数学建模 第一章 初等模型

1、第一章第一章 初等模型初等模型 在这一章中在这一章中, 我们介绍几个初等模型及相应的求解方法我们介绍几个初等模型及相应的求解方法. 所谓初等模型所谓初等模型, 指的是该模型并不涉及高深的数学问题指的是该模型并不涉及高深的数学问题,用常用的数学工具即可求解此类问题用常用的数学工具即可求解此类问题.一、微积分方法寻找最优点一、微积分方法寻找最优点问题一问题一 铁路线上铁路线上 段的距离为段的距离为 工厂工厂 距距 处处AB100km,CA 并且并且 （见下图）（见下图）20km,.ACAB为了运输需要为了运输需要, 要在要在上选定一点上选定一点 向工厂修筑一条公路向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公

2、里已知铁路每公里AB,D货运的运费与公路每公里货运的运费之比为货运的运费与公路每公里货运的运费之比为3:5,应选在何处应选在何处?问问 点点D建模建模 设设km,ADxABCDx20km则则100,DBx2400.CDx再设铁路上货运的运费为再设铁路上货运的运费为3 /km,k公路上货运的运费为公路上货运的运费为 5 /km,k从从 到到 的总运费为的总运费为BC, y则则 53yk CDk DB25 4003 100 0100 ,kxxx 于是问题就归结为求函数在闭区间上的最小值点于是问题就归结为求函数在闭区间上的最小值点. 解模解模 用微积分方法用微积分方法, 可先求可先求 对对 的导数的

3、导数: yx253 ,400 xykx令令015.yx又又 0400 ,15380 ,yk yk1100500 1300 ,25ykk结论结论: 当当15kmAD 时总运费最小时总运费最小. 问题二问题二 有一艘驳船有一艘驳船, 宽度为宽度为5米米, 欲驶过一个河渠欲驶过一个河渠. 该河该河有一个直角弯道有一个直角弯道, 河渠两边的直角弯道各宽河渠两边的直角弯道各宽10米和米和12米米. 试试问问, 要驶过这个河渠要驶过这个河渠, 驳船的长度不能超过多少米驳船的长度不能超过多少米? 假设假设不考虑河床的深度不考虑河床的深度, 整个驳船在河渠中行使都不会搁浅整个驳船在河渠中行使都不会搁浅;驳船在

4、转弯过程中可以最大限驳船在转弯过程中可以最大限度地接近河岸度地接近河岸;驳船是一个标准的长方体驳船是一个标准的长方体, 在在俯视平面上记为长方形俯视平面上记为长方形如图所示如图所示 ,ABCD船体与河床一边的夹角为船体与河床一边的夹角为 ,0.2 ， 建模建模 由假设由假设, 记驳船的长度为记驳船的长度为, l则由题意知则由题意知:.lCDCEED又又10,EFBH由相似三角形关系由相似三角形关系, 得得sin ,EFED及及5cos .BH所以所以/sin(105cos )/sin ,EDEF同理得同理得(125sin )/cos .CE由此得由此得105cos125sin( ),0,.si

5、ncos2lf上式表示了当上式表示了当 从从 变到变到 时河床可容忍驳船的最大长度时河床可容忍驳船的最大长度.02若驳船能转过河床若驳船能转过河床, 则其长度不能超过上式中所有则其长度不能超过上式中所有 的最小的最小者者. 注意到函数注意到函数 是个可微函数是个可微函数, 故该问题转化为求解故该问题转化为求解 f 0f的问题的问题. 解模解模 求导后得求导后得22510cos12sin5( ).sincosf该函数的零点并不容易求得该函数的零点并不容易求得. 零点零点.我们用二分法求出该函数的我们用二分法求出该函数的 怎么办？怎么办？ 因因(0.1)500,(1.0)16.89,ff 所以存在

6、所以存在*0.1,1.0 ,使得使得*()0.f 经计算后有下表经计算后有下表2.27530.7469-0.70510.71882.27530.7750-0.70510.71882.27530.7750-3.79420.66250.27530.7750-11.1530.550016.891.0000-11.1530.550016.891.0000-5000.1000点点点点 f f这样这样, 通过反复计算的方法通过反复计算的方法, 我们可以知道上述问题的近似我们可以知道上述问题的近似 解为解为0.730.1060f ，*0.73,此时此时进一步有进一步有0.73200.0001.f 而此时而此

7、时*()21f（米）（米）.下面是函数及导函数的大致图形下面是函数及导函数的大致图形.导函数曲线导函数曲线函数曲线函数曲线 分析分析 从导函数曲线图中可以看到从导函数曲线图中可以看到, 导函数的零点是唯一的导函数的零点是唯一的,因而问题有唯一的极值因而问题有唯一的极值. 再从函数曲线图中看到再从函数曲线图中看到, 该曲线该曲线是个是个“单谷单谷”曲线曲线, 因而该点即为我们所要求的极小点因而该点即为我们所要求的极小点. 直观上直观上, 该点应该在区间该点应该在区间02，中点的附近中点的附近, 而而0.78375.4因而该结果和猜测相差不大因而该结果和猜测相差不大. 模型评价模型评价 我们用近似

