弯曲梁的强设计学习教案

1、弯曲弯曲(wnq)梁的强设计梁的强设计第一页，共80页。6-1 梁的弯曲应力梁的弯曲应力强度强度(qingd)条件条件 第1页/共80页第二页，共80页。ABP1P2RARB对称轴对称轴纵向对称面纵向对称面梁变形后的轴梁变形后的轴线与外力在同线与外力在同一平面内一平面内梁的轴线梁的轴线第2页/共80页第三页，共80页。 在AC和DB段，梁的横截面既有弯矩，又有剪力，这种情况(qngkung)称为横力弯曲（剪切弯曲） 。 在CD段内，梁的横截面上剪力为零，而弯矩为常量，这种情况(qngkung)称为纯弯曲。 梁在纯弯曲变形(bin xng)时，横截面上只有与弯矩有关的正应力。 第3页/共80页第

2、四页，共80页。作如下假设： 梁的横截面变形(bin xng)后仍保持为平面，且垂直于变形(bin xng)后 的轴线，即弯曲变形(bin xng)的平面假设。(2) 纵向纤维间无挤压作用，各纵向纤维均处于单向受拉 或受压状态。第4页/共80页第五页，共80页。中性层：构件内部既不伸长中性层：构件内部既不伸长(shn chn)也不收缩的纤维也不收缩的纤维层。层。中性中性(zhngxng)轴：横截面与中性轴：横截面与中性(zhngxng)层的交线。层的交线。第5页/共80页第六页，共80页。u 纵向线纵向线bb变形变形(bin xng)后的长度为后的长度为:d)(ybbu bb 变形前的长度等于

3、变形前的长度等于(dngy)中性层中性层bb12OO12OO du 纵向纵向(zn xin)线线bb的应变为的应变为ddd)(yy 即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截面高度呈线性分布。 中性层长度不变, 所以第6页/共80页第七页，共80页。 因为纵向(zn xin)纤维只受拉或压，当应力小于比例极限时，由胡克定律有:yEE 即：纯弯曲时横截面(jimin)上任一点的正应力与它到中性轴的距离y成正比。也即，正应力沿截面(jimin)高度呈线性分布。第7页/共80页第八页，共80页。dNAFAAzMAydAyMAzd对横截面上的内力(nil)系，有: 根据静力平衡条件，纯弯曲梁的左侧(zu

4、 c)只有对z轴的力偶矩M， 即： 0dNAAFAyAzM0dMAyMAzd第8页/共80页第九页，共80页。由: z 轴通过轴通过(tnggu)形心形心即：中性(zhngxng)轴通过形心。0ddAAAyEA0dNAAF0dzASAyAAAyzEAz0dd由:AyAzM0dd0yzAyz AI0yzI因为(yn wi)y轴是对称轴，上式自然满足。第9页/共80页第十页，共80页。EIz 梁的抗弯刚度(n d)MMzAyAdAyyEMAdAyEAd2zIEzEIM1将上式代入yEzIMy由: 将弯矩M和坐标y按规定的正负号代入，所得到的正应力若为正值，即为拉应力，若为负值，即为压应力。在具体计

5、算中，可根据梁变形的情况来判断(pndun)，即以中性层为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力，而凹入边的应力为压应力，此时,M和y可以直接代入绝对值。第10页/共80页第十一页，共80页。在横截面上离中性(zhngxng)轴最远的各点处，正应力最大。 zIMymaxmaxmaxyIWzz令:zWMmax式中Wz称为(chn wi)扭弯截面系数，其单位为m3。若截面(jimin)是高为h宽为b的矩形，则：6212223bhhbhhIWzz若截面是直径为d的实心圆截面，则： 43643222zzdIdWdd若截面是外径为D,内径是d的空心圆截面，则： 434413221642DDDDIWzz第11页

6、/共80页第十二页，共80页。 当梁上有横向力作用时,横截面上既又弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲(wnq)称为横力弯曲(wnq)。等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为WxMz)( 第12页/共80页第十三页，共80页。例：悬臂梁受力及截面尺寸如图，求梁的1-1截面上A、B两点的正应力。解：（1）计算1-1截面上的弯矩0,11 1/ 201300N.mopzZMFqMM （2）确定中性轴位置，并计算惯性矩3542.81 1012zbhIm第13页/共80页第十四页，共80页。（3）确定所求应力点到中性轴的距离，计算各点的应力。A点：B点：356(150 / 240)35( 1300)( 3

