2015年高考理科数学新课标全国1卷逐题解析

1、2015年高考理科数学试卷全国卷1(解析版)1.设复数z满足*=i,则|z|=()1 -z(A)1(B)&(C)察(D)2【答案】A【解析】由1一z=i得,z=i=(1+i)(1-i)=i,故忆|=1,故选A.1-z1i(1i)(1-i)考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等2 .sin200cos10o-cos1600sin10o=()(C)【答案】D1，【解析】原式=sin20cos10+cos20sin10=sin30=,故选D.2考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式3 .设命题p：三nwN,n2>2n，则一p为()(A)VnN,n2>2n(B)3nN

2、,n2<2n(C)-nN,n2.2n(D)nN,n2=2n【答案】C【解析】p:VnwN,n2<2n,故选c.考点：本题主要考查特称命题的否定4 .投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()(A)0.648(B)0.432(C)0.36(D0.312【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C；0.62m0.4+0.63=0.648,故选A.考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式25 .已知M(%,y0)是双曲线C:x一y2=1上的一点，

3、Fi,F2是C上的两个焦点，若2TIMF1MF2<0,则y0的取值范围是().3-3、，6/.3、3、(A)(-,)(B)(-,)3366（C）（一涯，涯）（D）（一亚，虫）3333【答案】AX22-*【解析】由题知Fi（-73,0）,F2（/3,0）,胃y0=1,所以MFi*MF2=(-73-X0,-yo)(m-%,-y0)=X2+y；-3=3y2-1<0,解得故选A.考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法6.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米图

4、，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有（）（A）14斛【答案】B(B)22斛(C)36斛(D)66斛【解析】设圆锥底面半径为r,则1M2M3r=8=r=16,所以米堆的体积43为14考点：13()25=33320,320320,故堆放的米约为320+1.6222,故选B.圆锥的性质与圆锥的体积公式7.设D为AABC所在平面内一点(A)?1-14rAD=AB-AC(B)-11-fAD=-AB-4-fAC(C)AD=4r1-AB-AC(D

5、)t4rAD=AB-3由题-1AB+-AC,故选33A.rAD=ACCD=ACBC3考点：平面向量的线性运算8.函数f（x）=cos（8x十中）的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为（13(A) (k,k：一)，kZ4413(C)(k,k-),kZ4413(B) (2k,2k二一),kZ4413(D)(2k,2k),kZ44【答案】D【解析】由五点作图知,1+4+4Ji一23二，解得co=n，邛=2所以f(x)=cos(nx+三)，441一3一令2kn<nx十一<2kn十兀，k匚Z,解得2k-一<xv2k十一，k=Z,故单调减区44413同为(2k2k+)k匚Z,故选

6、D.44考点：三角函数图像与性质9.执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01,则输出的n=()(A)5(B)6(C)7(D)8【答案】C1 一一m【解析】执仃第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=0.5,S=S-m=0.5,m=0.25,n=1,S=0.52 2>t=0.01,是，循环，执行第2次,执行第3次,执行第4次,执行第5次,执行第6次,S=S-m=0.25,m=m=0.125,n=2,S=0.25>t=0.01,是，循环，mS=S-m=0.125,m=0.0625,n=3,S=0.125>t=0.01,是，循环，S=S-m=0.0625,m=m=0.03125

7、,n=4,S=0.0625>t=0.01,是，循环，2S=S-m=0.03125,m=m=0.015625,n=5,S=0.03125>t=0.01,是，循环，mS=S-m=0.015625,m=y=0.0078125,n=6,S=0.015625>t=0.01,是，循环,执行第,m7次，S=S-m=0.0078125,m=0.00390625,n=7,S=0.0078125>t=0.01,否,输出n=7,故选C.考点：本题注意考查程序框图10. (x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为()(A)10(B)20(C)30(D)60【答案】C【解析】在(x2+x+y

8、)5的5个因式中，2个取因式中x2剩余的3个因式中1个取x,其余因式取y,故x5y2的系数为C；C1C；=30,故选C.考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20n,则r=()俯吼图(A)1(B)2(C)4(D)8【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几

