第七章 耦合电感及理想变压器

1、 n7.1 互感互感n7.2 含有耦合电感电路的分析含有耦合电感电路的分析n7.3 空心变压器和理想变压器空心变压器和理想变压器 1.掌握耦合电感元件的伏安关系；掌握耦合电感元件的伏安关系；2.直接列写方程法和去耦等效法分析计算耦合直接列写方程法和去耦等效法分析计算耦合电感电路；电感电路；3.理解反映阻抗的概念及其应用于分析空心变理解反映阻抗的概念及其应用于分析空心变压器电路；压器电路；4.掌握含有理想变压器电路的分析计算。掌握含有理想变压器电路的分析计算。71 互感互感n 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，

2、整如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。的电路问题的分析方法是非常必要的。中周线圈中周线圈半导体收音机用振荡线圈半导体收音机用振荡线圈 下 页上 页小小变压器变压器返 回线圈线圈1中通入电流中通入电流i1时，在线圈时，在线圈1中产生的磁通中产生的磁通11称为称为自自感磁通感磁通，11与线圈与线圈1的的N1匝交链，产生磁通链匝交链，产生磁通链11称为称为自感磁自感磁通链通链；11中的一部分或全

3、部（中的一部分或全部（互感磁通互感磁通）与线圈）与线圈2交链，产交链，产生磁通链生磁通链21称为称为互感磁通链互感磁通链。两线圈间有磁的耦合两线圈间有磁的耦合。 11111N 21221N当线圈周围无铁磁物质当线圈周围无铁磁物质(空心线圈空心线圈)时，时， 11、 21与与i1成正比。成正比。111 1LiL1称为线圈称为线圈1 的的自感系数自感系数，单位为，单位为H（亨）（亨） 2121 1M iM21称为称为互感系数互感系数，简称，简称互感互感，单位为，单位为H（亨）（亨） 1 互感和互感电压互感和互感电压同样，线圈同样，线圈2中的电流中的电流i2也产生自感磁通链也产生自感磁通链22和互感

4、磁通链和互感磁通链12。 12112 N22222 N222 2L iL2为线圈为线圈2的的自感系数自感系数1212 2M iM12称为称为互感系数互感系数可以证明：可以证明：M12= M21= M。 当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和：链的代数和： 111121 12 LiMi 222212 21 L iMi 111121 12 LiMi 222212 21 L iMi 互感磁通链与自感磁通链方向相反时，互感磁通链与自感磁通链方向相反时， M前取前取“- -”号号 ，称为反向耦合称为反向耦合。互感磁通链与自感磁通链方

5、向一致时，互感磁通链与自感磁通链方向一致时， M前取前取“+”号，号，称称为同向耦合为同向耦合。表示自感方向的磁场得到加强（增磁）。表示自感方向的磁场得到加强（增磁）同名端：同名端：工程上将同向耦合状态下的一对施感电流（工程上将同向耦合状态下的一对施感电流（i1，i2）的入端（或出端）定义为耦合电感的的入端（或出端）定义为耦合电感的同名端。同名端。注意：注意：线圈的同名端必须两两确定。线圈的同名端必须两两确定。耦合电感的符号耦合电感的符号 当耦合电感中的电流随时间变化时，磁通链将跟随电流产当耦合电感中的电流随时间变化时，磁通链将跟随电流产生变化。将在耦合电感中产生感应电压。设生变化。将在耦合电

6、感中产生感应电压。设u1与与i1，u2与与i2为关联参考方向，则有为关联参考方向，则有 112111112ddidiuLMuudtdtdt212222122ddidiuMLuudtdtt 1111diuLdt2222diuLdt自感电压自感电压，当，当 u,i 取关联方向取关联方向时，符号为正；时，符号为正；否则，取负号否则，取负号 212diuMdt 121diuMdt 互感电压：互感电压： 当耦合电感同向耦合当耦合电感同向耦合（施感电流同时流进（或（施感电流同时流进（或流出）同名端）时，则互流出）同名端）时，则互感电压在感电压在KVL方程中与自方程中与自感电压同号。感电压同号。 【例【例7