7、5 10 )2.81 101.62 101.62zzymmM yIPaMPa 356150 / 22055( 1300)55 102.81 102.54 102.54zzymmM yIPaMPa 第14页/共80页第十五页，共80页。例：一水平放置的No.10普通热轧槽钢制悬臂梁，受力如图。外力都作用(zuyng)在铅垂对称面内。已知Fp=1.2KN,M=2.2KN.m,求：（1）1-1截面上A、B两点的正应力；（2）梁内最大正应力。解：（1）画弯矩图确定1-1截面上的弯矩与梁内最大弯矩。1-1截面：2-2截面：max1200ZMNm1000ZMNm第15页/共80页第十六页，共80页。（2）

8、确定中性轴位置及惯性矩查表，No.10普通热轧槽型钢8415.225.6 10ozymmIm；（3）确定所求点到中性轴的距离，计算指定点的应力A点：B点：03815.21000 15.2 1059.425.6 10zzyymmM yMPaI（压）03815.25.39.910009.9 1038.725.6 10zzyymmM yMPaI（压）第16页/共80页第十七页，共80页。（4）计算梁内最大正应力最大正应力发生在2-2截面上距中性轴最远的点。max3maxmaxmax84815.232.8120032.8 10154()25.6 10ozzybymmMyMPaI压第17页/共80页第十

9、八页，共80页。讨论：悬臂梁和截面形状如图，外力讨论：悬臂梁和截面形状如图，外力Fp均加载均加载y方向。方向。试分析计算试分析计算1-1截面上任意点（到截面上任意点（到z轴的距离为轴的距离为y）弯曲）弯曲正应力能否直接应用正应力能否直接应用.pzFa yI第18页/共80页第十九页，共80页。6-2 截面的几何截面的几何(j h)性质性质惯性矩等、平行轴定理惯性矩等、平行轴定理 分别称为截面(jimin)图形对于z轴和y 轴的惯性矩。惯性矩的数值(shz)恒为正，常用单位为m4 。 AyAzAzIAyIdd22第19页/共80页第二十页，共80页。AIAd2p称为(chn wi)截面图形对O点

10、的极惯性矩。222yz zyAAAAIIAyAzAyzAIdddd22222p 即截面图形(txng)对任意一对正交坐标轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。第20页/共80页第二十一页，共80页。AyzAyzId称为截面图形(txng)对于z轴和y 轴的惯性积。惯性积的数值可能(knng)为正，可能(knng)为负，也可能(knng)为零， 常用单位为m4 。 若y , z 两坐标轴中有一个为截面的对称轴,则截面对y , z轴的惯性积一定等于零。第21页/共80页第二十二页，共80页。22zzyyAiIAiIiy 和iz分别称为(chn wi)截面图形对于y轴和 z轴的惯性半径,单位

11、为m 。AIiyyAIizz 第22页/共80页第二十三页，共80页。 例：例： 计算计算(j sun)(j sun)矩形截面对其对称轴矩形截面对其对称轴y y轴和轴和z z轴的惯性矩。轴的惯性矩。解：先计算截面(jimin)对z轴的惯性矩。取平行于z轴的狭长条为微面积，即: ybAdd12dd32/2/22bhybyAyIhhAz 同理，计算对y轴的惯性矩。取平行于z轴的狭长(xichng)条为微面积，即: zhAdd12dd32/2/22hbzhzAzIbbAy第23页/共80页第二十四页，共80页。直径为直径为D的圆截面对过其圆心的正交坐标轴的圆截面对过其圆心的正交坐标轴z和和y的惯性的

12、惯性(gunxng)矩和矩和惯性惯性(gunxng)半径半径464/ 4yzyzIIdiiD外径为外径为D，内径为，内径为d的圆环形截面对过的圆环形截面对过(dugu)其圆心的正交坐标轴其圆心的正交坐标轴z和和y的惯性矩和惯性半径的惯性矩和惯性半径442(1)64(1),/4yzyzIIDDiid D第24页/共80页第二十五页，共80页。C点为截面(jimin)图形的形心， yC轴和zC轴为一对(y du)通过形心 的形心轴,图形对形心轴的惯性矩、惯性积分别记为： ACyAzICd2ACzAyICd2ACCzyAzyICCd第25页/共80页第二十六页，共80页。截面图形对于(duy)y轴和

