、.扇形的面积公式：扇形的面积公式：nRl2360RnS扇形 在平面几何中研究角的度量，当时是用度做在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角，单位来度量角， 的角是如何定义的？的角是如何定义的？ 1 我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到一种度量角的制度一种度量角的制度弧度制，它是如何定义呢？弧度制，它是如何定义呢？ 将圆周分成将圆周分成360360等份，每一段圆弧所对的圆等份，每一段圆弧所对的圆心角就是心角就是1 1的角的角. . ”“,rad)1(弧弧度度读读作

7、作单单位位是是弧弧度度角角的的弧弧所所对对的的圆圆心心角角叫叫作作我我们们把把长长度度等等于于半半径径长长1)2( 0:)3(也可以这样理解也可以这样理解LR,的弧度数的弧度数为该圆心角为该圆心角半径的比值半径的比值圆心角所对应的弧长与圆心角所对应的弧长与 RL即即:所以所以 090 0180 0360rad2 rad2 rad l=r r1 rad OBA OBA l=2r r2 rad OBA l=3r r3 rad l r? rad lradr |lradr OBAOBAr l 把角度换成弧度把角度换成弧度rad2360rad180radrad01745.01801把弧度换成角度把弧度换

8、成角度 185730.571801rad角度与弧度间的换算角度与弧度间的换算 角角 的弧度数的绝对值的弧度数的绝对值: （l为弧长，为弧长，r为半径）为半径）rl正角零角负角正实数负实数0任意角的集合R实数集1、1弧度的角弧度的角Rl3、换算公式、换算公式2、弧长公式、弧长公式规定：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做规定：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；弧度的角；问题：一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于问题：一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？弧度吗？为什么？RllR lRRS21212扇形radrad01745. 01801185730.571r

9、ad（1）一般地，正角的弧度数是一个正数，负）一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零；角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零；（2）角的概念推广后，无论是用角度制还是）角的概念推广后，无论是用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数用弧度制，都能在角的集合与实数R之间建立之间建立一种一一对应的关系。一种一一对应的关系。(3)lrlr 角角 的的弧弧度度数数的的绝绝对对值值（ 为为弧弧长长， 为为半半径径）（4）用角度制和弧度制来度量零角， 单位不同，但数量相同（都是0） （5）用弧度制表示角时，不能与角）用弧度制表示角时，不能与角度制混用。度制混用。(1) 弧

10、度制是以弧度制是以“弧度弧度”为为单位单位的度量角的的度量角的单位制，角度制是以单位制，角度制是以“度度”为单位来度量角为单位来度量角的单位制；的单位制；1弧度弧度1 ； （2）1弧度弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而心角的大小，而1度是圆周度是圆周 的所对的圆心的所对的圆心角的大小；角的大小； 1360（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。半径无关的定值。 终边相同的

11、角终边相同的角（1）用角度表示）用角度表示（2）用弧度表示）用弧度表示ZkkS,2|与与 终边相同的角可以表示为：终边相同的角可以表示为： Zkk，360它们构成一个集合：它们构成一个集合： ZkkS,360|与与 终边相同的角可以表示为：终边相同的角可以表示为： 它们构成一个集合：它们构成一个集合： 角度角度030456090120135150180弧度弧度角度角度210225240270300315330360弧度弧度063423243652326745343547611例例1.1.特殊角的角度与弧度特殊角的角度与弧度2例例:填空填空角角度度制制与与弧弧度度制制的的互互化化 1217)1(

12、 85)2( 0100)3( 0600)4(01801217 0255 018085 05 .112 031120 180100 95 180600 310 例例3写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：1、 终边与终边与X轴正半轴重合轴正半轴重合；2、 终边与终边与X轴负半轴重合；轴负半轴重合；3、 终边与终边与X轴重合；轴重合；4、 终边与终边与Y轴正半轴重合轴正半轴重合；5、 终边与终边与Y轴负半轴重合轴负半轴重合；6、 终边与终边与Y轴重合轴重合；7、第一象限内的角、第一象限内的角；8、第二象限内的角、第二象限内的角；9、第三象限内的角、第三象限

