第2讲(事件的概率与古典概率、几何概率)

1、 概率论与数理统计概率论与数理统计第二讲第二讲1.2 1.2 事件的概率事件的概率一一 频率与概率的统计定义频率与概率的统计定义二二 概率的公理化定义与概率的性质概率的公理化定义与概率的性质1.3 1.3 古典概率模型古典概率模型一一 古典概率模型及其事件概率求法古典概率模型及其事件概率求法二二 几何概率（几何概率（补充补充）1.2 事件的概率事件的概率1.2.1 1.2.1 概率的统计定义概率的统计定义1.1.频率频率 设A是一个事件, 在相同条件下进行n次试验，A发生了m 次. 则称 m为事件A在 n 次试验中发生的频数或频次，称 m与 n之比 m/n 为事件A在 n次试验中发生的频率，记

2、为 fn(A). . 度量事件A A在试验中发生的可能性大小的数叫概率,记为P P( (A A).).(1)(1) 0 0 fn( (A) )11；(2)(2) fn ( ()=1, )=1, fn ( ( )=0)=0；(3).(3).若若事件事件 A1 1, ,A2 2, , ,Ak k 两两互斥，则两两互斥，则: : 频率性质频率性质。 kiinkiinAfAf11)( 考虑在相同条件下进行的 k 组试验事件A在各组试验中的频率形成一个数列. 2211kknmnmnm，频率稳定性是指：频率稳定性是指：各组试验次数 n1, ,n2, nk 充分大时，在各组试验中事件 A 出现的频率间、或频

3、率与某定值相差很小. 稳定在概率稳定在概率 p 附近附近 当试验次数充分大时，事件A在每组试验中的频率总在某一个数附近来回摆动，且试验次数越多，摆动的幅度越小.该性质称频率的稳定性. 在n次重复试验中，A的频率fn(A)随试验次数n的增加而在0,1上的某个数p附近来回摆动，且n越大，摆动的幅度越小，称p为A的概率，记为P(A),即P(A)=p.2.2.概率的统计定义概率的统计定义注意：注意：统计定义没有给出定义概率的方法，因为不可能依该定义确切地给出任一事件的概率.但其重要性在于 频率在一定程度上反映了事件在一次试验中发生的可能性大小.尽管每进行的n次试验，所得到的频率可能各不相同,但只要 n

4、足够大，频率就会非常接近一个固定值概率.方法.1.提供了估计概率的.)(,)(nmAPnmAfn近似求论正确与否的准则.2.提供了一种检验理.否接近(据理论假定给出)是与验证pnm；若接近，支持该理论可认为该理论有误.若相去较远， 在实际问题中，当概率不易求出时，人们在试验次数很大情况下，常用事件的频率作为概率的估计.例如例如: : 若需了解某射箭运动员中10环的概率，应对该运动员在相同条件下的多次射箭情况进行观测、统计. 假设其射击 n 次，中10环m次，当 n很大时，就 m/n 作为其命中10环的概率.又如：又如：进行产品检验时，如果检验了n 件产品,其中m 件为次品，则当 n 很大时，可

5、用 m/n 作为产品的次品率(概率)的估计值. 1933年，前苏联数学家(概率统计学家)柯尔莫哥洛夫 (KolmogorovKolmogorov) 给出了概率如下公理化定义.1.2.2 1.2.2 概率的公理化定义概率的公理化定义I.I.定义定义概率的公理化定义概率的公理化定义(2) P()=1 ; (3) 若事件A1, A2 , 两两互斥，则有 设是随机试验E 的样本空间，对中的任一事件A，定义一个实数P(A) ，如果事件(集合)函数 P(A) 满足下述三条:(1) P(A)00；则称P(A)为事件A 的概率. )()()(2121APAPAAP 注意：注意：这里的函数P(A)与以前所学过的

6、函数不同.不同之处在于：P(A)的自变量是事件 ( 集合 ). 不难看出：不难看出：这里事件概率的定义是在频率性质的基础之上提出的.在5.2中,我们将看到：频率频率fn(A)在某种意义下收敛到概率在某种意义下收敛到概率P(A)的结论.基于这一点，我们有理由用上述定义的概率P(A)来度量事件A在一次试验中发生的可能性大小.II. II. 概率的性质概率的性质 1.1.P P( ()=0)=0，即不可能事件的概率为零； 2. 若事件 A1 1, ,A2, , An两两互斥，则有： P P( (A1 1A2 2An)=)=P P( (A1 1)+)+ +P P( (An),), 即互斥事件和的概率等