7、.1】试写出如图所示各耦合电感元件的伏安关系。】试写出如图所示各耦合电感元件的伏安关系。dtdiMdtdiLu2111dtdiLdtdiMu2212dtdiMdtdiLu2111dtdiLdtdiMu2212【例【例7.1】试写出如图所示各耦合电感元件的伏安关系。】试写出如图所示各耦合电感元件的伏安关系。1211didiuLMdtdt1222didiuMLdtdt 1211didiuLMdtdt 1222didiuMLdtdt 11 122122Uj L Ij MIUj MIj L I相量形式相量形式用受控源表示用受控源表示2. 耦合系数耦合系数 用耦合系数用耦合系数k 表示两个线圈磁耦合的紧

8、密程度。表示两个线圈磁耦合的紧密程度。k=1 称全耦合称全耦合: 漏磁通漏磁通 s1 =s2=011= 21 ，22 =12满足：满足：注意：注意：耦合系数耦合系数k与线圈的结构、相互几何位置、空与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。间磁介质有关。21121211221 12 212()()1MiMiMkLi L iL L7.2 含有耦合电感电路的分析含有耦合电感电路的分析 n耦合电感电路的分析依据仍然是两类约束关系，耦合电感电路的分析依据仍然是两类约束关系，即即KCL、KVL和元件的和元件的VCR。元件的。元件的VCR中应中应包括耦合电感的包括耦合电感的VCR。 （1）直接列写方程法）

9、直接列写方程法 （2）去耦等效法）去耦等效法 方法：方法： 1 直接列写方程法直接列写方程法 该方法是不改变电路结构，直接对原电路列方程计算该方法是不改变电路结构，直接对原电路列方程计算的方法。的方法。注意：注意：一、含耦合电感电路具有含受控源电路的特点；一、含耦合电感电路具有含受控源电路的特点；二、在耦合电感的电压中必须正确计入互感电压的作二、在耦合电感的电压中必须正确计入互感电压的作用；用；三、只宜用回路电流法，不宜采用结点电压法，这是三、只宜用回路电流法，不宜采用结点电压法，这是因为耦合电感所在支路的复导纳未知。因为耦合电感所在支路的复导纳未知。【例【例7.2】已知电路中已知电路中L11

10、H，L24H，R11k，R22 k，耦合系数耦合系数k0.5，Vtu)30314cos(3220，求电流，求电流i。 解：先求互感系数解：先求互感系数HLLkM1415 . 021对电路列写对电路列写KVL方程，得方程，得 1122()()UR Ij L Ij MIR Ij L Ij MI121233(2)220 3059.26.2102 10314(142 1)UIRRjLLMmAj mAti)2 . 6314cos(22.592 去耦等效法去耦等效法 该方法是先画出耦合电感电路的去耦等效电路。在正弦稳态该方法是先画出耦合电感电路的去耦等效电路。在正弦稳态情况下，对所得的去耦等效电路可按一般

11、交流电路来列方程。情况下，对所得的去耦等效电路可按一般交流电路来列方程。 下面讨论两个耦合电感的串联、并联和下面讨论两个耦合电感的串联、并联和T型连接电路的去耦型连接电路的去耦等效电路。等效电路。 1）耦合电感的串联及其去耦等效）耦合电感的串联及其去耦等效顺接连接顺接连接 1212() ()(2)Uj LIj MIj L Ij MIjLLM I12(2)UjLLMIeqj LMLLLeq221去耦等效电路去耦等效电路反接连接反接连接 1212() ()(2)Uj LIj MIj L Ij MIjLLM I12(2)UjLLMIeqj L122eqLLLM121()2MLL互感不大于两个自感的算