8、求解的方法代替精确求解的方法我们用近似求解的方法代替精确求解的方法, 从而在计算从而在计算过程中还会带来一定的误差过程中还会带来一定的误差. 因此因此, 最终的结果我们是保留最终的结果我们是保留了两位有效数字了两位有效数字, 当然从从实用的角度看当然从从实用的角度看, 这也足够了这也足够了.问题三问题三 光的折射定律光的折射定律 设在设在 轴的上下两侧有两种不同轴的上下两侧有两种不同x的介质甲和乙的介质甲和乙, 光在介质甲和介质乙的传播速度分别是光在介质甲和介质乙的传播速度分别是1v2.v和和 又设点又设点 在介质甲内在介质甲内, 点点 在介质乙内在介质乙内, 要使光线要使光线AB从从 传播到

9、传播到 耗时最少耗时最少, 问光线应取怎样的路径？问光线应取怎样的路径？ AB 假设假设 如图所示如图所示点点 到到,A Bx轴的距离分别是轴的距离分别是 12,h h MN的长的长度为度为 , l MP的长度为的长度为. x 建模建模 由于在同一介质中由于在同一介质中, 光线的最速路径显然为直线光线的最速路径显然为直线, 因此因此光线从光线从 到到 的传播路径必为折线的传播路径必为折线 其所需的总时其所需的总时AB,APM间是间是 2222121211( )() ,0, .t xhxhlxxlvv 解模解模 下面来确定下面来确定 满足什么条件时满足什么条件时, 取得最小值取得最小值. 先求先

10、求x t x t x的导数的导数:2222121211( ), ()xlxt xvvhxhlx由于由于(0)0,( )0.tt l且且221233222212221211( )0,()() hhtxvvhxhlx0, ,xl数数 的最小值点的最小值点. t x由此可知由此可知 在区间在区间 有唯一的零点有唯一的零点 且该点为函且该点为函 tx0,l0,x 由由 得得 0,tx00222212102011, ()xlxvvhxhlx记记0022221020sin,sin()xlxhxhlx则有则有12sinsin,vv其中其中 分别表示图中光线的入射角和反射角分别表示图中光线的入射角和反射角.

11、此为光学此为光学, 中著名的中著名的折射定律折射定律. 结论结论 物理学通过实验发现了折射定律，而数学（特别是通过物理学通过实验发现了折射定律，而数学（特别是通过数学模型）则揭示了隐藏在这一规律后面的数量关系数学模型）则揭示了隐藏在这一规律后面的数量关系. 应用应用 给出了一个一般的折射定律公式给出了一个一般的折射定律公式. 我们发现公式中有我们发现公式中有4个参数个参数:12,.v v 而对于一个具体问题而对于一个具体问题, 这些参数如何这些参数如何确定也是数学建模需要关心的问题确定也是数学建模需要关心的问题. 在本题中在本题中 这两个这两个, 参数是容易通过物理实验确定参数是容易通过物理实

12、验确定, 这样我们可以通过公式得这样我们可以通过公式得到光线通过不同介质的速度比到光线通过不同介质的速度比. 而速度与材料的光导性质而速度与材料的光导性质有关有关. 如果我们将一种材料作为参照物如果我们将一种材料作为参照物, 就可以找出其它就可以找出其它材料的光导性质参数材料的光导性质参数.问题四问题四一高射炮向空中射击（不计空气阻力）一高射炮向空中射击（不计空气阻力）, 建立平建立平面直角坐标系面直角坐标系, 若原点是高射炮的发射点若原点是高射炮的发射点. 试建立数学模试建立数学模型说明型说明:此炮弹能发射到的最远距离是多少？此时发射斜率为何此炮弹能发射到的最远距离是多少？此时发射斜率为何值

13、？值？此炮弹发射后击中此炮弹发射后击中200米远处的墙壁的最大高度是多少米远处的墙壁的最大高度是多少? 模型假定模型假定1.炮弹初速度为炮弹初速度为 炮弹发射角为炮弹发射角为 0,V;2.忽略空气阻力忽略空气阻力. 建模建模 炮弹的速度可分解成水平和垂直两个分速度炮弹的速度可分解成水平和垂直两个分速度, 由假定由假定2,水平方向的的分速度由于没有阻力水平方向的的分速度由于没有阻力, 所以是匀速运动所以是匀速运动, 而而垂直方向的分速度有地球引力垂直方向的分速度有地球引力, 以重力加速度以重力加速度 减速减速. 即即:g020cos ,1sin.2xyVV tVV tgt 解模解模 在上式中消去

14、在上式中消去 得到得到, t22(1),ykxl kx这里这里 20tan,.2gklV此即为问题所对应的数学模此即为问题所对应的数学模型型. 由此模型可解决这两个问题由此模型可解决这两个问题. 炮弹发射后落地时纵坐标炮弹发射后落地时纵坐标 0,y 即即22(1),(0),kxl kxx2.(1)kxl k上式中求上式中求 对对 的导数的导数, 并令其为零并令其为零, 则有则有 xk222d1101.d(1)xkkkl k容易看到容易看到:1k 为函数的极大值点为函数的极大值点, 即最佳角度满足即最佳角度满足tan1,k从而有从而有.4由于炮弹击中由于炮弹击中 米外的墙壁米外的墙壁, 即即 2

15、00200,x 此时有此时有22200(1) 200 ,ykl k要获得最大高度要获得最大高度, 仍然是一个极值问题仍然是一个极值问题, 故上式对故上式对 求导求导,k并令其为零并令其为零, 则有则有d20080000dylkk有有1.400kl注意到注意到221400d80000,dklylk 此说明当此说明当1400kl时时, 取最大值取最大值, 相应的最大高度为相应的最大高度为y1400004yll米米.这里这里20.2glV二、最小二乘法与数据拟合二、最小二乘法与数据拟合 1.数据拟合的意义数据拟合的意义 给定平面上给定平面上 个数据点个数据点n,iix y我们将寻找曲线我们将寻找曲线