9、何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为1,222,2-父4灯+nrM2r+nr+2父2r=5nr+4r=16+20n,解得r=2,故选b.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式12.设函数f(x)=ex(2x1)ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)0,则a的取值范围是()(A)-旦，1)(B)-错误！未找到引用源。，-错误！未找到引用源。)(C)2e4错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。)(D)错误！未找到引用源。，1)【答案】D【解析】设g(x)=ex(2x-1),y=axa,由题知存在唯一的整数小,

10、使得g(x0)在直线y=axa的下方.x一1,.1.因为g(x)=e(2x+1),所以当x<一时，g(x)<0,当xA时，g(x)>0,所221.,4以当x=-2时，g(x)max=-2e,当x=0时，g(0)=-1,g(1)=3e>0，直线y=ax-a恒过(1,0)斜率且a,故3-a>g(0)=-1,且g(-1)=-3e之一a-a,解得一&a<1,故选d.2e考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题13.若函数f(x)=xln(x+4a+x2)为偶函数，则a=【答案】1【解析】由题知y=ln(x+Ja+x2)是奇函数,所以l

11、n(x+Ja+x2)+ln(_x+Q,a+x2)22、=ln(a+xx)=lna=0,解得a=i.考点：函数的奇偶性22xy14.一个圆经过椭圆一+工=1错误！未找到引用源。的三个顶点，且圆心在x轴的164正半轴上，则该圆的标准方程为【答案】(x3)2丫2=空243【斛析】设圆心为(a,0),则半径为4一a,则(4一a)之=a?+2之，解得a=,故232225圆的方程为(x-3)2寸上.24考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程x-1-015.若x,y满足约束条件x-y<0,错误！未找到引用源。则且错误！未找到引xx+y-4W0用源。的最大值为【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，

12、由斜率的意义知，上是可行域内一点与原x点连线的斜率，由图可知，点A(1,3)与原点连线的斜率最大，故卫的最大值为3.考点：线性规划解法16.在平面四边形ABCM,/A=ZB=ZC=75,BC=2则AB的取值范围是【答案】（娓丘,76+72）【解析】如图所示，延长BACD交于E,平移AD,当A与D重合与E点时，AB最长，BCBE在4BCE中，/B=/C=75,/E=30,BC=2,由正弦定理可得=,即sinZEsinZC2BEo=解得BE=J6+拒，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时sin30sin75与AB交于F,在BCF中，/B=/BFC=75,/FCB=30,由正弦定理知，BFsin

13、.FCBBCsin.BFC一BF2,即=o,解得BF=J6一衣，所以AB的取值sin30sin75o范围为（岳叵,J6+J2）考点：正余弦定理；数形结合思想17.（本小题满分12分）Sn为数列an的前n项和.已知an>0,a2+an=错误！未找到引用源。.（I）求an的通项公式；（n）设bn=1错误！未找到引用源。，求数列Jbn的前n项和.anan111【答案】（I）2n+1（n）64n6【解析】试题分析：（I）先用数列第n项与前n项和的关系求出数列an的递推公式，可以判断数列an是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列an的通项公式；（n）根据（i）数列bn的通项公式，再用拆项消

14、去法求其前n项和.试题解析:(I)当n=1时，a；+2al=46+3=4a1+3,因为an>0,所以&=3,2，anan48n+3-4Sn-3=4an,即(anan)(anHn)2a必为aan>0,所以anan)=2,所以数列an是首项为3,公差为2的等差数歹U,所以&=2n+1；(H)由(I)知,-11/11bn=()，(2n1)(2n3)22n12n3所以数列bn前n项和为,11111b2HIbn=()()-III-(2355712n12n3"I14n6考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法18.如图，四边形ABC的菱形，

15、/ABC=120,E,F是平面ABC胴一侧的两点，BE1平面ABCDDU平面ABCDBE=2DFAE±EC.B（I）证明：平面AECL平面AFC;（n）求直线AE与直线CF所成角的余弦值【答案】（I）见解析（n）【解析】试题分析：（I）连接BD设BmAC=G连接EGFGEF,在菱形ABCDK不妨设GB=1易证EGLAC,通过计算可证EGLFG根据线面垂直判定定理可知EG,平面AFG由面十x，十x一八，T-L一心面垂直判定定理知平面AFCL平面AEC（n）以G为坐标原点，分别以GB,GC的万向为X轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz,利用向量法可求出异面直线