13、z轴的惯性矩和惯性积为:AyAzId22dzAIyAAyzAyzId azzCbyyC2222d() dd2ddyCAACCAAAIzAzbAzAbzAbA2222d() dd2ddzCAACCAAAIyAyaAyAayAaAd()dddddyzCCAACCCCAAAAIyz AyazbAy zAbyAazAabA第26页/共80页第二十七页，共80页。22CCC Cyyzzyzy zIIb AIIa AIIabAACAz dACAy d分别为截面图形对形心轴yC轴和zC轴的静矩，其值应等于零。可得: 和即为惯性(gunxng)矩和惯性(gunxng)积的平行移轴公式。 第27页/共80页第二

14、十八页，共80页。 例：例： 计算计算(j sun)T(j sun)T型截面对其形心轴型截面对其形心轴zCzC轴的惯性矩轴的惯性矩IZCIZC。解：先截面看成由矩形(jxng)1和矩形(jxng)2组成，选Z轴为参考坐标轴,首先确定截面的形心坐标C(0,yC)11221232(0.14 0.02 0.080.1 0.02 0) m(0.14 0.020.1 0.02) m0.0467 mCCCA yA yyAA应用平行移轴公式分别(fnbi)计算出矩形1、2对zC轴的惯性矩第28页/共80页第二十九页，共80页。 1121134246410.02 0.14 m0.03330.02 0.14 m

15、127.69 10 mCCzzIIa A 2222234246410.1 0.02 m0.04670.1 0.02 m124.43 10 mCCzzIIa A 126464647.69 10 m4.43 10 m12.12 10 mCCCzzzIII整个(zhngg)图形对zC轴的惯性矩IZC 第29页/共80页第三十页，共80页。例：T形截面铸铁外伸梁的载荷(zi h)和尺寸如图，试求梁内的最大拉应力和压应力。解：（1）作弯矩图截面(jimin)B有最大负弯矩，MB=-5kNm在x=0.87m处截面(jimin)D剪力为零， 弯矩有极值，其值为MD=3.8kNm（2）确定中性轴位置设截面形心

16、到顶边的距离为设截面形心到顶边的距离为yc，取顶边轴，取顶边轴z1为参考轴为参考轴80 20 1020 120 805280 2020 120iiciA yymmA第30页/共80页第三十一页，共80页。(3)求最大正应力求最大正应力截面截面B：上边缘有最大拉应力，下边缘有最大压应力：上边缘有最大拉应力，下边缘有最大压应力截面截面D：正弯矩，可能发生比截面：正弯矩，可能发生比截面B还要大的拉应力还要大的拉应力33,max633,max6(5 10 ) (52 10 )347.64 10(5 10 ) (14052) 10 57.67.64 10tcMPaMPa33,max6(3.8 10 )

17、(14052) 10 43.87.64 10tMPa（3）计算惯性矩）计算惯性矩 平行轴定理式平行轴定理式3322446420 2020 12080 20 (52 10)121220 120 (8052)764 107.64 10zImmm第31页/共80页第三十二页，共80页。例：管道托架如图，其1-1截面尺寸如图所示，FP=10KN,求:(1)1-1截面上的最大弯曲正应力；（2）若托架中间部分未挖去，试计算1-1截面上的最大弯曲正应力。解：（1）计算挖空后的惯性矩与最大正应力1-1截面上的弯矩：惯性矩：最大正应力：33354160200140 8020 803.78 10121212zIm

18、maxmax20.1zzMyMPaI37.6 10zMNm第32页/共80页第三十三页，共80页。（2）计算未挖空时的惯性矩与最大正应力惯性矩：最大正应力：3354160 200140 803.86 101212zImmaxmax19.7zzM yMPaI在某些工程中为了减小梁的自重，可以再量的轴线附近(fjn)打一些孔，而对梁的强度影响却很小。第33页/共80页第三十四页，共80页。6-3 弯曲弯曲(wnq)切应力切应力 在横力弯曲(wnq)中，梁横截面上不仅存在弯曲(wnq)正应力，而且还存在弯曲(wnq)切应力。 在此仅介绍(jisho)工程中常见的集中截面梁如矩形、工字形、圆形、圆环在