16、 ,yf x使误差尽可能的小使误差尽可能的小. 即使即使 21niiif xy为最小为最小. 一个最为简单的情况是一个最为简单的情况是: 函数函数 yf x为线性函数为线性函数,即即.yaxb此时为此时为21() .niiiyaxb记记21,() ,niiiF a byaxb则问题转变为求则问题转变为求*,a b使使*21,min(),R .niiiF a byaxba b由多元函数的极值条件知由多元函数的极值条件知*,a b应满足方程应满足方程112()0,2()0,niiiiniiiFyaxb xaFyaxbb 容易得到的解为容易得到的解为*11122111*11,1.nnniiiiiii

17、nnniiiiinniiiinx yxyanxxabyxnn 该方法就称为该方法就称为最小二乘法最小二乘法. 最小二乘法的几何意义最小二乘法的几何意义xyOyaxb 进一步地进一步地, 若所求曲线为以多项式时若所求曲线为以多项式时, 则也有相应的方则也有相应的方程程. 曲线拟合关系中的方程常称为曲线拟合关系中的方程常称为法式法式方程方程. 利用软件利用软件MatLab，可以简单地得到拟合多项式中的各，可以简单地得到拟合多项式中的各项系数项系数. MatLab中曲线拟合命令是中曲线拟合命令是polyfit. 基本格式基本格式polyfit x,y,n . 这里的这里的 是多项式的次数是多项式的次

18、数.n例例 已知已知11个数据点，分别用个数据点，分别用2次及次及10次多项式进行拟合次多项式进行拟合.129.39.59.67.77.37.16.23.21.9-0.4y1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.10X解解 在在MatLab下完成下列操作下完成下列操作:程序如下程序如下图形如下图形如下:例例 求解下面的最小二乘问题求解下面的最小二乘问题60.061.061.864.665.666.467.168959080403020100 xy解解 由求解公式由求解公式, 在在MatLab下编制程序并进行求解下编制程序并进行求解, 得得0.0799,67.9593.ab 求

19、解程序为求解程序为 问题一问题一 汽车刹车距离汽车刹车距离 问题的提出问题的提出 美国的某些司机培训课程中有这样的规则美国的某些司机培训课程中有这样的规则: 正常驾驶条正常驾驶条件下件下, 车速每增加车速每增加10英里英里/小时小时, 后面与前面一辆车的距离后面与前面一辆车的距离应增加一个车身的距离应增加一个车身的距离. 又云又云: 实现这个规则的一种简便实现这个规则的一种简便方法是所谓方法是所谓“两秒准则两秒准则”: 即后车司机从前车经过某一标即后车司机从前车经过某一标志志开始默数开始默数2秒后到达同一标志秒后到达同一标志, 而不管车速如何而不管车速如何. 问题分析问题分析 制定这样的规则是

20、为了在后车急刹车情况下不致撞上前制定这样的规则是为了在后车急刹车情况下不致撞上前10 5280 2 12/3600352 inch , 所以所以, 行驶距离用公制来表示为行驶距离用公制来表示为:352 2.54894 cm .车车, 即要保持汽车的刹车距离即要保持汽车的刹车距离. 显然刹车距离与车速有关显然刹车距离与车速有关.先看汽车在先看汽车在10英里英里/小时（约小时（约16km/h）的车速下两秒钟内）的车速下两秒钟内汽车能行驶的距离汽车能行驶的距离:而这个距离远大于一个车身平均长度（而这个距离远大于一个车身平均长度（15英寸英寸=4.6m）. 注意到刹车距离是由反应距离和制动距离两部分构

21、成的注意到刹车距离是由反应距离和制动距离两部分构成的.反应距离由反应时间和车速决定的反应距离由反应时间和车速决定的, 反应时间取决于司机反应时间取决于司机所以所以“两秒准则两秒准则”与上述规则并不一致与上述规则并不一致. 为此为此, 我们需要对我们需要对刹车距离作仔细的分析刹车距离作仔细的分析.个人的状态和制动系统的灵敏性个人的状态和制动系统的灵敏性, 一般情况下一般情况下, 把它视为把它视为常数常数, 且在这段时间内车速为常数且在这段时间内车速为常数. 制动距离与制动器作用力、车速、车重及道路、气候制动距离与制动器作用力、车速、车重及道路、气候等因素有关等因素有关. 设计制动器的一个合理原则

22、是设计制动器的一个合理原则是: 最大制动力最大制动力与车的质量成正比与车的质量成正比, 使汽车的减速度基本上是常数使汽车的减速度基本上是常数. 基于基于以上分析，我们可以做这样的一些假设以上分析，我们可以做这样的一些假设. 模型假设模型假设1.刹车距离刹车距离 等于反应距离等于反应距离 与制动距离与制动距离 之和之和:d1d2d2.反应距离反应距离 与车速与车速 成正比成正比, 比例系数为反应时间比例系数为反应时间 ;1dv1t3.刹车时使用最大制动力刹车时使用最大制动力 所做的功等于汽车动能的改所做的功等于汽车动能的改,F F变变, 且且 与车的质量与车的质量 成正比成正比.Fm 建模建模