16、AE与CF所成角的余弦值.试题解析：（I）连接BD,设BDHAC=G连接EGFGEF,在菱形ABCD43,不妨设GB=1由/ABC=120,可得AG=GC=3.由B已平面ABCDAB=B（M知，AE=EC又A已EC,，EG=翼,EGLAC,在RtEBG中，可得-,2BE=72,故DF=-,在RtFDG中，可得fg6FG-.在直角梯形BDFE中,由BD=2BE=72,DF=g可得EF=3后,EG2+FG2=EF2,EGLFG,.A6FG=GEGL平面AFCEG=WAEC；平面AFC1平面AEC.(n)如图，以G为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角

17、坐标系G-xyz，由(I)可得A(0,-V3,0),E(1,0,72),f（1,0,遮），c（0,73,0）,.ae=（1,V3,72）,cf=（-1,-73,）.1022TTAECF故cos：AE,CF=T-|AE|CF|3所以直线AE与CF所成的角的余弦值为考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力x(单位：千元)19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)白影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.620wo-540-*$

18、20500h*AWjI上二,LJlL_l*11儿4K0Uit3H40423464x505254%T/t4x4y1Tw8工(xi-x)2i=48/I22(wi-w)i=48Z(xi-x)(Yi-y)i8工(wi-w)(Yi-y)i=146.656.36.8289.81.61469108.8+»18表中Wi=R,w=-ZWi8y,（I）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dJX哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（n）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（出）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据

19、（n）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1,v1）,（u2,v2）,（un,vn）,其回J13线v=ot+Pu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：理£（%一二）（专一力.八一日p-,a=v-flu£佃-以尸【答案】（I）y=c+d4适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型；（n）y=100.668、x（m）46.24【解析】试题分析：（I）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（n）令w=Jx,先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方

20、程；（出）（i）利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ii）根据（n）的结果知，年利润z的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.试题解析:(I)由散点图可以判断，y=c+dJX适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型.(n)令w=JX,先建立y关于w的线性回归方程，由于8_108.8i=6816x(Wi-w)(yi-y)d=-/一、2、(w-w)i4C=y-dw=563-68X6.8=100.6.y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w,.y关于x的回归

21、方程为y=100.6+68jX.(m)(i)由(n)知，当x=49时，年销售量y的预报值y=100.6+68屈=576.6,Z=576.60.2-49=66.32.(ii)根据(n)的结果知，年利润z的预报值Z=0.2(100.6+68西-x=-x+13.64+20.12,当4=曳6=6.8,即x=46.24时，Z取得最大值.2故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识x220.(本小题满分12分)在直角坐标系xoy中，曲线C：y=7与直线y=kx+a(a>0)交与M,N两点，(I)当k=0时，分别求C在

22、点M和N处的切线方程；(n)y轴上是否存在点巳使彳导当k变动时，总有/OPMgOPN说明理由.【答案】(I)Taxya=0或>/ax+y+a=0(n)存在【解析】试题分析：(I)先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.(n)先作出判定，再利用设而不求思想即将y=kx+a代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PMPN的斜率之和用a表示出来，禾1J用直线PMPN的斜率为0,即可求出a,b关系，从而找出适合条件的P点坐标.试题解析：(I)由题设可得M(2ja,a),N(2&,a),或M(225a，N(2ja,a).y=1x,故

23、y='在x=2J2a处的到数值为RC在(2J2a,a)处的切线方程为24y-a=Va(x-2>/),即Tax-y-a=0.2故丫='在x=-2j2a处的到数值为-石C在(-2j2a,a)处的切线方程为4y-a=-何十2病，即axya=0.故所求切线方程为-y_a=0或jax+y+a=0.(n)存在符合题意的点，证明如下：设P(0,b)为复合题意得点，M(xi,yi),N(x2,y2),直线PMPN的斜率分别为Kk.将y=kx+a代入C得方程整理得x2-4kx-4a=0.x1x2=4k,x1x2-4a.,&k2,yb.y2,=2kxix2(a-b)(xix2)=kl

