直线与平面垂直的判定全

1、2.3.1直线与平面垂直的直线与平面垂直的 判定判定回顾知识：回顾知识：空间中一条直线与平面有哪几种位置关系？空间中一条直线与平面有哪几种位置关系？ （1）直线在平面内，）直线在平面内，（2）直线与平面平行，）直线与平面平行，（3）直线与平面相交）直线与平面相交知识探究（一）：知识探究（一）：直线与平面垂直的概念直线与平面垂直的概念 (垂直垂直)大漠孤烟直大漠孤烟直ABABABABABABABABCC1B1AB内过点内过点B的直线的直线AB所在直线所在直线内不过点内不过点B的直线的直线AB所在直线所在直线内内任意一条任意一条直线直线AB所在直线所在直线一、直线和平面垂直的定义一、直线和平面垂直

2、的定义如果直线如果直线l与平面与平面a a内的任意一条直线都垂直，内的任意一条直线都垂直，我们就说我们就说直线直线l与平面与平面a a垂直垂直，其中直线叫做，其中直线叫做平平面的垂线面的垂线，平面叫做，平面叫做直线的垂面直线的垂面.交点叫做交点叫做垂足垂足. A A平面的垂线平面的垂线直线的垂面直线的垂面垂足垂足 LP直线和平面垂直的画法直线和平面垂直的画法: 通常把直线画成和表示平面的平通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直。行四边形的一边垂直。探索新知：探索新知：做一做一做做想一想一想想ABCD1.1.折痕折痕ADAD与桌面垂直吗？与桌面垂直吗？2.2.如何翻折才能使折痕如何翻折才

3、能使折痕ADAD与桌面所在的平面垂直？与桌面所在的平面垂直？ 请同学们拿出一块三角形纸片，请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的我们一起做一个试验：过三角形的顶点顶点A A翻折纸片，得到折痕翻折纸片，得到折痕ADAD，将，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BDBD、DCDC与桌面接触）与桌面接触）ABCD 当且仅当折痕当且仅当折痕 AD 是是 BC 边上的高时，边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面所在直线与桌面所在平面 垂直垂直 ABCDABCD2.2.如何翻折才能使折痕如何翻折才能使折痕ADAD与桌面所在的平面垂直？与桌面所在的平面垂直？探索

4、新知：探索新知：探索新知：探索新知： 由刚才分析可以知道，直线与平面垂直的由刚才分析可以知道，直线与平面垂直的判定需要哪几个条件？判定需要哪几个条件？你能根据刚才的分析归纳出你能根据刚才的分析归纳出直线与平面垂直线与平面垂直判定定理直判定定理吗吗 (1) (1) 平面有两条直线平面有两条直线 (2) (2) 这两条直线要相交这两条直线要相交(3) (3) 平面外的直线要与这两条直线都垂直平面外的直线要与这两条直线都垂直二、二、 直线与平面垂直的判定定理：直线与平面垂直的判定定理： mnmnpllmln 线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直lmnP 一条直线与一个平面内的两条一条直线与一个平面内的

5、两条相交相交直线直线都都垂直垂直，则该直线与此平面垂直。，则该直线与此平面垂直。一相交两垂直一相交两垂直判断下列命题是否正确？判断下列命题是否正确？(1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直过一点有且只有一条直线和一个平面垂直( )(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直过一点有且只有一个平面和一条直线垂直( )P lP l例例1.1.在下图的长方体中，请列举与平面在下图的长方体中，请列举与平面ABCDABCD垂直的直线。并说明这些直线有怎样的位置垂直的直线。并说明这些直线有怎样的位置关系？关系？BACDBACD例例2、在正方体、在正方体AC1中，求证：中，求证：(2)D1B平面平面ACB1

6、(1)AC平面平面D1DBC1BD1ACA1DB1(1)ABCD是正方形,ACBD1,D DAC平面1,ACD D1,D DDBD1.ACD DB 平面GC1BD1ACA1DB1例例2、在正方体、在正方体AC1中，求证：中，求证：(2)D1B平面平面ACB1由异成直线所成的角知由异成直线所成的角知D1B平面平面ACB1 901所所成成角角为为与与ACBD 9011所所成成角角为为与与ABBD11ABBD ACBD 1AABAC 1OH例例2.2.如图，已知如图，已知abab、aa. . 求证：求证：bb. .例题示范例题示范, ,巩固新知巩固新知分析：在平面内作两条相交直线，分析：在平面内作两