12、术平均值。互感不大于两个自感的算术平均值。12 20eqLLLM2）耦合电感的并联及其去耦等效）耦合电感的并联及其去耦等效同侧并联同侧并联 1112()URj L Ij MI1222()Uj MIRj L I12III1 111()UR IjLM Ij MI2222()Uj MIR IjLM I去耦等效电路去耦等效电路异侧并联异侧并联 1112()URj L Ij MI1222()Uj MIRj L I 12III1 111()UR IjLM Ij MI2222()Uj MIR IjLM I 去耦等效电路去耦等效电路3.耦合电感的耦合电感的T型等效型等效 同名端为共端的同名端为共端的T型去耦等

13、效型去耦等效131 12jjUL IMI 21232jjUL IM I12III11j ()j LM IMI22j ()j LM IMI*j L1 I1 I2 I123j L2j M3 I1 I2 I12j (L1-M)j (L2-M)j M 异名端为共端的异名端为共端的T型去耦等效型去耦等效131 12Uj L Ij MI 21232-Uj L Ij M I12III11j ()j LM IMI22()jLM Ij MI*j L1 I1 I2 I123j L2j M3 I1 I2 I12j (L1+M)j (L2+M)- -j MT形耦合电感电路的去耦等效与并联耦合电感电路的去耦形耦合电感电

14、路的去耦等效与并联耦合电感电路的去耦等效方法一样。等效方法一样。 结论：结论：如果耦合电感的两条支路各有一端与第如果耦合电感的两条支路各有一端与第3支路形成一支路形成一个仅含个仅含3条支路的共同结点，则可用条支路的共同结点，则可用3条无耦合的电感支路等条无耦合的电感支路等效替代，效替代，3条支路的等效电感分别为条支路的等效电感分别为（1）支路）支路3电感电感L3M（同侧取（同侧取“”，异侧取，异侧取“”）。（2）支路）支路1电感电感MLL11 MLL22 ，支路，支路2电感电感，M前所取符号与前所取符号与L3中的符号相反。等效电感与电流参考方中的符号相反。等效电感与电流参考方向无关，这向无关，

15、这3条支路中的其他元件不变。条支路中的其他元件不变。【例【例7.3】已知图示电路】已知图示电路R14，R26，L18，L213，M9，电压，电压Vtu)60cos(250，求各支路的电流及线圈，求各支路的电流及线圈1、2的复功率的复功率 解：解：先画出去耦等效电路先画出去耦等效电路。50 60UV1()17jLMj2()22jLMj9j Mj 1122()() / /()(622) (9)4176.99 24.26229ZRjLMRjLMj Mjjjjj R14，R2617.16 35.80UIAZ21224.5119.43j MIIARj L3123.61 4.26IIIA*11 1SU I

16、 *1 11 121()R Ij L Ij MII2*1112 1()Rj L Ij MI I 2(48) 7.169 4.5119.437.1635.80jj(326.51146.76)jVA求复功率求复功率*2220SU I *150 607.1635.80(326.49146.74)SUIjVA21SSS复功率平衡复功率平衡 小结：小结： 有互感电路的计算有互感电路的计算 在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍应用前在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍应用前面第面第5、6章介绍的相量分析方法。章介绍的相量分析方法。 注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互注意互感线圈上的电压除自感

17、电压外，还应包含互感电压：（可先去耦，画等效去耦电路，再做分析）感电压：（可先去耦，画等效去耦电路，再做分析） 一般采用支路法和回路法计算。一般采用支路法和回路法计算。7.3 空心变压器和理想变压器空心变压器和理想变压器 变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感接向电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空器件。当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。心变压器。初级线圈初级线