7、于它们各自 概率之和(有限可加性)；4.对于事件A和B，有P(A- -B)=P(A)- -P(AB).推论推论1 1 若若B A，则则P(A- -B)=P(A)- -P(B). 推论推论2 2 若若B A，则，则P(B)P(A).);(1)(APAP 3.3.对任一事件A, 均有证明：证明：5.对任意两个事件A、B，有因 AB，AAB，BAB两两互斥，且由概率的可加性， 有 P(AB)=P(AB(AAB) (B AB)=P(AB)+P(A AB)+P(B AB）=P(AB)+P(A) P(AB)+P(B) P(AB)=P(A)+P(B) P(AB).AB = AB(A AB) (B AB)，)

8、()()()(ABPBPAPBAPJ 说明说明n个事件和的公式特别地，n = 3 时，有)()()()()()()()(321323121321321AAAPAAPAAPAAPAPAPAPAAAP njijiniinAAPAPAAAP1121)()()()() 1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP)()()(BPAPBAP推论例例1 1解解)( BAP)()()()(BAPBPAPAP)()(BPBAP3060. ,.)(,.)(,.)(603040BAPBPAP已知).( BAP求)(BAP)()(ABPAP.30例例2 2, 0)(,41)()()(ABPCPBPAP已知).

9、(,81)()(CBAPBCPACP求解解)(1)(CBAPCBAP0)(0)(ABCPABP知由)(CBAP 1)()()()(1ABPCPBPAP)()()(ABCPBCPACP)081810414141(1.21211)(CBAP 1小结小结本节首先介绍频率的概念，指出在试验次数充分大的情况下，频率接近于概率的结论；然后给出了概率的统计定义与公理化定义及概率的主要性质.1.3 1.3 古典概率与几何概率古典概率与几何概率I I. .什么是古典概率模型什么是古典概率模型如果试验 E 满足 1.3.11.3.1古典概率古典概率(2) 各种结果出现的可能性相同. 称这样的试验模型为等可能概率模

10、型或古典概率模型，简称等可能概型或古典概型.(1) 试验的结果只有有限种；II.II.古典概率模型中事件概率求法古典概率模型中事件概率求法 因试验E的结果只有有限种，设样本空间 = 1 1， 2 2 ， ， n i i 是基本事件，两两互斥，且P P( ( 1 1)=)=P P( ( 2 2 )=)=P P( ( n).). 于是 从而， P P( ( i i) )= 1/= 1/n，i=1,2,=1,2, ,n. .1 1= =P P()()= =P P( ( 1 1 2 2 n) ) = =P P( ( 1 1)+)+P P( ( 2 2 )+)+P P( ( n) ) = =n P P(

11、 ( i i), ), i=1,2,=1,2,n. .因此，若事件A 包含 k 个基本事件，即krirPAP1)()( 则则kiiiA 21nk.基本事件总数中包含基本事件数AIII. III. 古典概模型举例古典概模型举例例1.110)4(101)3(102 (2)101) 1 (.502 , 1504321的概率考签最后一次抽到的是双号求张，次，每次无放回地抽取的概率；号考签抽到的两张都是前求张，次无放回地抽取两次，每的概率；号考签抽到的两张都是前求张进行考试，任抽的概率；号考签抽到前求张进行考试，任抽，：张考签，分别予以标号设有AAAA解解,)(1501Cn 数样本空间的基本事件总)(1

12、AP故)( (3)3AP)( (2)2AP)( (4)4AP511101CkA包含的基本事件数150110CCnk250210CC03702459.250210AA03702459.21150125CC)(4AP或1050125949ACA215025例例2 2 货架上有外观相同的商品15件，其中12件来自产地甲, 3件来自地乙.现从15件商品中随机抽取两件,求这两件商品来自同一产地的概率.解：解：A=两件商品都来自产地甲两件商品都来自产地甲,B=两件商两件商品都来自产地乙品都来自产地乙,C=这两件商品来自同一产这两件商品来自同一产地地 ，则则A与与B互斥互斥, , C= =AB)( APB)

13、(A(C)PP故(B)(A)PP21523215212CCCC352321523212CCC,215212CC)(BP21523CC例例3 3 有外观相同的三极管6只，按电流放大系数分类，4只属甲类，2只属乙类.按下列两种方案抽取三极管两只：(1)每次抽取一只，测试后放回，然后再抽取下一只(放回抽样)；(2)每次抽取一只，测试后不放回，然后在剩下的三极管中再抽取下一只(不放回抽样）设设 A=抽到两只甲类三极管， B=抽到两只同类三极管, C=至少抽到一只甲类三极管, D=抽到两只不同类三极管.求 P P( (A),),P P( (B),),P P( (C),),P P( (D).).解解: :