7、条相交直线，由直线与平面垂直的定义可知，由直线与平面垂直的定义可知，直线直线a a与这两条相交直线是垂直的，与这两条相交直线是垂直的，又由又由b b平行平行a a，可证，可证b b与这两条相交与这两条相交直线也垂直，从而可证直线与平直线也垂直，从而可证直线与平面垂直。面垂直。ababnm:m,n.证明 在平面 内作两条相交直线a,.m an 因为直线根据直线与平面垂直的定义知 a,.m bn 又因为 b/a 所以 b,m n 又因为m,n是两条相交直线 所以 b例例2.2.如图，已知如图，已知abab、aa. . 求证：求证：bb. .（线面垂直 线线垂直）（线线垂直 线面垂直）我们知道我们知

8、道, ,当直线和平面垂直时当直线和平面垂直时, ,该直线叫做平面该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直的垂线。如果直线和平面不垂直, ,是不是也该给它是不是也该给它取个名字呢取个名字呢? ?此时又该如何刻画直线和平面的这种此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢关系呢? ?如图如图,点点Q是是是点是点P到平面的垂线段到平面的垂线段 pQ过一点向平面引垂线，垂足叫做过一点向平面引垂线，垂足叫做 这点与垂足间的线段叫做这点与垂足间的线段叫做。 一一.斜线在平面内的射影斜线在平面内的射影. .垂线、斜线、射影垂线、斜线、射影( () )垂线垂线点点P在平面在平面 内的射影内的射影 线段线段PQ（2

9、 2）斜线）斜线 一条直线和一个平面相交，但不和一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的的斜线和平面的交点斜线和平面的交点叫做叫做。从平面外一点向平从平面外一点向平面引斜线，这点与斜面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点足间的线段叫做这点到这个平面的到这个平面的斜线段斜线段PR 如图：是斜线如图：是斜线AC在内的射影，线段在内的射影，线段BC是是 ACB过斜线上斜足以外的一点向平面引过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做垂线，过垂足和斜足的直线叫做 垂足与斜足间的线段叫做这点到平垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的面的

10、 ( () )射影射影直线直线BC斜线段斜线段AC在内的射影在内的射影 ACB FE说明：说明：斜线上斜线上任意一点在平面任意一点在平面上的射影，一定上的射影，一定在斜线的射影上。在斜线的射影上。思考：思考：斜线上的一个点在平面上的射斜线上的一个点在平面上的射影会在哪呢影会在哪呢？思考思考：从平面外一点从平面外一点向这个平面引的垂线段向这个平面引的垂线段和斜线段，它们的射影和线段本身之间和斜线段，它们的射影和线段本身之间有什么关系？有什么关系？从平面外一点从平面外一点向这个平面所引的垂线向这个平面所引的垂线段和斜线段段和斜线段AB、AC、AD、AE中，那中，那一条最短？一条最短？ ACBDE

11、垂线段比任何垂线段比任何一条斜线段都短一条斜线段都短2、过点为连则则边点则0 0ABC所ABC所在在平平面面外外一一P,作P,作PO PO ,垂,垂足足O,接O,接PA,PB,PC.PA,PB,PC.1).若1).若PA = PB = PC,O是PA = PB = PC,O是ABC的ABC的_心_心. .2).若2).若PA = PB = PC,PA = PB = PC,C = 90 ,O是C = 90 ,O是AB的AB的_._.*3).若*3).若PA PA PB,PB PB,PB PC,PC PC,PC PA,O是PA,O是ABCABC的的_心_心. .外外中中垂垂巩固练习：巩固练习：._

12、,).3._,).2._,90,).1.,. 20心的是则若心的是则若点边的是则若连接为垂足作外一点所在平面过ABCOPAPCPCPBPBPAABCOPCPBPAABOCPCPBPAPCPBPAOPOPABC中中外外垂垂重心重心:三条中线的交点三条中线的交点垂心垂心:三条高的交点三条高的交点外心外心:三条垂直平分线的交点三条垂直平分线的交点(到三个顶点的距离相等到三个顶点的距离相等)内心内心:三角平分线的交点三角平分线的交点中心中心:正的重心、垂心、内心、外心重合的点正的重心、垂心、内心、外心重合的点已知三棱锥已知三棱锥P-ABCP-ABC的三条侧棱的三条侧棱PA=PB=PCPA=PB=PC试