23、由假设由假设2，2d 再由假设再由假设3, 在力在力 作用下行驶距离作用下行驶距离 作的功作的功 使车速使车速F2Fd从从 变成变成 , 动能的变化为动能的变化为 即即v02/2,mv221.2Fdmv又又 由牛顿第二定律由牛顿第二定律,Fm,Fma22dkv11.dtv再由上式得再由上式得其中其中 由假设由假设1刹车距离为刹车距离为/2,ka21.dt vkv 为了将模型应用于实际，需要知道参数为了将模型应用于实际，需要知道参数 的值的值. 取取 1, k t1t的经验估计值的经验估计值 而而 用曲线拟合来得到用曲线拟合来得到:0.75,k车速车速实际刹车距离实际刹车距离计算刹车距离计算刹车

24、距离刹车时间刹车时间2042391.53073.576.61.840116126.22.1车速车速实际刹车距离实际刹车距离计算刹车距离计算刹车距离刹车时间刹车时间50173187.82.560248261.43.070343347.13.680464444.84.3 利用表中的数据及利用表中的数据及 得得 ，于是，于是10.75t 0.06k 上表中的第三列的数据是由式计算得到的上表中的第三列的数据是由式计算得到的. 下图给下图给20.750.06.dvv出了实际刹车距离与计算刹车距离的比较出了实际刹车距离与计算刹车距离的比较.010203040506070800501001502002503

25、00350400450500vD 模型评价模型评价 按照上述模型可以将所谓按照上述模型可以将所谓“2秒准则秒准则”修正为修正为“ 秒准秒准则则”,t即后车司机可以从前车经过某一标志开始默数即后车司机可以从前车经过某一标志开始默数 秒后到达秒后到达t同一标志同一标志, 由下表给出由下表给出:（单位（单位: 英里）英里）t t秒秒车速车速10-10210-40340-60460-80 问题二问题二 农作物产量与施肥量关系农作物产量与施肥量关系 某研究所为了研究氮（某研究所为了研究氮（N）, 磷（磷（P）, 钾（钾（K）三种肥）三种肥料对土豆和生菜的作用料对土豆和生菜的作用, 分别对每种作物都进行了

26、三种试分别对每种作物都进行了三种试验验. 试验中将每种肥料的施用量分为试验中将每种肥料的施用量分为10个水平个水平. 在考察其在考察其中一种肥料的施用量与产量的关系时中一种肥料的施用量与产量的关系时, 总是将另外两种肥总是将另外两种肥料的施用量固定在第料的施用量固定在第7个水平上个水平上. 实验数据如下表所示实验数据如下表所示, 其其中施肥量单位为公斤中施肥量单位为公斤/公顷公顷, 产量单位为吨产量单位为吨/公顷公顷, 试建立反试建立反映施肥量与产量关系的模型映施肥量与产量关系的模型, 并从应用价值和如何改进等并从应用价值和如何改进等方面作出评价方面作出评价.46.2265142.733423

27、0.7547142.7755840.3629440.8340443.8746542.1724543.4633638.4337241.2619643.1525937.7327940.0914739.4520238.4418641.049834.0313535.8214037.967332.2910134.869336.064925.726723.754732.472421.363418.98033.46015.180产量产量施肥量施肥量产量产量施肥量施肥量产量产量施肥量施肥量KPN土豆数据土豆数据19.4065124.5368514.1139220.1155822.0758716.1233615

28、.8446521.3448919.3428017.9737222.6439121.6322419.2027921.9429422.5916817.5618617.1019617.7511216.2414014.3314716.278416.899312.469814.565616.76479.484912.702815.7506.39011.020产量产量施肥量施肥量产量产量施肥量施肥量产量产量施肥量施肥量KPN生菜数据生菜数据 分析分析 我们希望建立农作物产量我们希望建立农作物产量 与施肥量之间的函数关系与施肥量之间的函数关系.W由于施用了由于施用了N、P、K三种肥料三种肥料, 若将若将N、

29、P、K既表示三种既表示三种肥料的名称肥料的名称, 同时又表示三种肥料的施用量同时又表示三种肥料的施用量, 则考虑建立则考虑建立三元函数三元函数(, ,).WF N P K 显然这是黑箱模型显然这是黑箱模型. 单凭目前的信息单凭目前的信息, 我们无法得知上我们无法得知上线性函数线性函数述函数究竟是哪一种形式述函数究竟是哪一种形式. 简单的方式简单的方式, 可以考虑取可以考虑取 为为FWaNbPcKd, , , a b c d是常数是常数或者取二次函数或者取二次函数22212345Wa Na Pa Ka NPa NK678910,a PKa Na P a Ka其中其中 是待定常数是待定常数.1,2

30、,10ia i 通过给出的数据通过给出的数据, 可由最小二乘法拟合可由最小二乘法拟合, 从而确定上述从而确定上述关系式中的待定系数关系式中的待定系数, 可得到农作物产量可得到农作物产量W与施肥量之间与施肥量之间的函数关系的函数关系. 但这样做有两个疑问但这样做有两个疑问: 随意假定的线性函数随意假定的线性函数关系表达式、或者二次函数表达式能否有效描述农作物关系表达式、或者二次函数表达式能否有效描述农作物产量与施肥量之间的关系？产量与施肥量之间的关系？ 首先考虑产量首先考虑产量W分别与三种肥料分别与三种肥料N、P、K的一元函数关的一元函数关系式系式:123(),( ),(),Wf NWfPWfK