19、对称弯曲时的最大弯曲切应力。第34页/共80页第三十五页，共80页。1、矩形(jxng)截面梁 如图示为受横力弯曲矩形截面梁的某一横截面，其上的切应力为FS。在截面周围(zhuwi)各点处，切应力只能与周边平行（切应力互等定理）第35页/共80页第三十六页，共80页。 假设（1）横截面上各点切应力(yngl)的方向都平行于剪力FS。（2）横截面切应力(yngl)沿截面宽度均匀分布。第36页/共80页第三十七页，共80页。 假设（1）横截面(jimin)上各点切应力的方向都平行于剪力FS.（2）横截面(jimin)切应力沿截面(jimin)宽度均匀分布。*SzzF SbI设横截面上y处的切应力为

20、 ，则( )y第37页/共80页第三十八页，共80页。*22( )34( )(1)2SzSzF SyFyybIbhh切应力沿截面(jimin)高度呈抛物线分布。在截面(jimin)的上、下边缘处（y=h/2），切应力为零。在中性轴处（y=0），切应力为最大max3322SSFFbhA第38页/共80页第三十九页，共80页。2、工字形截面(jimin)梁工字形截面由翼缘和腹板两部分(b fen)组成。如计算(j sun)腹板上距中性轴为y处的弯曲切应力，*2222( )( ) ()(4)8SzSzzF SyFyB Hhb hybIbI第39页/共80页第四十页，共80页。可见，腹板上的切应力沿腹

21、板高度(god)呈抛物线分布。在中心(zhngxn)轴处，切应力22max8SzFBHBhbI在腹板与翼缘的交界处（y=h/2）,切应力(yngl)*22maxmax()8SzSzzF SFBHhBhbIbI第40页/共80页第四十一页，共80页。由于腹板中的最大及最小剪应力相差不大，故可认为：腹板上的切应力均匀分布。又由于腹板所承担的剪力约为整个截面剪力的95%-97%（翼缘上的切应力在此省略(shngl)），故工程上常用近似公式求工字形截面腹板上的弯曲切应力：SFbh第41页/共80页第四十二页，共80页。6-4 梁的强度梁的强度(qingd)条件条件一、弯曲(wnq)正应力的强度条件正应

22、力分布特征：最大弯曲(wnq)正应力发生在危险截面的上下边缘处，该处各点的切应力一般为零或很小而忽略不计，因此可看成处于单向受力状态。强度条件：梁内拉、压最大应力值均不超过各自的许用应力，即maxmaxttcc对于截面对称于中性轴的等值梁，当 ,强度条件可写成：tcmaxmax zMW第42页/共80页第四十三页，共80页。二、弯曲切应力的强度(qingd)条件最大弯曲切应力通常发生(fshng)在中性轴上各点处，而该处弯曲正应力为零。因此该处为纯剪切应力状态，相应的强度条件为*maxmaxmaxmax SzzF SI或对于(duy)等截面直梁 *maxmaxmax SzzFSI第43页/共8

23、0页第四十四页，共80页。三、梁的弯曲强度(qingd)计算 对细长非薄壁截面梁，通常只按弯曲正应力强度(qingd)条件进行分析； 对薄壁截面梁或弯矩较小而建立较大的梁，则弯曲正应力与切应力强度(qingd)条件均要考虑； 对在某些薄壁梁的某些点处，如工字形截面的腹板与翼缘的交界处，弯曲正应力与切应力都较大，此问题在后面章节讨论。梁强度条件(tiojin)的三方面计算 1.校核强度 2.选择截面尺寸 3.确定许用载荷第44页/共80页第四十五页，共80页。 例： 钢制等截面(jimin)简支梁受均布载荷q作用，梁的横截面(jimin)为h=2b的矩形,求梁的截面(jimin)尺寸。 已知材料

24、的许用应力已知材料的许用应力 120 MPa2 ml 50 kN/mq ， 解：作弯矩图 危险截面在梁的中点，其值为 82maxqlM第45页/共80页第四十六页，共80页。根据强度计算公式对梁进行正应力(yngl)强度计算： 3222max16368bqlbhqlWxMz 23233633 (50 10 N/m) (2 m)67.9 mm1616 (120 10 Pa)qlbmm1362 bh第46页/共80页第四十七页，共80页。例：例： 空心空心(kng xn)矩形截面梁的横截面尺寸矩形截面梁的横截面尺寸H=120mm， B=60mm，h=80mm，b=30mm，若，若=120MPa，