13、判断点试判断点P P在底面在底面ABCABC的射影的位置？的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO为三角形为三角形ABC的的外心外心已知三棱锥已知三棱锥P-ABCP-ABC的三条的三条侧棱侧棱PA,PB,PCPA,PB,PC两两垂直两两垂直, ,试判断点试判断点P P在底面在底面ABCABC的射影的射影的位置？的位置？PABCO O为三角形为三角形ABCABC的的垂心垂心DOPADBCPPOPABCPOBCPA平面已知三棱锥已知三棱锥P-ABCP-ABC的的顶点顶点P P到底面三角形到底面三角形ABCABC的三条边的距离相等的三条边的距离相等, ,试判断点试判断点P P在在底面底面ABCAB

14、C的射影的位置？的射影的位置？PABCO O为三角形为三角形ABCABC的的内心内心OEF典型：典型：四面体四面体P-ABC的顶点的顶点P在平面上的射影为在平面上的射影为O(1)P到三顶点距离相等到三顶点距离相等(3)P到三边到三边AB、BC、AC距离相等距离相等(2)侧棱两两垂直侧棱两两垂直PABCO外外垂垂内内 O是是 ABC的的心心 O是是 ABC的的心心 O是是 ABC的的心心 如图，直四棱柱如图，直四棱柱 （侧棱与底面垂直（侧棱与底面垂直的棱柱成为直棱柱）中，底面四边形的棱柱成为直棱柱）中，底面四边形 满足什么满足什么条件时，条件时， ？(只能添加一个合适的条件只能添加一个合适的条件

15、)ABCDDCBAABCDDBCAAABBCCDD解解:底面底面ABCD可以是菱形可以是菱形,正方形正方形, 或者是对角线相互或者是对角线相互垂直的任意四边形垂直的任意四边形比比谁最棒!A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1A AB BC CD D例例1 1、如图，正方体、如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求（1 1）直线）直线A A1 1B B和平面和平面BCCBCC1 1B B1 1所成的角。所成的角。（2 2）直线）直线A A1 1B B和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角。所成的角。O例题示范例题示范, ,

16、巩固新知巩固新知分析分析: :找出直线找出直线A A1 1B B在平面在平面BCCBCC1 1B B1 1和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD内的射内的射影影, ,就可以求出就可以求出A A1 1B B和平面和平面BCCBCC1 1B B1 1和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的所成的角。角。阅读教科书阅读教科书P67上的解答过程上的解答过程对棱两两垂直对棱两两垂直OPABC例：四面体例：四面体P-ABC中，中，ACPBBC,PAABPC求证：若三棱锥有两组对边互相垂直，则若三棱锥有两组对边互相垂直，则另一组对边必然垂直另一组对边必然垂直O O是垂心是垂心垂垂 O是是 A

17、BC的的心心例例3、三棱锥、三棱锥V-ABC中，中，VA=VC,AB=BC,K是是AC的中点。的中点。（1）求证：）求证：AC 平面平面VKB （2）求证：求证：VB ACABCVK(1)(1)连接连接VK,KBVK,KB，由，由VA=VC,KVA=VC,K为为ACAC中中点，由三线合一可知点，由三线合一可知VK VK AC,AC,同理可得同理可得KB ACKB AC，且，且VKKB=KVKKB=K 所以所以AC AC 平面平面VKB VKB ( (判定定理判定定理) )(2)(2)由由(1)(1)可知，可知，AC AC 平面平面VKBVKB又因为又因为VB VB 平面平面VKBVKB 所以所