31、然后分别确定独立的每种肥料的最佳施肥量然后分别确定独立的每种肥料的最佳施肥量, 最后通过分最后通过分析平衡析平衡, 得出使得农作物产量最高的三种肥料的综合最佳得出使得农作物产量最高的三种肥料的综合最佳施肥量施肥量. 下列是几种关系理论下列是几种关系理论 一、一、Nicklas Miller理论（抛物线型关系）理论（抛物线型关系）2012d(),.dwa hxwbb xb xx即：其中其中 是最高产量时的施肥量是最高产量时的施肥量.h 二、米采利希学说（指数型关系）二、米采利希学说（指数型关系）d()(1 e).dc xwc AwwAx即，其中其中 是某种肥料充足时的最高产量是某种肥料充足时的最

32、高产量, 由于由于A00 xw ，不施肥时产量为零不施肥时产量为零, 与实际情况不符与实际情况不符, 因为土壤中有天然因为土壤中有天然肥力肥力, 通常考虑天然肥力时通常考虑天然肥力时, 上述关系修正为上述关系修正为:(1 e).b c xwA 三、博伊德观点三、博伊德观点:（分段直线关系）（分段直线关系） 某些情况下某些情况下, 若将施肥水平分为若干组若将施肥水平分为若干组, 则各组对应的则各组对应的“产量施肥量产量施肥量”关系呈直线形式关系呈直线形式. 例如若将施肥水平分成例如若将施肥水平分成两组两组, 则有如下分段直线的关系则有如下分段直线的关系:0110112,0( ), cc xxxw

33、 xbb xxxx 建模建模 现在我们根据上述专业理论现在我们根据上述专业理论, 可设法将问题由可设法将问题由“黑箱模黑箱模型型”, 转化为转化为“灰箱模型灰箱模型”. 先通过散点图大致估计确定施先通过散点图大致估计确定施肥量与产量效应关系的函数来建立模型肥量与产量效应关系的函数来建立模型. 将六组实验数据画点图将六组实验数据画点图, 根据点图的形状确定生菜、土根据点图的形状确定生菜、土豆产量分别与氮肥、磷肥、钾肥的函数形式豆产量分别与氮肥、磷肥、钾肥的函数形式. 点图如下点图如下 :020040001020304050N(x)土豆020040001020304050P(x)土豆0200400

34、60001020304050K(x)土豆02004000510152025N(x)生菜02004006000510152025P(x)生菜02004006000510152025K(x)生菜 由上述点图的形状我们可以看到由上述点图的形状我们可以看到: 氮肥施用量对土豆、生菜产量的效应关系均为抛物线氮肥施用量对土豆、生菜产量的效应关系均为抛物线型关系型关系, 函数关系可设为函数关系可设为 2210122012( ),( );w xaa xa xw xbb xb x 磷肥施用量对土豆、生菜产量的效应关系均为分段直磷肥施用量对土豆、生菜产量的效应关系均为分段直直线型关系直线型关系, 函数关系可设为函

35、数关系可设为1211212,0( ),cc xxxw xcc xxxx1，1211212,0( ),dd xxxw xdd xxxx2，； 钾肥施用量对土豆产量的效应关系为指数型关系钾肥施用量对土豆产量的效应关系为指数型关系, 函函数关系可设为数关系可设为( )(1 e),b cxw xA1 钾肥施用量对生菜产量的效应关系是近似直线型钾肥施用量对生菜产量的效应关系是近似直线型, 函数函数关系可设为关系可设为:( ).w xabx2 解模解模 由最小二乘法确定上述施肥量与产量的函数关系式的系由最小二乘法确定上述施肥量与产量的函数关系式的系数数. 氮肥对土豆、生菜的函数关系氮肥对土豆、生菜的函数关

36、系: 求解求解102210121min() .iiiLwaa Na N解之得解之得01214.74,0.179,0.00034.aaa 即即2()14.740.1790.00034.w NNN1同理可得同理可得2()10.230.1010.00024.w NNN2 磷肥对土豆、生菜的函数关系磷肥对土豆、生菜的函数关系 32.0770.084 ,0100,( )39.130.0859 ,100342;PPw PPP16.6980.054 ,0200,( )20.1960.00472 ,200685.PPw PPP2 钾肥对土豆、生菜的函数关系钾肥对土豆、生菜的函数关系 0.601 0.001()

37、42.66 1 e,Kw K1()16.2720.00467 .w KK2 结果分析结果分析 模型结果分析与最佳施肥量的讨论模型结果分析与最佳施肥量的讨论, 我们可以得知我们可以得知 上述函数关系式反映了在一定条件下上述函数关系式反映了在一定条件下, 每种肥料的施每种肥料的施用量对农作物产量的效应关系用量对农作物产量的效应关系: 氮肥氮肥N的过量施用会造成减产（农学理论称为的过量施用会造成减产（农学理论称为“烧苗烧苗”） 磷肥磷肥P的施用量达到某一值后的施用量达到某一值后, 增加施肥量对作物产量增加施肥量对作物产量的影响作用不大的影响作用不大; 钾肥钾肥K的施用量的增加开始时对作物产量的影响较

38、明的施用量的增加开始时对作物产量的影响较明显显, 逐渐的影响趋于缓和而钾肥逐渐的影响趋于缓和而钾肥K对生菜产量的作用关系对生菜产量的作用关系几乎是一条水平直线几乎是一条水平直线, 这可能是生菜的生长对钾肥的需求这可能是生菜的生长对钾肥的需求量较小量较小, 但也可能是由于土壤中含有的天然钾肥已足够满但也可能是由于土壤中含有的天然钾肥已足够满足生菜生长的需求足生菜生长的需求. 应用应用 在我们得到的函数基础上在我们得到的函数基础上, 可以进行每种肥料最佳施用可以进行每种肥料最佳施用量的分析量的分析. 我们的讨论不是基于产量最高时的最佳施肥量我们的讨论不是基于产量最高时的最佳施肥量,表示农作农作物产