18、圈 次级线圈次级线圈i1 1122ZLi21 空心变压器空心变压器1）空心变压器的电路分析）空心变压器的电路分析 * *j L11 I2 Ij L2j M+1 UR1R2ZL=RL+jXL应用应用KVL得方程得方程 初级回路：初级回路：次级回路：次级回路：1112()SRj L Ij MIU2221()0LRj LZIj MI1111LjRZ令令 ：初级回路自阻抗：初级回路自阻抗 LZLjRZ2222：次级回路自阻抗：次级回路自阻抗 11 1212220sZ Ij MIUj MIZ I 方程法分析和等效电路法方程法分析和等效电路法11 1212220sZ Ij MIUj MIZ I121111

19、1122()ssUUIMZZZZ12221011222222211()sj MIIZj MUj MIZMZZZZ初级的等效电路初级的等效电路 次级的等效电路次级的等效电路 反映阻抗：反映阻抗： 22211)(ZMZ11222)(ZMZ对含有空心变压器电路的分析既可以采用列对含有空心变压器电路的分析既可以采用列KVL方方程分析，也可采用初级、次级等效电路来分析。程分析，也可采用初级、次级等效电路来分析。【例【例7.4】如图如图7-9所示空心变压器电路，已知所示空心变压器电路，已知L1=3.6H，L2=0.06H，M=0.465H，R1=20，R2=0.08，RL=42，=314rad/s，115

20、 0sUV ，求初级、次级电流。，求初级、次级电流。111120314 3.61130.2 88.99ZRj Lj解：解：采用初级、次级等效电路来分析采用初级、次级等效电路来分析222242.08314 0.0646.1 24.1LZRj LRj111130.2 88.99Z2246.1 24.1Z反映阻抗：反映阻抗：222211()(314 0.465)1130.2 88.9918.8688.99(17.8518.85)MZZj 11111115 0442941115 00.1164.81040 64.8sUIZZjA 初级的等效电路初级的等效电路 221122()(314 0.465)46

21、.1 24.1462.424.1(422189)MZZj 111130.2 88.99Z2246.1 24.1Z反映阻抗：反映阻抗：11(422189)Zj22(17.8518.85)Zj次级的等效电路次级的等效电路 1122222314 0.465 115 01130.2 88.9942.0818.84 17.8518.8514.86 1.10.25 1.159.93sj MUjZIZZjjA 1011sUIZ 去耦等效法分析去耦等效法分析 对含互感的电路进行去耦等效，再进行分析。对含互感的电路进行去耦等效，再进行分析。* *j L11 I2 Ij L2j M+1 UR1R2ZL=RL+jX

22、L1 Ij Mj L12 Ij L2+1 UR1R2ZL=RL+jXL2 理想变压器理想变压器 理想变压器也是一种耦合元件，它是从实际变压器理想变压器也是一种耦合元件，它是从实际变压器抽象出来的。理想变压器必须满足三个条件：抽象出来的。理想变压器必须满足三个条件：（1）无损耗，即：）无损耗，即： （2）全耦合，即耦合系数）全耦合，即耦合系数k1；（3）参数无穷大：）参数无穷大： 但但021 RR12 ML L1,2,L L M 1122 LNnLN 以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想

23、工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。变压器对待，可使计算过程简化。N2 副边的匝数副边的匝数n = N1N2N1N2 i1 u1u2i2n 1：N1 原边的匝数原边的匝数 理想变压器的变比理想变压器的变比理想变压器的电路模型理想变压器的电路模型理想变压器电路模型理想变压器电路模型 （1）变压关系）变压关系21111222221112111112221222全耦合全耦合，12磁通：磁通：11 11122222ddNduNdtdtdtddNduNdtdtdtnNNuu2121N1N2 i1 u1u2i2n 1：nNNuu 2121若若N1N2 i1 u1u2i2n 1：（2）变流关系）变流关系L1L2 i1 u1u2i2MN1N2 i1 u1u2i2n 1：tdiLdtdiMudtdiMdtdiLu22122111理想化条件：理想化条件： 121LLMktdiLdtdiLLudtdiLLdtdiLu2212122211111122uLnuL又又 211111diMiu dtdtLLdt212111Lu dtiLL01L 12111u dtiLn