13、内的角；10、第四象限内的角、第四象限内的角； )(2| )(2| )(| )(22| )(232| )(2| )(222| )(222| )(2322| )(22232| 4例例.象象限限试试判判断断下下列列各各角角所所在在的的5)1( 511)2( 32000)3( 1)4(4)5(8)6( 250 .5是是第第一一象象限限角角 52511 .511是是第第一一象象限限角角 3466832000 4例例.象象限限试试判判断断下下列列各各角角所所在在的的5)1( 511)2( 32000)3( 250 .5是是第第一一象象限限角角 52511 .511是是第第一一象象限限角角 3466832

14、000 2334 又又.32000是是第第三三象象限限角角 )57.1241 .3(210 4例例.象象限限试试判判断断下下列列各各角角所所在在的的4)5(8)6( 1)4(.1是是第第一一象象限限的的角角 234 .4是是第第三三象象限限的的角角.8.56.124,28. 62,14. 3:介于两数之间而得由于分析56. 448 2356. 4 又又)71. 414. 32323( .8是是第第三三象象限限的的角角 解解题题思思路路,的的角角所所在在象象限限判判断断一一个个用用弧弧度度制制表表示示一一般般是是将将其其化化成成)(2 然然的的形形式式 ,.所所在在象象限限予予以以判判断断后后再

15、再根根据据 不不能能写写成成注注意意 :)()12( .的的形形式式例例,33310的的形形式式写写成成不不能能 342 写成写成而应而应5例例)R,L(RL21S是圆的半径是圆的半径是扇形的弧长是扇形的弧长其中其中积公式积公式利用弧度制证明扇形面利用弧度制证明扇形面 ,21rad1: 所所对对应应的的扇扇形形为为圆圆的的分分析析而而圆圆的的面面积积,R2 为为公公式式圆圆心心角角所所对对应应的的扇扇所所以以 rad1.R21R2122 形面积为形面积为:证明如如果果我我们们知知道道扇扇,rad1的几倍的几倍形所对应的圆心角为形所对应的圆心角为则扇形的面则扇形的面.rad1的扇形的几倍的扇形的

16、几倍积即为圆心角为积即为圆心角为所以它的面积所以它的面积的扇形的圆心角为的扇形的圆心角为弧长为弧长为,radRLl2R21RLS LR21 5例例)R,L(RL21S是圆的半径是圆的半径是扇形的弧长是扇形的弧长其中其中积公式积公式利用弧度制证明扇形面利用弧度制证明扇形面 :分分析析RoRooR2RS 圆圆14SS圆扇形2R41 12SS圆扇形2R21 :解解,R2L 因因为为扇扇形形为为整整个个圆圆的的所所以以扇扇形形面面积积为为园园扇扇形形SR2LS 2RR2L LR21 6例例.,cm4,cm82度度数数求求该该扇扇形形的的圆圆心心角角的的弧弧面面积积为为已已知知扇扇形形的的周周长长为为

17、LR:解解则由则由弧长为弧长为设扇形半径为设扇形半径为,L,R8LR2 4LR21 4L2R 得得解解的弧度数为的弧度数为故该扇形的圆心角故该扇形的圆心角 RL 24 2 .,求求出出角角的的范范围围已已知知角角的的终终边边区区域域如如图图xy0045(1)xy0045(2) )(2242| )(24| ;,4弧度弧度等于等于度度时针转了时针转了小时小时时间经过了时间经过了;,弧度弧度等于等于度度分针转了分针转了01200144032 8 )() 1k2(2|A 已已知知 66|B BA:则则如如图图解解:066 2 2, 2 , 1, 3, 2时时或或当当时时当当 已已超超出出.)6 ,6(