18、以VB VB AC (定义定义) 变式：变式：1、在例、在例3中若中若E、F分别为分别为AB、BC 的中的中点，试判断点，试判断EF与平面与平面VKB的位置关系的位置关系 AVBCE EF FK例例3、三棱锥、三棱锥V-ABC中，中，VA=VC,AB=BC,K是是AC的中点。的中点。（1）求证：）求证：AC 平面平面VKB （2）求证：求证：VB AC2、在、在1的条件下，有人说的条件下，有人说“VBAC，VBEF， VB平面平面ABC”，对吗？，对吗？BCDAFE,(1):(2):(3):4:ABCDAPAABCDAAEPBEEEFPCFBCPABAEPBCAFPC已知矩形过 作面再过 作于

19、过 作于求证面求证面求证例ba 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么如果两条直线同时垂直于一个平面，那么 这两条直线平行。这两条直线平行。3.直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理 例例2 2、如图，已知如图，已知AC、AB分别是平面分别是平面的垂线和斜的垂线和斜 线，线，C、B分别是垂足和斜足，分别是垂足和斜足，a ，aBC。 求证：求证：aAB线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直三垂线定理三垂线定理:在平面内的一条直线在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直射影垂直,那么它就和这条斜线垂直那么它就和这条斜线垂直.变变: :如图，已知如图，已

20、知AC、AB分别是平面分别是平面的垂线和斜线的垂线和斜线,C、B分别是垂足和斜足，分别是垂足和斜足，a ， 。aAB三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线与这个平面的一条如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直斜线垂直,那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直.求证求证: aBC结论1.结论2.结论3. 常用结论发散常用结论发散结论结论1：过一点有且只有一个平过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。面和已知直线垂直。结论结论2：如果两条平行直线中的如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条垂直于一个平面，那么另一

21、条直线也垂直于这个平面。一条直线也垂直于这个平面。结论结论3：如果两条直线同垂直于如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。一个平面，那么这两条直线平行。 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 bmmbbamama/已知： ， 。 ba/a求证： 。 b证明：方法1设是 内 的任意一条直线。 m）（相相垂垂直直垂垂直直，则则这这两两条条直直线线互互另另一一条条直直线线与与这这个个平平面面）一一条条直直线线在在平平面面内内，（）（两两条条直直线线平平行行）垂垂直直于于同同一一个个平平面面的的（）（两两个个平平面面互互相相平平行行）垂垂直直于于同同一一

22、条条直直线线的的（：判判断断下下列列命命题题是是否否正正确确练练习习：.3.2.1. 1._,. 2的的位位置置关关系系是是与与，则则且且和和平平面面已已知知直直线线 bababa a b bb或或,/小试牛刀小试牛刀线面垂直的性质定理：线面垂直的性质定理：符号语言：符号语言：图形语言：图形语言：垂直于同一平面的两直线互相平行垂直于同一平面的两直线互相平行./abab，ab abnm:m,n.证明 在平面 内作两条相交直线a,.m an 因为直线根据直线与平面垂直的定义知 a,.m bn 又因为 b/a 所以 b,m n 又因为m,n是两条相交直线 所以 b例例2.2.如图，已知如图，已知ab

23、ab、aa. . 求证：求证：bb. .（线面垂直 线线垂直）（线线垂直 线面垂直）例例2 2、如图，已知、如图，已知abab，aa。求证：求证：bb。例题示范例题示范, ,巩固新知巩固新知分析：在平面内作两条相交直线，分析：在平面内作两条相交直线，由直线与平面垂直的定义可知，由直线与平面垂直的定义可知，直线直线a a与这两条相交直线是垂直的，与这两条相交直线是垂直的，又由又由b b平行平行a a，可证，可证b b与这两条相交与这两条相交直线也垂直，从而可证直线与平直线也垂直，从而可证直线与平面垂直。面垂直。ab阅读阅读P66P66页的证明过程页的证明过程. .五、过程设计五、过程设计( (三

24、三) ) 线面垂直性质定理的应用线面垂直性质定理的应用(1)若若PA=PB=PC，则，则O是是ABC的的 . .PABC O外心外心例例4.4.关于三角形的四心问题关于三角形的四心问题 设设O为三棱锥为三棱锥PABC的顶点的顶点P在底面上的射影在底面上的射影.(2)若若PA=PB=PC,C=900,则则O是是AB的的_点点.中中PABC O例例4.4.关于三角形的四心问题关于三角形的四心问题垂心垂心EFPABC O (3)若三条側棱两两互相垂直若三条側棱两两互相垂直, ,则则O是是ABC的的 . .例例4.4.关于三角形的四心问题关于三角形的四心问题EFPABC O (5)若三条側棱与底面成相