39、品单价表示农作农作物产品单价, 则肥料单价则效益则肥料单价则效益,而是使得经济效益最大的最佳施肥量而是使得经济效益最大的最佳施肥量. 如果以如果以 分别分别,wxTTwxLw Tx T 要使得效益最大要使得效益最大, 则有则有 d0.dLx又由于又由于 为常数为常数, 有有,xwTTd.dxwTwxT由此即可求出使得效益最佳的最佳施肥量由此即可求出使得效益最佳的最佳施肥量. x 如果确定了每种肥料在一定条件下的最佳施肥量如果确定了每种肥料在一定条件下的最佳施肥量, 综合平衡三种肥力交互作用对农作物产量的影响以综合平衡三种肥力交互作用对农作物产量的影响以及施肥量固定在第七个水平的操作原理及施肥量

40、固定在第七个水平的操作原理, 可确定可确定“既能达既能达,NP,K到高产到高产, 又不浪费肥料又不浪费肥料”的总体最佳施肥量的总体最佳施肥量.三、渡河问题三、渡河问题 过河问题是一个比较古老而又十分有趣的数学问题过河问题是一个比较古老而又十分有趣的数学问题, 并并且有很多描述且有很多描述. 这里仅仅是其中的一种描述这里仅仅是其中的一种描述. 问题问题 有三名商人各带一名随从要乘一条小船过河有三名商人各带一名随从要乘一条小船过河, 该船每次该船每次最多只能容纳两个人最多只能容纳两个人. 并且由于某种原因并且由于某种原因, 商人们总是提商人们总是提防着随从们防着随从们, 预感到一旦在任何地方只要随

41、从人数多于商预感到一旦在任何地方只要随从人数多于商人数，随从就会对商人构成危害人数，随从就会对商人构成危害. 但是由于商人们控制着但是由于商人们控制着如何乘船的指挥权如何乘船的指挥权, 所以商人们就可以设计一个安全的过所以商人们就可以设计一个安全的过河方案河方案, 确保商人和随从能顺利过河确保商人和随从能顺利过河. 试为商人找出这样的过河方案试为商人找出这样的过河方案. 建模建模 设在过河过程中设在过河过程中, 此岸的商人数为此岸的商人数为, x随从数为随从数为 . y则向量则向量 , x y表示为在渡河过程中在此岸的商人数和随从数表示为在渡河过程中在此岸的商人数和随从数, 该该向量称为向量称

42、为状态向量状态向量. 而而,| ,0,1,2,3Ex yx y为所有可能的状态向量集合为所有可能的状态向量集合. 在该集合中在该集合中, 有一部分对商人有一部分对商人是安全的是安全的, 称为容许状态集合称为容许状态集合, 记其为记其为 即有即有. S3,0,1,2,30,0,1,2,3Syyyy,1,2 ,x y xy 在下图中在下图中, 实点表示为状态容许的集合实点表示为状态容许的集合.xyO123123 过河的方案称为决策过河的方案称为决策, 仍然用向量仍然用向量 , x y来表示来表示. 小船从此岸到彼岸的一次航行小船从此岸到彼岸的一次航行, 会使此岸的状态发生一会使此岸的状态发生一次变

43、化次变化, 这样的变化称为状态的这样的变化称为状态的转移转移. 用用123,sx ysx ysx y 表示状态的转移表示状态的转移. 其中其中.isS以以 表示在状态表示在状态,iiidx y下做出的决策下做出的决策. 相应关系为相应关系为,iiis x y11.iiiissd 上式称为上式称为状态转移方程状态转移方程.由此说明由此说明, 渡河问题转变为寻找一系列的决策渡河问题转变为寻找一系列的决策 ,id使状态使状态按经有限次转移从按经有限次转移从,iiis x y13,3s到达到达0,0 .ns 解模解模 下图中实点的转移即为相应的渡河方案下图中实点的转移即为相应的渡河方案. 图中红色曲线

44、弧表示向彼岸的渡河图中红色曲线弧表示向彼岸的渡河, 而绿色曲线弧表示而绿色曲线弧表示从彼岸的返回从彼岸的返回.xyO12312313,3s120,0s126115104938271决策决策状态状态序号序号决策决策状态状态序号序号3,30,20,13,23,10,23,00,13,12,01,11,12,22,00,20,10,30,20,10,10,20,20,0 问题问题 一家五口人带着五只狗（家中每个成员各自拥有一只狗）一家五口人带着五只狗（家中每个成员各自拥有一只狗）去郊游去郊游. 途中遇到一条河途中遇到一条河, 他们租用了一艘小船他们租用了一艘小船, 小船每小船每次可载三个生物（人和狗

45、）次可载三个生物（人和狗）. 可惜这五只狗性情古怪可惜这五只狗性情古怪, 它它必须和自己的主人在一起才会安分必须和自己的主人在一起才会安分. 如果他的主人不在场如果他的主人不在场,它绝对不能和其他人在一起（即使一会也不行）它绝对不能和其他人在一起（即使一会也不行）. 当然当然, 狗狗是可以和其他的狗在一起的是可以和其他的狗在一起的, 幸好丽莎的狗曾上过特技训幸好丽莎的狗曾上过特技训练学校也会划船练学校也会划船, 另外四只却都不会另外四只却都不会. 请问怎样渡河？需要几趟？请问怎样渡河？需要几趟？四、公平的席位问题四、公平的席位问题 1.问题的提出问题的提出 从若干个群众团体中从若干个群众团体中