25、试校核梁的强度。试校核梁的强度。解：解：1）作）作FS、M图。图。 固定固定(gdng)端弯矩最大，端弯矩最大，2) 抗弯截面模量抗弯截面模量W3）强度）强度(qingd)校核校核: 强度强度(qingd)足足够够 L=1.2mOA2max/ 214.4.MqLkN m2343( /) /61.227 10ZWHBb h Hm3maxmax414.4 10117 1201.227 10ZMMPaMPaW第47页/共80页第四十八页，共80页。80y1y22020120z 例：例： T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的抗铸铁的抗拉许用应力拉许用应力(

26、yngl)为为 t = 30MPa ,抗压许用应力抗压许用应力(yngl)为为c =160MPa 。已知截面对形心轴。已知截面对形心轴z的惯性矩为的惯性矩为 Iz =763cm4 , y1 =52mm,校核梁的强度。校核梁的强度。F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m第48页/共80页第四十九页，共80页。F2=4kNRARBF1=9kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN最大正弯矩在截面C上最大负弯矩在截面B上mkN5 . 2 MCmkN4 MB B截面截面(jimin)MPa2 .271max tzBtIyM MPa2 .462max czBcIyM C截面截面(jimin)MP

27、a8 .282max tzCtIyM 80y1y22020120z解:kN52.RA kN510.RB 第49页/共80页第五十页，共80页。例：对于例例：对于例6.1中中T型截面铸铁外伸梁，若已知铸铁的许用拉应力型截面铸铁外伸梁，若已知铸铁的许用拉应力(yngl)t=30MPa，许用拉应力，许用拉应力(yngl)c=90MPa ，求：，求：（1）试校核梁的强度；）试校核梁的强度；（2）若截面尺寸不变，试确定许可载荷集度）若截面尺寸不变，试确定许可载荷集度q；（3）若载荷不变，）若载荷不变，T型截面宽度不变，板厚不变，试设计腹板截面的高度。型截面宽度不变，板厚不变，试设计腹板截面的高度。解解：

28、(1)校核强度校核强度由例由例6.1的计算结果可知：最大压应力发生在截面的计算结果可知：最大压应力发生在截面B的下边缘，的下边缘，有有最大拉应力发生在截面最大拉应力发生在截面D的下边缘，有的下边缘，有可见，最大压应力满足强度条件，而最大拉应力不满足强可见，最大压应力满足强度条件，而最大拉应力不满足强度条件，需要修改设计。度条件，需要修改设计。,max57.690ccMPaMPa,max43.830ttMPaMPa第50页/共80页第五十一页，共80页。（2）确定许可载荷）确定许可载荷q支座支座A处的约束力处的约束力截面截面D处的弯矩处的弯矩若截面尺寸不变，由截面若截面尺寸不变，由截面D下边缘的

29、最大拉应力的强度条件，下边缘的最大拉应力的强度条件，有有可得许可载荷集度为可得许可载荷集度为0,0.873BAMFq20.8730.873(0.873)0.3812DqMqq362,max60.381(14052) 10 30 10/7.64 10ttqN m6633(30 10 ) (7.64 10 ) 6.8 10/6.8/(88 10 ) 0.381qN mkN m第51页/共80页第五十二页，共80页。(3)设计腹板高度设计腹板高度若外载荷集度不变，仍为若外载荷集度不变，仍为q=10kN/m。由截面。由截面D下边缘的最大拉下边缘的最大拉应力强度条件，有应力强度条件，有给定一个腹板高度，

30、可求出形心位置给定一个腹板高度，可求出形心位置yc和惯性矩和惯性矩Iz ，由截面高度，由截面高度减减yc可得可得ymax,从而求出上述比值。从而求出上述比值。经过试算经过试算:当当h=151mm时，时，362max,max(3.81 10 )30 10/ttzyN mI63max330 1078741/3.81 10zymI333max6105.1 1078201/78741/13.44 10zymmI第52页/共80页第五十三页，共80页。例：一吊车大梁，为例：一吊车大梁，为20a号工字钢并在中段上、下用两块钢板号工字钢并在中段上、下用两块钢板加强加强(jiqing)而成。若工字钢与钢板的许

31、用应力相同，而成。若工字钢与钢板的许用应力相同，=165MPa,=100MPa，起吊重量，起吊重量F=50kN，试校核梁的强，试校核梁的强度。度。解解：(1) 校核正应力强度校核正应力强度第一种情况：第一种情况：当载荷当载荷F位于梁跨度中点时，位于梁跨度中点时， 梁有最大弯矩梁有最大弯矩因为梁中段用钢板加强，故横截面的惯性矩应为工字钢与加强因为梁中段用钢板加强，故横截面的惯性矩应为工字钢与加强板截面的惯性矩之和。板截面的惯性矩之和。20a号工字钢的惯性矩为号工字钢的惯性矩为2370cm4 ，故加强后截面的惯性矩为，故加强后截面的惯性矩为最大正应力最大正应力max62.5MkN m3341237