25、等的角，则若三条側棱与底面成相等的角，则O是是ABC的的_. 外心外心例例4.4.关于三角形的四心问题关于三角形的四心问题例例1、已知直角、已知直角ABC所在平面外有一点所在平面外有一点P，且，且PA=PB=PC，D是斜边是斜边AB的中点，的中点，求证：求证：PD平面平面ABC.ABCPD 证明：证明：PA=PB，D为为AB中点中点 PDAB，连接，连接CD， D为为RtABC斜边的中点斜边的中点 CD=AD, 又又PAPC,PD=PD PAD PCD 而而PDAB PDCD, CDAB = D PD平面平面ABC例例2、如图、如图 平面平面、相交于相交于PQ，线段线段OA、OB分别垂直平面分

26、别垂直平面、，求证：求证：PQABPQOAB证明：证明：OA PQ OAPQ OB, PQ OBPQ 又又OAOB=0 PQ平面平面OAB 而而AB平面平面OAB PQABSABCSBSBSCSCSAHABCSHABC作业：如图 是所在平面外一点，SA， 是的垂心，求证；平面SABCHSABCSBSBSCSCSAHABCSHABC作业：如图 是所在平面外一点，SA，是的垂心，求证；平面SASBSASCSASBCSBSCS平面SABCAHBCSAAHABCSHA面SABCHHABC是的 垂 心ABSHBCABB同理BCSHSHABC面1.如图,已知点M是菱形ABCD所在平面外一点，且MA=MC求

27、证：AC平面BDMMABCDOBD ACBDACO证明：连接，设，连接MOABCDACBDO四边形是菱形ACBDOAC是中点MOACACBDBDMOOMAMCAMC是等腰ACMBD面ABCD证明：E 2. 在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，AB=AD，CB=CD， 求证：对角线求证：对角线AC BD。 CEAEEBD,连接的中点取ACBDACEAC,平面ACEBDECEAE,平面又BDCEDCBC,BDAEADAB,PABCO3.如图，圆如图，圆O所在一平面为所在一平面为 ，AB是圆是圆O 的直径，的直径，C 在圆周上在圆周上, 且且PA AC, PA AB,求证：（求证：（1）PA B

28、C （2）BC 平面平面PAC ,解：（1）且又ABACABACAPAAC PAABPABCPABC PACBCAACPAPABCACBC，ABOC面又得由为直径上一点为圆,1)2(典例 平面内有一个三角形ABC，平面外有一点P，自P向平面作斜线PA，PB，PC，且PAPBPC，若点O是ABC的外心，求证：PO平面ABC.【解】如图所示，分别取AB，BC的中点D，E，连接PD，PE，OD，OE.因为PAPBPC，所以PDAB，PEBC，因为O是ABC的外心，所以ODAB，OEBC，又因为PDDOD，OEPEE，所以AB平面PDO，BC平面PEO，于是有ABPO，BCPO，ABBCB，从而推得P

29、O平面ABC._,).3._,).2._,90,).1.,. 20心的是则若心的是则若点边的是则若连接为垂足作外一点所在平面过ABCOPAPCPCPBPBPAABCOPCPBPAABOCPCPBPAPCPBPAOPOPABC中中外外垂垂重心重心:三条中线的交点三条中线的交点垂心垂心:三条高的交点三条高的交点外心外心:三条垂直平分线的交点三条垂直平分线的交点(到三个顶点的距离相等到三个顶点的距离相等)内心内心:三角平分线的交点三角平分线的交点中心中心:正的重心、垂心、内心、外心重合的点正的重心、垂心、内心、外心重合的点巩固练习巩固练习._,).3._,).2._,90,).1.,. 20心的是则