14、 (1).由于每次抽测后放回, 因此，每次都是在6只三极管中抽取. 因第一次从6只中取一只，共有6种可能取法；第二次还是从6只中取一只，还是有6种取法.故取两只三极管共有66=36种可能的取法.从而, n=36=36. . 注意：注意：这种分析方法使用的是中学学过的“乘法原理”. 因每个基本事件发生的可能性相同.故第一次取一只甲类三极管共有4种可能取法,第二次再取一只甲类三极管还是有4种可能取法. 故取两只甲类三极管共有44=16 种可能的取法,即A包含的基本事件数为16.所以P P( (A)=16/36=4/9； 令E=抽到两只乙类三极管，E E 包含的基本事件数为22=4,故P P( (E

15、)=4/36=1/9)=4/36=1/9；因C是E的对立事件，所以 P P( (C) )=1-=1-P P( (E)=8/9;因B= =AE, , 且A与E互斥，得 P P( (B) )=P P( (A)+)+P P( (E)=5/9；D是B的对立事件, 得 P P( (D) )=1-1-P P( (B)=4/9. . (2) (2)由于第一次抽测后不放回由于第一次抽测后不放回, ,所以第一次所以第一次从从6 6只中取一只只中取一只, , 共有共有6 6种可能的取法；第二次种可能的取法；第二次是从剩余的是从剩余的5 5只中取一只，有只中取一只，有5 5种可能的取法种可能的取法. .由乘法原理，

16、知取两只三极管共有由乘法原理，知取两只三极管共有n= =6 6 5 5= =3030种种可能的取法可能的取法. . 由乘法原理，得由乘法原理，得A A包含的基本事件数为包含的基本事件数为4 4 3=12,3=12,从而从而P P( (A)=12/30=2/5)=12/30=2/5； 类似地类似地, E, E包含的基本事件数为包含的基本事件数为2 2 1=21=2，故，故P P(E)=2/30=1/15(E)=2/30=1/15；由由C是是E的对立事件的对立事件, ,得得 P P( (C)=1-)=1-P P( (E)=14/15;)=14/15;由由B= =AE, , 且且A与与E互斥，得互斥

17、，得 P P( (B)=)=P P( (A)+)+P P( (E)=7/15)=7/15；由由D是是B的对立事件的对立事件, , 得得 P P( (D)=1-)=1-P P( (B)=8/15.)=8/15. 例例4 4 n个球随机地放入个球随机地放入N( (Nn) )个盒子中，若个盒子中，若盒子的容量无限制盒子的容量无限制. .求求“每个盒子中至多有一每个盒子中至多有一球球”的概率的概率. .解解: : 因因每个球都可以放入每个球都可以放入N个盒子中的任何一个盒子中的任何一个，个，故故每个球有每个球有N N种放法种放法. .由乘法原理，由乘法原理，将将n个个球放入球放入N个盒子中共有个盒子中

18、共有 Nn 种不同的放法种不同的放法. . 每个盒子中至多有一个球的放法每个盒子中至多有一个球的放法( (由乘法由乘法原理原理得得): ): N(N- -1)(N- -n+1)=ANn 种种. .故，故， P(P(A)= )= ANn / Nn . . 设每个人在一年设每个人在一年( (按按365365天计天计) )内每天出内每天出生的可能性都相同，现随机地选取生的可能性都相同，现随机地选取n( (n365)365)个人，则他们生日各不相同的概率为个人，则他们生日各不相同的概率为 A365n / 365n于是于是, , n n个人中至少有两人生日相同的概率为个人中至少有两人生日相同的概率为 1

19、-1-A365365n / 365/ 365n. . 许多问题和上例有相同的数学模型许多问题和上例有相同的数学模型.如如(生日问题生日问题)： 某人群有某人群有n个人，他们中至少个人，他们中至少有两人生日相同的概率有多大？有两人生日相同的概率有多大？ 从上表可以看出从上表可以看出: : 在在4040人左右的人群里人左右的人群里, ,十有八九十有八九会发生会发生 两人或两人以上生日相同两人或两人以上生日相同 这一事件这一事件. . 把把 n 个相异物品分成个相异物品分成k组（堆），第一组组（堆），第一组有有n1 1个个, ,第二组有第二组有n2 2个个, , ,第第 k 组有组有nk k个，且个