18、的的范范围围 0,6|或或1.角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴的负轴的负 半轴上的角的集合可以表为半轴上的角的集合可以表为 ， 也可以表示为也可以表示为 . 2. 角所在象限角所在象限第一象限角第一象限角第二象限角第二象限角第三象限角第三象限角第四象限角第四象限角第一或第一或第三象限角第三象限角第一或第一或第三角限角第三角限角第二或第二或第四象限角第四象限角第二或第二或第四象限角第四象限角特别警示特别警示(1)利用终边相同的角的集合利用终边相同的角的集合S|2k，kZ判断一个角判断一个角所在的象限时，只需把这个角写成所在的象限时，只需把这个角

19、写成0,2范围内的一个角范围内的一个角与与2的整数倍的和，然后判断角的整数倍的和，然后判断角的象限的象限.(2)角度制和弧度制不能混用，如角度制和弧度制不能混用，如2k30(kZ)，k360 (kZ)都是不正确的都是不正确的. (1)如果如果是第三象限的角，那么是第三象限的角，那么，2的终边落的终边落在何处？在何处？(2)写出终边在直线写出终边在直线y 上的角的集合；上的角的集合；(3)若角若角的终边与的终边与 角的终边相同，求在角的终边相同，求在0,2)内终边内终边与与 角的终边相同的角角的终边相同的角.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)由由是第三象限的角得是第三象限的角得即即 .角角的

20、终边在第二象限；的终边在第二象限；由由得得24k234k(kZ).角角2的终边在第一、二象限及的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴轴的非负半轴.(2)在在(0，)内终边在直线内终边在直线y 上的角是上的角是 ，终边在直线终边在直线y x上的角的集合为上的角的集合为| k，kZ.(3)依题意依题意k0,1,2，即在即在0,2)内终边与内终边与 相同的角为相同的角为在在(1)的条件下，判断的条件下，判断 为第几象限角？为第几象限角？解：解： 为第二或第四象限角为第二或第四象限角. 设扇形的弧长为设扇形的弧长为l，圆心角大小为，圆心角大小为(弧度弧度)，半径为，半径为r，则则l|r；S扇形扇形 lr

21、 |r2特别警示特别警示这里给出的弧长、扇形面积公式是在弧度制这里给出的弧长、扇形面积公式是在弧度制下的，使用时切记将圆心角用弧度来表示下的，使用时切记将圆心角用弧度来表示. 已知一扇形的圆心角是已知一扇形的圆心角是，半径为，半径为R，弧长，弧长l.(1)若若=60,R=10cm，求扇形的弧长，求扇形的弧长l.(2)若扇形周长为若扇形周长为20cm,当扇形的圆心角当扇形的圆心角为多少弧度时为多少弧度时,这个这个扇形的面积最大扇形的面积最大?思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(2)由题意得由题意得l2R20，l202R(0R10).(10R)RR210R.当且仅当当且仅当R5时，时，S有最大值有最

22、大值25.此时此时当当2 rad时，扇形面积取最大值时，扇形面积取最大值.若扇形的周长为若扇形的周长为10 cm，面积为，面积为4 cm2，如何求，如何求？解：解：依题意有依题意有代入得代入得R25r40，解之得解之得R1或或R4.当当R1 cm时，时，l8 cm，此时，此时8 rad2rad，舍去；，舍去；当当R4 cm时，时，l2 cm，此时，此时 rad.A.终边相同的角一定相等终边相同的角一定相等B.第一象限的角都是锐角第一象限的角都是锐角C.锐角都是第一象限的角锐角都是第一象限的角D.小于小于90的角都是锐角的角都是锐角例例1 (1)下列各命题正确的是下列各命题正确的是A.第一象限角第一象限角B.第二象限角第二象限角C.第三象限角第三象限角D.第四象限角第四象限角例例1 (2)若若是第二象限角，则是第二象限角，则180 是第几象限角？是第几象限角？)(23223.ZkkA和例例2 (1)下列各对角中，终边相同的下列各对角中，终边相同的 是是5225.和B91197.和C9122320.和D580280.和A例例2 (2)下列各对角中，终边相同的下列各对角中，终边相同的 是是485125.和B0360.和C36412.和D1050. 1例例3 写出与下列各角终边相同的角的集合，写出与下列各角终边相同的角的