46、, 选举出部分代表组成一个管理委选举出部分代表组成一个管理委员会员会, 如何确定各团体的代表成员数如何确定各团体的代表成员数, 这样的问题就称为这样的问题就称为席位分配问题席位分配问题. 我们以下面这个生活中常遇到的问题来说明席位分配问我们以下面这个生活中常遇到的问题来说明席位分配问题的具体意义题的具体意义. 某个居住小区分成某个居住小区分成A, B, C, D四个小区，四个小区，A小区有住户小区有住户180户户, B小区有小区有150户户, C小区有小区有132户户, D小区有小区有108户户. 在在该居住区内该居住区内, 要成立一个由要成立一个由11人组成的业主委员会人组成的业主委员会,

47、该如该如何确定相应的名额分配方案何确定相应的名额分配方案. 一个比较好的分配方案是一个比较好的分配方案是:A 3 B 3 C 3 D 2直觉？直觉？ 这样的分配方案可能基于下面的计算结果这样的分配方案可能基于下面的计算结果:A区区180113.473,570B区区150112.894,570C区区132112.574,570D区区108112.084.570 但是这样的分配是否合理但是这样的分配是否合理, 下面的例子说明这个问题下面的例子说明这个问题.例例 某学院有某学院有3个系个系, 共有学生共有学生200人人, 其中其中A系系100人人, B系系60人人, C系系40人人. 现成立一个由现

48、成立一个由20名学生组成的学生会名学生组成的学生会. 则则容易得到一个绝对公平的分配方案为容易得到一个绝对公平的分配方案为 现在现在C系有系有10 6 4 .， ，3名学生转入名学生转入A系系, 3名学生转入名学生转入B系系, 则按照上面的分配方则按照上面的分配方 法有法有:A系系1032010.3,200B系系63206.3,200C系系34203.4.200即相应的分配方案也是即相应的分配方案也是10 6 4 .， ， 由于此时学生会成员数为偶数由于此时学生会成员数为偶数, 这将给一些问题的表决这将给一些问题的表决带来某些不方便的地方带来某些不方便的地方.因此该学生会筹备组决定将学生会因此

49、该学生会筹备组决定将学生会的成员数增加至的成员数增加至21人时人时, 此时相应的分配方案又将如何此时相应的分配方案又将如何? 按前面的规则有按前面的规则有A系系1032110.815,200B系系63216.615,200C系系34213.57.200即相应的分配方案为即相应的分配方案为11, ,.73 这种因总席位的增加而导致某一单位席位数的减少的这种因总席位的增加而导致某一单位席位数的减少的奇异现象奇异现象, 称为称为“阿拉巴玛悖论阿拉巴玛悖论”. 美国宪法第美国宪法第1条第条第2款对议会席位分配作了明确规定款对议会席位分配作了明确规定, 议议员数按各州相应的人数进行分配员数按各州相应的人

50、数进行分配. 最初议员数只有最初议员数只有65席席, 因因为议会有权改变它的席位数为议会有权改变它的席位数, 到到1910年年, 议会增加到议会增加到435席席.宪法并没有规定席位的具体分配办法宪法并没有规定席位的具体分配办法. 因此在因此在1881年年, 当当考虑重新分配席位时考虑重新分配席位时, 发现用当时的最大余数分配方法发现用当时的最大余数分配方法, 阿阿拉巴玛州在拉巴玛州在299个席位中获得个席位中获得8个议席个议席, 而当总席位增加为而当总席位增加为300席时席时, 它却只能分得它却只能分得7个议席个议席. 这一怪事被称为有名的这一怪事被称为有名的“阿拉巴玛悖论阿拉巴玛悖论” (A

51、labama Paradox). 2.模型假定模型假定 假设假设1 席位是以整数计量的席位是以整数计量的, 并且为有限个并且为有限个, 设为设为 个个;n 2.参加分配的单位为有限个参加分配的单位为有限个, 并且不超过席位数并且不超过席位数. 设单位设单位数为数为 即即,m;mn 3.每个单位有有限个人每个单位有有限个人, 席位是按各集体的人员多少来分席位是按各集体的人员多少来分配的配的. 所谓公平原则指的是所谓公平原则指的是: 每个席位在各自的集体中所代表每个席位在各自的集体中所代表的人员数希望是相等的的人员数希望是相等的. 3.模型建立模型建立 首先我们讨论在两个团体之间的席位分配方案首先

52、我们讨论在两个团体之间的席位分配方案.1p1n11/pn2p2n22/pn 设问题可以表示为设问题可以表示为单位单位B单位单位A每席代表人数每席代表人数席位数席位数人数人数单位单位1p2p1n2n11/pn22/pn 表中说明表中说明, 分配方案是公平的分配方案是公平的, 则应有则应有 1212.ppnn 引入指标引入指标 1,2,iiipkin则分配是公平的则分配是公平的12.kk当分配是不公平时当分配是不公平时, 称量称量12kk为为绝对不公平度绝对不公平度. 观察下表数据中的意义观察下表数据中的意义.10010100042102101020321010100212101201绝对不公平度

