极大线性无关组实用教案

1、定理5.向量组 线性相关 ,()ss 122(线性无关(wgun)(任一向量都不能由其余(qy)向量线性表示)其中至少有一个(y )(y )向量是其余向量的线性组合定理3.部分相关 整体相关；整体无关 部分无关定理4. 短无关 长无关；长相关 短相关. .定理6. 线性无关， 线性相关 ,12s ,s 12 可由 唯一线性表示. ,s 12定理1. n个n维向量线性相关(线性无关)(不为0)定理2. .向量个数向量维数，其排成的行列式值为0向量组线性相关.第1页/共19页第一页，共20页。第2页/共19页第二页，共20页。一、极大一、极大(j d)线性无关组线性无关组 i) 12,iiir线性

2、无关； 极大(j d)(j d)线性无关组，简称极大(j d)(j d)无关组. . 一个部分组12,iiir若满足 定义(dngy)(dngy)12,s 为nP中的一个向量组，它的设线性表出；12,iiir(1)jjs ii) 对任意的 , 可经j 则称 12,iiir为向量组 12,s 的一个第3页/共19页第三页，共20页。注: :(2)线性无关向量(xingling)组的极大无关组向量(xingling)(xingling)组含有非零向量(xingling)(xingling)(1)向量组有极大无关组(3) 为Rn的一个极大(j d)无关组 .,n 12(4)向量组的极大无关组可能不止

3、一个. 例：( , ),( , ),( , ),( , ). 12341 00 11 10 2( 5 )向量组的所有极大无关组含向量个数相同线性无关, 而3个二维向量必线性相关. 故 12, 12,是 的一个极大无关组, 1234 13,和 等也是 的极大无关组. ., 1234 34,就是该向量组.第4页/共19页第四页，共20页。定义向量(xingling)(xingling)组 的极大无关组所含向量(xingling)(xingling)个数称为这个向量(xingling)(xingling)组的秩. . 性质(xngzh)(xngzh)：一个(y )(y )向量组线性相关的充要条件是它

4、的秩与它所含向量个数相同；它的秩它所含向量个数.二二、向量组的秩、向量组的秩 1）一个向量组线性无关的充要条件是,12s ,12sRr ,12s ,12sRs 线性无关,12s ,12sRs 线性相关第5页/共19页第五页，共20页。2）若向量组12,s 可经向量组 12,t 线性表出，则秩 12,s 秩 12,t 3）等价向量(xingling)组必有相同的秩.第6页/共19页第六页，共20页。例1 求向量组( , , ),( , , ) 122 4 21 1 0( , , ), 32 3 1( , , ) 43 5 2的一个极大无关组，将其余向量用此极大无关组线性表示，并写出向量组的秩.,

5、1232122014134130201201TTT,12 对应分量不成比例，线性无关,123 线性相关,1242132024154150202202TTT,124 线性相关,12 为极大无关组繁！繁！解1第7页/共19页第七页，共20页。2022-5-118( , , ),( , , ) 122 4 21 1 0,( , , ),( , , )342 3 13 5 2 重要结论(jiln)：行变换不改变列向量间的线性关系.()1234212341352012TTTT 2123011101112 0 120 1 1100 00 1101201110000 线性无关(wgun),12 为极大无关组

6、31241212(,)12342R 第8页/共19页第八页，共20页。例2 求向量(xingling)组( , , , ),( ,) 121 2 1 34156(,), 31347( , , ) 42 11 0的一个极大无关(wgun)组，将其余向量用此极大无关(wgun)组线性表示，并写出向量组的秩.()12341412213115413670TTTT 14120913093301846 1412091300200020 210031010300100000(,)12343R , 123为 4122133第9页/共19页第九页，共20页。例2 求向量(xingling)组( , , , ),

7、( ,) 121 2 1 34156(,), 31347( , , ) 42 11 0的一个极大(j d)无关组，将其余向量用此极大(j d)无关组线性表示，并写出向量组的秩.()12341412213115413670TTTT 14120913093301846 1412091300200020 1402090300100000 1200030100100000 (,)12343R ,134 为21423 第10页/共19页第十页，共20页。例4 设有两个向量组(I)的秩为r1, 向量组(II)的秩为r2 ,且向量组(I)可由向量组(II)线性表示，则r1与r2 的关系为r1 r2D例3 若向量组 的秩为r，则( ),12s (A)必定 r 向量维数，。(4)向量组的极