30、若心的是则若点边的是则若连接为垂足作外一点所在平面过ABCOPAPCPCPBPBPAABCOPCPBPAABOCPCPBPAPCPBPAOPOPABCVABC 解题分析解题分析:2022-5-10例例1：如图，已知如图，已知AC、AB分别是平面分别是平面的垂线的垂线 和斜线，和斜线，C、B分别是垂足和斜足，分别是垂足和斜足，a ， aBC求证：求证：aAB ACBa2022-5-10例例2：如图，如图，BAC在平面在平面内，内，P为平面为平面外一外一 点，点，PABPAC求证：点求证：点P在平面在平面上上 的射影在的射影在BAC的平分线上的平分线上 ACBPOEF例例1 1 如图如图, ,在在

31、RtRtABCABC中中, ,已知已知C=90,C=90, AC=BC=1,PA AC=BC=1,PA面面ABC,ABC,且且PA= ,PA= , 求求(1)PB(1)PB与面与面ABCABC所成的角所成的角 (2)PB(2)PB与面与面PACPAC所成的角所成的角. .2B BC CA AP P巩固练习巩固练习1.1.平行四边形平行四边形ABCDABCD所在平面所在平面 外有一点外有一点P P，且，且PAPA= =PBPB= =PCPC= =PDPD，求证：点，求证：点P P与平行四边形对角线交与平行四边形对角线交点点O O的连线的连线POPO垂直于垂直于ABAB、AD.AD.CABDOP2

32、022-5-10例例2：如图，在棱长为如图，在棱长为1的正方体中的正方体中 (1)求求B1D 与平面与平面ABCD所成的角的正切；所成的角的正切；ABCDOA1B1C1D1(2)求求A1C1 与平面与平面ABC1D1所成的角；所成的角；(3)求求BB1 与平面与平面A1BC1所成的角的正切所成的角的正切MH2022-5-10例例5：ABC的定点在平面的定点在平面内，点内，点A、C在平面在平面 的同侧，的同侧，AB、BC与与所成角分别是所成角分别是300和和 450若若AB3，BC42，AC5，求，求AC 与平面与平面所成的角所成的角 ABCA1C1E2022-5-10例例6：如图，如图，P是正

33、方形是正方形ABCD所在平面外一点，所在平面外一点， PA平面平面ABCD，AE PD，PA3AB求求 直线直线AC与平面与平面ABE所成角的正弦值所成角的正弦值 PABCDE 【5】如图如图, AB为平面为平面的一条斜线的一条斜线, B为斜为斜足足,AO平面平面, 垂足为垂足为O, 直线直线BC在平面在平面内内,已已知知ABC=60 ,OBC=45 , 则斜线则斜线AB和平面和平面所成的角是所成的角是_.ACODB45 设设OB=2,2,BD 则则2 2BA . .Rt,BOA在在中中22cos,22 2ABO45 .ABO 引课引课我们知道我们知道, ,当直线和平面垂直时当直线和平面垂直时

34、, ,该直线叫做平面该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直的垂线。如果直线和平面不垂直, ,是不是也该给它是不是也该给它取个名字呢取个名字呢? ?此时又该如何刻画直线和平面的这种此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢关系呢? ?如图如图, ,若一条直线若一条直线PAPA和一个和一个平面平面相交相交, ,但不垂直但不垂直, ,那那么这条直线就叫做这个平么这条直线就叫做这个平面的斜线面的斜线, ,斜线和平面的交斜线和平面的交点点A A叫做斜足。叫做斜足。PA斜足斜足斜线斜线A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1A AB BC CD D例例1 1、如图，正方体、如图，正方体ABCD-A

35、ABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求（1 1）直线）直线A A1 1B B和平面和平面BCCBCC1 1B B1 1所成的角。所成的角。（2 2）直线）直线A A1 1B B和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角。所成的角。O例题示范例题示范, ,巩固新知巩固新知分析分析: :找出直线找出直线A A1 1B B在平面在平面BCCBCC1 1B B1 1和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD内的射内的射影影, ,就可以求出就可以求出A A1 1B B和平面和平面BCCBCC1 1B B1 1和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的所成的角。角。阅读教科书阅读教科书P67上的解答过程上的解答过程AGFEDCBHHC与平面与平面ABCD 所成的角是？所成的角是？BG和和EA与平面与平面ABCD所成的角所成的角 分别是？分别是？GBC与与EABHCDEC和和EG与平面与平面ABCD所成的角分别是？所成的角分别是？ACE练习练习:正方体正方体ABCDEFGH中中2.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中