53、绝对不公平度代表人数代表人数席位数席位数人员数人员数单位名单位名 此时单位此时单位1与单位与单位2的绝对不公平度和单位的绝对不公平度和单位3与单位与单位4的绝的绝对不公平度均为对不公平度均为2, 但显然在前两个单位之间的不公平现象但显然在前两个单位之间的不公平现象要比后两个单位的不公平现象严重得多要比后两个单位的不公平现象严重得多. 为此我们引入为此我们引入“相相对不公平度对不公平度”作为衡量的一个准则作为衡量的一个准则.若若 121212ppkknn时称单位时称单位1吃亏吃亏, 定义定义1212112221,1kkp nr n nkp n为单位为单位1的的相对不公平度相对不公平度; 当当12

54、1212ppkknn时称单位时称单位2吃亏吃亏, 定义定义2121212112,1kkp nr n nkp n为单位为单位2的的相对不公平度相对不公平度. 我们的目的是我们的目的是: 在每一次分配后在每一次分配后, 对每个单位而言对每个单位而言, 自己自己的相对不公平度都达到最小的相对不公平度都达到最小. 3.模型求解模型求解 设经过若干次分配后设经过若干次分配后, 单位单位1的席位数为的席位数为1,n单位单位2的席位的席位为为2,n并假定此时单位并假定此时单位1吃亏吃亏, 即即112,r n n有意义有意义. 考虑下面几种情形考虑下面几种情形:若将下一个席位分配给单位若将下一个席位分配给单位

55、1之后仍然是单位之后仍然是单位1吃亏吃亏, 即有即有显然下一个席位应该给单位显然下一个席位应该给单位1;1212,1ppnn若把下一个席位分配给单位若把下一个席位分配给单位1后使单位后使单位2吃亏吃亏, 即即 1212,1ppnn此时单位此时单位2的相当不公平度为的相当不公平度为212121211,1;p nr nnpn把下一个席位分配给单位把下一个席位分配给单位2使单位使单位1吃亏吃亏, 即即 1212,1ppnn此时单位此时单位1的相对不公平度为的相对不公平度为12112211,11;p nr n npn若把下一个席位分配给单位若把下一个席位分配给单位2使得单位使得单位2吃亏吃亏, 不可能

56、不可能. 下面就、的情况下讨论下一个席位的分配下面就、的情况下讨论下一个席位的分配. 若若112212,11,r n nr nn时时, 这一席位应分配给这一席位应分配给单位单位1; 若若112212,11,r n nr nn时时, 这一席位应分配给这一席位应分配给单位单位2. 注意到注意到112212,11,r n nr nn等价于等价于122121121111,p np npnpn 即有即有22121122.11ppn nnn 而而112212,11,r n nr nn等价于等价于22121122.11ppn nnn由此引入由此引入2, 1,2 ,1iiiipQin n(21)则在与的情况下

57、则在与的情况下, 下一席位应分配给下一席位应分配给 值较大的一方值较大的一方.Q 对情形对情形, 此时有此时有2222112212111222,111ppppQQn nnnnn(22)故将下一席位分配给单位故将下一席位分配给单位1也符合上述原则也符合上述原则. 将该原则用于将该原则用于 个单位的情况个单位的情况: 当分配新的一席位时当分配新的一席位时, m首先计算在当前席位份额下各单位的首先计算在当前席位份额下各单位的 值值, 并比较相应并比较相应QQ单位单位 的值相同时的值相同时, 可任取一个单位）可任取一个单位）.Q值的大小值的大小, 将下一席位分配给将下一席位分配给 值最大的单位（当有多

58、个值最大的单位（当有多个Q 将上面的方法总结如下将上面的方法总结如下:对每个单位先各分配一席对每个单位先各分配一席;将下一席位分配给当前将下一席位分配给当前 值最大的一方值最大的一方.Q计算各单位的计算各单位的 值值, 并比较大小；并比较大小；Q 用该方法来解决三个系学生会成员的分配问题用该方法来解决三个系学生会成员的分配问题. 在对每系均分配一个代表名额之后在对每系均分配一个代表名额之后, 我们开始对第四个我们开始对第四个席位进行分配席位进行分配. 此时各单位的此时各单位的 值分别如下值分别如下:Q211035304.50,1 2Q 22631984.50,1 2Q 2334578.00.1

59、 2Q 分配给单位分配给单位1! 重新计算当前情况下甲系的重新计算当前情况下甲系的 值值, 得得Q211031768.17.23Q 此时有此时有21,QQ即第五个名额应该给乙系即第五个名额应该给乙系. 重复上面的过重复上面的过程程, 可以确定所有名额的分配方案可以确定所有名额的分配方案. 计算结果如下表计算结果如下表:147.35(17)8117.88(19)996.45(20)104611席位个数席位个数578.0(9)1984.5(5)5304.5(4)1192.67(15)661.5(8)1768.17(6)296.33(21)330.75(12)884.08(7)3198.45(14)

60、530.45(10)4132.3(18)353.63(11)5252.6(13)6198.45(16)7序号序号1Q2Q3Q 在这样的分配方案下在这样的分配方案下, 丙系保住了一个席位丙系保住了一个席位. 思考题思考题 在分配问题中在分配问题中, 能否采用先取整数部分能否采用先取整数部分, 最后对小数部分最后对小数部分用用 值方法进行分配值方法进行分配.Q 在上面问题中在上面问题中, 整数名额分配为整数名额分配为10, 6, 3. 此时计算的此时计算的Q值分别为值分别为因而最后的名额应该给因而最后的名额应该给C系系. 似乎这样没问题似乎这样没问题.1Q2Q3Q96.3394.5096.4520