32、012 (2220 )501812zIcm3maxmaxmax8(62.5 10 ) 0.11137 1655018 10zMyMPaMPaI第53页/共80页第五十四页，共80页。另一种情况：载荷移至截面突变处另一种情况：载荷移至截面突变处梁的最大弯矩梁的最大弯矩:查表得：查表得：梁内的最大正应力梁内的最大正应力max40MkNm3237zWcm3maxmax640 10169 165237 10zMMPaMPaW梁跨中截面最大弯曲正应力满足强度条件，而截面突梁跨中截面最大弯曲正应力满足强度条件，而截面突变处最大弯曲正应力大于许用正应力，但由于最大正变处最大弯曲正应力大于许用正应力，但由于最

33、大正应力超出许用正应力的数值应力超出许用正应力的数值(shz)相对许用正应力的相对许用正应力的百分比没超出百分比没超出5%，仍可认为该梁满足正应力强度条件。，仍可认为该梁满足正应力强度条件。第54页/共80页第五十五页，共80页。（2）校核切应力强度）校核切应力强度当荷载很靠近支座当荷载很靠近支座A时，梁内的剪力最大。时，梁内的剪力最大。支反力支反力FA约等于约等于F，由截面法求得：，由截面法求得：查表得：查表得： 腹板厚度腹板厚度d=7mm,max50SAFFFkN,max17.2zzIScm3,max,maxmax3250 1041.5 100(7 10 ) (17.2 10 )SzzFS

34、MPaMPadI综上所述，载荷综上所述，载荷(zi h)在移动过程中，梁内的最大正应力为在移动过程中，梁内的最大正应力为169MPa，最大切应力为，最大切应力为41.5MPa，分别满足正应力和切应力强度，分别满足正应力和切应力强度条件。条件。第55页/共80页第五十六页，共80页。 一、组合变形一、组合变形 1、构件在荷载作用、构件在荷载作用(zuyng)下发生两种或两种以上的基本变形下发生两种或两种以上的基本变形, 则构件的变形称为组合变形。则构件的变形称为组合变形。 2 2、解决、解决(jiju)(jiju)组合变形问题的基本方法叠加法组合变形问题的基本方法叠加法叠加原理叠加原理(yunl

35、)(yunl)的成立要求：内力，应力，应变，变形的成立要求：内力，应力，应变，变形等与等与外力之间成线性关系。外力之间成线性关系。6-5 组合变形、对称弯曲组合变形、对称弯曲第56页/共80页第五十七页，共80页。3、工程、工程(gngchng)实例实例第57页/共80页第五十八页，共80页。y檩条 檩条(ln tio)a檩条 屋架屋架第58页/共80页第五十九页，共80页。 具有双对称截面的梁，它在任何一个纵向对称面内弯曲(wnq)时均为平面弯曲(wnq)。 故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向外力作用时，在线性弹性且小变形情况(qngkung)下，可以分别按平面弯曲计算每一弯

36、曲情况(qngkung)下横截面上的应力和位移，然后叠加。二、两互垂平面内的对称(duchn)弯曲第59页/共80页第六十页，共80页。zIMyyyIMzz 1.1.外力外力(wil)(wil)分解：分解：cosFFzsinFFy2.2.内力内力(nil)(nil)计算：计算：)(cosxlFMy)(sinxlFMz3. 3. 应力应力(yngl)(yngl)计算：计算：第60页/共80页第六十一页，共80页。利用叠加原理利用叠加原理(yunl)(yunl)得得x x 截面上截面上C C 点处的正应力为点处的正应力为 上述分析计算中，式中各物理量均可取上述分析计算中，式中各物理量均可取(kq)

37、(kq)绝对值，而各项应力绝对值，而各项应力的正、负号可按拉为正，压为负直观地判断。的正、负号可按拉为正，压为负直观地判断。()yzzy ymmxyz+-(12.1)yyzzIzMIyM第61页/共80页第六十二页，共80页。4 4强度强度(qingd)(qingd)计算计算图示矩形截面梁的危险截面显然在固定端截面处，而危险图示矩形截面梁的危险截面显然在固定端截面处，而危险点则在角点点则在角点 和和 处。危险点的最大应力与强度条件为处。危险点的最大应力与强度条件为1D2D maxyzyzMMWW第62页/共80页第六十三页，共80页。yzyzMMzyII 000yyzzIzMIyM对于有外凸角