20、，且 n1 1+ + n2 2+ + +nk k= =n，则不同的分组方法数为则不同的分组方法数为公式公式!21knnnn例例5 5 某公司生产的某公司生产的15件产品中，有件产品中，有12件正品件正品, 3件次品件次品.现将它们随机地分装在现将它们随机地分装在3个箱中个箱中, 每箱每箱装装5件，设件，设A=每箱中恰有一件次品每箱中恰有一件次品, B=三件三件次品都在同一箱中次品都在同一箱中，求，求P(A)和和P(B).解：解：1515件产品装入件产品装入3 3个箱中，每箱装个箱中，每箱装5 5件，有件，有种等可能的装法种等可能的装法. . 故样本空间的基本事件总数为故样本空间的基本事件总数为

21、) !5 !5 !5/(!15) !5 !5 !5/(!15 把三件次品分别装入三个箱中，共有把三件次品分别装入三个箱中，共有3!3!种种装法装法. .这样的每一种装法取定以后，把其余这样的每一种装法取定以后，把其余1212件正品再平均装入件正品再平均装入3 3个箱中，每箱装个箱中，每箱装4 4件，有件，有个基本事件个基本事件. .,) !4!4!4/(!12种种装装法法再由乘法原理，可知装箱总方法数有再由乘法原理，可知装箱总方法数有.)/(4!4!4!3!12!种即即A包含包含)/(4!4!4!3!12!)(AP从而，从而，!444123!55515.9125 把三件次品装入同一箱中把三件次

22、品装入同一箱中, ,共有共有3 3种装法种装法. .这这样的每一种装法取定以后样的每一种装法取定以后, ,再把其余再把其余1212件正品装件正品装入入3 3个箱中个箱中( (一箱再装一箱再装2 2件件, ,另两箱各装另两箱各装5 5件件) )又有又有个基本事件个基本事件. .) !/(!种装法55212由乘法原理，知装箱方法由乘法原理，知装箱方法共有共有.) !/(!种552123即即B包含包含)(BP)!5!5!2/(!123 !552123!55515.916故故例例6 6 设设N件产品中有件产品中有K件次品，件次品，N- -K件正品件正品, KN.现从现从N件中每次任意抽取件中每次任意抽

23、取1件产品，检查件产品，检查其是正品还是次品后放回；这样共抽检产品其是正品还是次品后放回；这样共抽检产品n次次. 求事件求事件A=所取的所取的n件产品中恰有件产品中恰有k件次品件次品的概率，的概率，k = 0, 1, 2, , n.解解：假定假定N件产品有编号，从中任意取出一件产品有编号，从中任意取出一件，每次都有件，每次都有N N种取法种取法. .由乘法原理由乘法原理，n次共有次共有Nn种取法，种取法，故故基本事件总数为基本事件总数为Nn. . 当所取的当所取的n件产品中恰有件产品中恰有k件次品时，由件次品时，由于取到这于取到这k件次品次序之不同，因此，从次序件次品次序之不同，因此，从次序考

24、虑共有考虑共有Cnk种情况种情况. . 这这Cnk种情况确定以后种情况确定以后, ,从从K件次品中取出件次品中取出k件，共有件，共有Kk种取法；从种取法；从N- -K件正品中取件正品中取n- -k件件, , 共有共有( (N- -K) )n-kn-k种取法种取法. . 由乘法原理由乘法原理，共有，共有Cnk Kk ( (N- -K) )n-kn-k种取法种取法. .故故A中中基本事件个数为基本事件个数为Cnk Kk( (N- -K) )n-k.),2,1 ,0( )()(nkNKNNKCNKNKCAPknkknnknkkn),2,1 ,0( )()(nkNKNNKCNKNKCAPknkknnk

25、nkkn在上式中，令在上式中，令 p=K/N，则有，则有),2, 1 ,0( )1()(nkppCAPknkkn 这是以后常用的，也是非常重要的这是以后常用的，也是非常重要的二项二项分布分布的概率公式的概率公式.1.3.2 1.3.2 几何概率几何概率I.什么是几何型随机试验如果试验如果试验 E 满足满足 (1) (1) 试验的结果无限且不可列；试验的结果无限且不可列； (2) (2) 各种结果出现的可能性相同各种结果出现的可能性相同. .则称这样的随机试验为几何型随机试验则称这样的随机试验为几何型随机试验. . 在几何型随机试验中，通过几何度量在几何型随机试验中，通过几何度量（长度、面积、体积等）来计算事件的概率（长度、面