D11_4对面积曲面积分

1、目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 对面积的曲面积分 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 Oxyz一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例: 设曲面形构件具有连续面密度设曲面形构件具有连续面密度),(zyx类似求平面薄板质量的思想类似求平面薄板质量的思想, 采用采用kkkkS),(可得可得nk 10limM),(kkk求质求质 “分割分割, 取近似取近似, 作和作和, 求极限求极限” 的方法的方法,量量 M.其中其中, 表示表示 n 小

2、块曲面的直径的小块曲面的直径的 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 最大值最大值目录 上页 下页 返回 结束 SzyxMd),(定义定义: 设设 为光滑曲面为光滑曲面,“乘积乘积和式极限和式极限” kkkkSf),(nk 10lim都存在都存在,的的曲面积分曲面积分Szyxfd),(其中其中 f (x, y, z) 叫做被积叫做被积据此定义据此定义, 曲面形构件的质量为曲面形构件的质量为曲面面积为曲面面积为SSdf (x, y, z) 是定义在是定义在 上的一上的一 个有界个有界函数函数,记作记作或或第一类曲面积分第一类曲面积分.若对若对 做做任

3、意分割任意分割和局部区域和局部区域任意取点任意取点, 则称此极限为函数则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面在曲面 上上对面积对面积函数函数, 叫做积分曲面叫做积分曲面.目录 上页 下页 返回 结束 则对面积的曲面积分存在则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性对积分域的可加性.,21则有则有Szyxfd),(1d),(Szyxf2),(SzyxfdSzyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质线性性质.则为常数设,21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面在光滑曲面 上连续上连续, 对面积对面积的曲面积分与的曲面积分与对弧长对弧长的曲线积分

4、性质类似的曲线积分性质类似. 积分的存在性积分的存在性. 若若 是分片光滑的是分片光滑的,例如分成两例如分成两片光滑曲面片光滑曲面目录 上页 下页 返回 结束 Oxyz定理定理: 设有光滑曲面设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在在 上连续上连续,存在存在, 且有且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则则曲面积分曲面积分证明证明: 由定义知由定义知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(目录

5、上页 下页 返回 结束 kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而( 光滑)目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有类似的公式可有类似的公式.1) 如果曲面方程为如果曲面方程为2) 若曲面为参数方程若曲面为参数方程, 只

6、要求出在参数意义下只要求出在参数意义下dS 的表达式的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分二重积分. (见本节后面的例见本节后面的例4, 例例5) 目录 上页 下页 返回 结束 yxD例例1. 计算曲面积分计算曲面积分,dzS其中其中 是球面是球面222zyx被平面被平面)0(ahhz截出的顶部截出的顶部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2axzyhaO目录 上

7、页 下页 返回 结束 思考思考:若 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下两部分,) (dzS) (dzS0hln4aa则hhxzyO目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算计算,dSzyx其中其中 是由平面是由平面坐标面所围成的四面体的表面坐标面所围成的四面体的表面. 解解: 设设上的部分上的部分, 则则4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx与与, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式原式 = 分别表示分别表示 在平面在平面 zyx111O目录 上页 下页 返回 结束 内容小

8、结内容小结1. 定义定义:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 计算计算: 设设,),( , ),(:yxDyxyxzz则则Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他两种情况类似曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式简化计算的技巧简化计算的技巧. 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习P222 题题1；3；4 (1) ; 7 解答提示解答提示:P222 题题1.SzyxzyIxd),()(22P222 题题3. ,),( ,0:yxDyxzyxD

9、yxyxfSzyxfdd),(d),(设设则则0P244 题题2目录 上页 下页 返回 结束 P222 题题4 (1).Oyz2x 在在 xOy 面上的投影域为面上的投影域为2:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(4122yxDSyxyxSdd)(41d22rrrd41d20220313这是这是 的面积的面积 !2xyD)(2:22yxz目录 上页 下页 返回 结束 P223 题7. 如图所示, 有yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d21202320354tttd) 1(302221rt令2zyx1O目录 上页 下页 返回 结束 P249 题2. )

10、,0(:2222zazyx在第一卦为1限中的部分, 则有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC( 2000 考研 )目录 上页 下页 返回 结束 作业 P222 4(3); 5(2); 6(1)目录 上页 下页 返回 结束 xzyO例例3. 设2222:azyx),(zyxf计算.d),(SzyxfI解解: 锥面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1设,),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz当22yxz当与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xOy 面上的投影域为则

11、1d)(22SyxI1yxD目录 上页 下页 返回 结束 1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxdd思考思考: 若例3 中被积函数改为),(zyxf,22yx ，022yxz当22yxz当计算结果如何 ? xzyO1yxD目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.解解: 设 的方程为yxDyxyxRz),( ,222利用对称性可知重心的坐标,0 yx而 z 2223RRR用球面坐标cosRz ddsind2RS SdSzd20032dcossindR2002dsindR思考题思考题: 例 3

12、 是否可用球面坐标计算 ?目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算),(dRzSI.:2222Rzyx解解: 取球面坐标系, 则,cosRz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 计算,d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用对称性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 显然球心为, ) 1 , 1 , 1 (半径为3x利用重心公式SxdSd).(22zyxz目录 上页 下页 返回 结束 zzd例例7.

13、计算,d222zyxSI其中 是介于平面之间的圆柱面.222Ryx分析分析: 若将曲面分为前后(或左右)zRSd2d则HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0Hxyz解解: 取曲面面积元素两片, 则计算较繁. O目录 上页 下页 返回 结束 yxzLO例例8. 求椭圆柱面19522yx位于 xOy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S . 解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取SSdszLdtt cosdcos45302sd5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220syLd目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 设有一颗地球同步轨道

14、通讯卫星, 距地面高度 h = 36000 km, 运行的角速度与地球自转角速度相同, 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. (地球半径 R = 6400 km )解解: hR R建立坐标系如图, 记覆盖曲面 的半顶角为 , 利用球面坐标系, 则 ddsind2RS 卫星覆盖面积为SAd)cos1 (22RhRRcoshRhR220202dsindRyzxO目录 上页 下页 返回 结束 故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为24 RA)(2hRh6610)4 . 636(21036%5 .40由以上结果可知, 卫星覆盖了地球 31以上的面积, 故使用三颗相隔32角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面. 说明说明: 此题也可用二重积分求 A . hR RyzxO目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 已知曲面壳)(322yxz,22zyx求此曲面壳在平面 z =1以上部分 的的面密度质量 M . 解解: 在 xOy 面上的投影为 ,2:22 yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213yxD2xzyO目录 上页 下页 返回 结束 2. 设 是四面体的表0,0,0,1zyxzyx面, 计算.d)1 (12SyxI解解: 在四面体的四个面上yxz1yxdd3xyxD