数学分析实数与数列极限1-9学习教案

1、数学分析实数与数列数学分析实数与数列(shli)极限极限 1-9第一页，共11页。一、表述一、表述(bio sh)(bio sh)上下极限（直观上下极限（直观解释）解释）必必有有收收敛敛子子列列有有界界若若naEan体体记记为为集集合合所所有有收收敛敛子子列列的的极极限限全全将将.极限点集合极限点集合naE的下极限的下极限称为称为 infnaE.inf lim ,nna 记记作作：极极限限点点中中最最小小者者的的上上极极限限称称为为supnaE.sup lim ,nna 记记作作：极极限限点点中中最最大大者者第1页/共11页第二页，共11页。 合合包包括括子子列列极极限限的的集集合合，此此集集

2、表表示示全全体体，仍仍用用无无界界，则则必必有有子子列列若若Ean )(suplimsup)(infliminf可能可能可能可能nnaEaE第2页/共11页第三页，共11页。 ,inf,inf01pnpnnnxxxx ,sup,sup01pnpnnnxxxx . , , , *nnnnnxxxNnxx 且且二、上下极限二、上下极限(jxin)(jxin)的另一种表达的另一种表达方式方式. 称为下数列称为下数列nx. 称为上数列称为上数列nx第3页/共11页第四页，共11页。 ，给给定定数数列列nx nnnnnnnnxxxxsupinflimlimlimlim存在存在存在存在 . ,limsup

3、lim; ,liminflim表示上极限表示上极限可记为可记为表示下极限表示下极限可记为可记为nnnn)17. 1 ,46 (定理定理参见参见 P第4页/共11页第五页，共11页。保序性：保序性： . , ,00nnnnyxNnNyx 时时使得当使得当，若若给定数列给定数列则：则：nnnnyxyx ,;infliminflimnnnnyx .suplimsuplimnnnnyx 第5页/共11页第六页，共11页。nnnnaasupinflimlim 存在。存在。nnnnnnaaalimlimlimsupinf 上下上下(shngxi)(shngxi)极限总是存在的（包括极限总是存在的（包括）5

4、.5.性质性质(xngzh)(xngzh)第6页/共11页第七页，共11页。例例1.1.limlim21AnxxxAxnnnn ，证明，证明设设证明证明(zhngmn(zhngmng)g)：, 0, 0 AxNnNn则则令令 , 1nxxynn nAxAxAxAynn)()()(21 NnAxnNkk ,11 三、应用三、应用(yngyng)(yngyng)举举例例第7页/共11页第八页，共11页。.)1(limsuplim1 NkknnnAxnAy. 0suplim Aynn任意性，任意性，由由 从而从而.limAynn 则则有有两两边边取取上上极极限限 ,. 0supliminflim AyAynnnn第8页/共11页第九页，共11页。例例2.2.AxxxAxxnnnnnn 21limlim, 0, 0证明证明证明证明(zhng(zhngmng):mng):. ,0, 0 AxNnNn有有，对，对.),()(1NnAAxxNNn nNnnNnnnAxxxxxy )(121 .suplimAynn 任意性，任意性，由由 )1(.suplim nnnaAy 取取上上极极限限第9页/共11页第十页，共11页。同理，