24、g)x1x2x1x2当b=-a时，有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故/OPM=OPN所以P(0,a)符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力3121.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x+ax+,g(x)=-lnx.4(I)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；(n)用min(m,n)表示m,n中的最小值，设函数h(x)=minf(x),g(x)(x>0),讨论h(x)零点的个数.335一3【答案】(i)a=一；(n)当a>或aM时，h(x)由一个手点；当a=或44445,、53.a=一二时，h(x)有两个零

25、点；当一二Ma<二时，h(x)有三个零点.444【解析】试题分析：(I)先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a值；(n)根据对数函数的图像与性质将x分为x>1,x=1,0<x<1研究h(x)的零点个数，若零点不容易求解，则对a再分类讨论.试题解析：(I)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)=0,f'(x0)=0,31八何Xoa%一=0即423x0a=03因此，当a=时，x轴是曲线y=f(x)的切线.4(n)当xw(1,/)时，g(x)=_lnx<0,从而h(x)=minf(x),g(x)<g(x)<

26、;0,h(x)在(1,+8)无零点5一一5一当x=1时，右a之一一，则f0=a+0,h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,故x=14455是h(x)的零点；若a,则f(1)=a+，h(1)=minf(1),g(1)=f(1)<0,44故x=1不是h(x)的零点.当xw(0,1)时，g(x)=lnx>0,所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数(i)若aW4或a20,则f'(x)=3x2+a在(0,1)无零点，故f(x)在(0,1)单1.5一一倜，而f(0)=,f(1)=a+,所以当aE3时，f(x)在(0,1)有一个零点；当44a20时，f(x)在(0,1)无

27、零点.(ii)若3<a<0,则f(x)在(0,单调递减，在(J-1,1)单调递增,故当x=/a时，f(x)取的最小值，最小值为f(J|)=2a-1+1.若f(,/一亘)>0,即一令<a<0,f(x)在(0,1)无零点.'，34若f(J-)=0,即a=一4,则f(x)在(0,1)有唯一零点;若f(</-)<0,即3<a由于f(0)=,f(1)=a+',所以当,344453一一.5<a<时，f(x)在(0,1)有两个手点；当一3<aM时，f(x)在(0,1)444有一个零点.10分一35.一35.综上，当a>或

28、2<时，h(x)由一个零点；当a=或2=时，h(x)有4 4445 3两个夺点；当<a<时，h(x)有二个零点.6 4考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想22.(本题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图，AB是0。的直径，AC是Oq的切线，BC交00于E.(I)若D为AC的中点，证明：DE是0。的切线；(n)若OA=73CE,求/ACB的大小.【答案】(I)见解析(n)60°【解析】试题分析：(I)由圆的切线性质及圆周角定理知，AE!BC,AC!AB,由直角三角形中线性质知DE=DCOE=OB利用等量代换可证/DEC吆OEB

29、=90,即/OED90°,所以DE是圆O的切线；(II)设CE=1,由OA=J3CE得，AB=2j3,设AE=X,由勾股定理得BE=#2X2,由直角三角形射影定理可得AE2=CEBE,列出关于x的方程,解出X,即可求出/ACB的大小.试题解析：(I)连结AE,由已知得，AE±BC,AC!AB,在RtAEC中，由已知得DE=DC/DEC=zDCE连结OE/OBE=ZOEB/ACB吆ABC=90,.DEC+OEB=90,，/OED=90,DE是圆O的切线.(n)设CE=1,ae=x,由已知得AB=2j3,BE=Jl2-x2,由射影定理可得，AE2=CEBE,X2=J12-X2,解得X=>/3,.ZACB=60°考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程22在直角坐标系XOy中，直线C1:X=-2,圆C2：(X-1)+(y2)=1，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求C1,C2的极坐标方程；(n)若直线C3的极坐标方程为8=工(PwR),设C2与C3的交点为M,N,