38、点的截面，例如矩形截面、工字形截面等，最大应力对于有外凸角点的截面，例如矩形截面、工字形截面等，最大应力一定发生在角点处。而对于没有外凸角点的截面，需要先求截面上一定发生在角点处。而对于没有外凸角点的截面，需要先求截面上中性轴的位置。根据中性轴定义，中性轴上各点处的正应力均为零，中性轴的位置。根据中性轴定义，中性轴上各点处的正应力均为零，令令 代表代表(dibio)(dibio)中性轴上任意点的坐标令中性轴上任意点的坐标令 ，即得中，即得中性轴方程为性轴方程为000,zy第63页/共80页第六十四页，共80页。中性中性(zhngxng)(zhngxng)轴与轴与y y 轴轴的夹角的夹角q q

39、为为上式表示上式表示(biosh)(biosh)中性轴为通过截面形心的直线。中性轴为通过截面形心的直线。 tantan00zyyzzyIIMMIIyz式中，式中， 为合弯矩与轴的夹角。为合弯矩与轴的夹角。 yzII 斜弯曲斜弯曲(wnq)(wnq)zyII 平面弯曲平面弯曲第64页/共80页第六十五页，共80页。中性轴将横截面分为两部分，一部分受拉应力，中性轴将横截面分为两部分，一部分受拉应力，一部分受压应力。作平行于中性轴的两直线，一部分受压应力。作平行于中性轴的两直线，分别与横截面的周边相切，这两个切点分别与横截面的周边相切，这两个切点D1D1，D2D2就是就是(jish)(jish)该截

40、面上拉应力和压应力为最大该截面上拉应力和压应力为最大的点。将危险点的坐标代入（的点。将危险点的坐标代入（12.112.1）式，即可）式，即可求得横截面上的最大拉应力和最大压应力。危求得横截面上的最大拉应力和最大压应力。危险点的应力状态为单向应力状态或近似当作单险点的应力状态为单向应力状态或近似当作单向应力状态，故其强度条件为向应力状态，故其强度条件为maxzzyyIyMIzM（12.3） 第65页/共80页第六十六页，共80页。例：例： 图示矩形截面木梁荷载作用线如图所示。已知图示矩形截面木梁荷载作用线如图所示。已知q=0.5 kN/mq=0.5 kN/m，l=4 ml=4 m，=30=30，

41、容许应力，容许应力 =10 MPa=10 MPa，试，试校核校核(xio h)(xio h)该梁的强度。该梁的强度。q80120zyABlqmkNqlM.1812maxmNMlqMz.866cos)cos(81max2maxmNMlqMy.500sin)sin(81max2max解：解：第66页/共80页第六十七页，共80页。ABlq80120zyqmkNqlM.1812maxmNMlqMz.866cos)cos(81max2maxmNMlqMy.500sin)sin(81max2max MPaWMWMyyzz42. 88126500128686622maxmaxmax此梁安全此梁安全(nqu

42、n)。第67页/共80页第六十八页，共80页。第68页/共80页第六十九页，共80页。sin(20 kN)sin155.2 kNzFFcos(20 kN)cos1519.3 kNyFF(19.3 kN) (4 m)19.3 kN m44yzFlM(5.2 kN) (4 m)5.2 kN m44zyF lM解：解： 第69页/共80页第七十页，共80页。 yyzzWMWMmax对工字钢，对工字钢，yzWW大约在大约在6 61010之间，现设为之间，现设为8 8，则由上式得，则由上式得6max170 10 Pa/8yzzzMMWW333cm 360m 1036. 0zW cm 3 .48 cm 40233yzWW解出解出 查查25a工字钢工字钢 验算验算(yn sun)(yn sun)：336max636319.3 10 N m5.2 10 N m156 10 Pa=156 MPa402 10 m48.3 10 m第70页/共80页第七十一页，共80页。max故可选故可选25a工字钢。工字钢。 如果如果 ，即平面弯曲时，读者可以自己计算得出，即平面弯曲时，读者可以自己计算得出 , ,可见斜弯曲时最大应力