2015年湖北高考数学试卷(理科)及详细答案Word版)资料

1、绝密启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。全卷?茜分150分。考试用时120分钟。祝考试顺利注意事项：1 .答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2 .选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3 .填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4 .选考题的作答

2、：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5 .考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i为虚数单位，i607的共期为A.iB.-iC.1D.-12.我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A.134石B.169石C.338石D.1365石3.已知（1+x）n的展开式中第4项与第8

3、项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A.212B,211C.210D.294.这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中设X：N(H,仃；)，Y：N(%52),正确的是A. P(Y-J2)P(Y4)B. P(X三二2)±P(X5)C.对任意正数t,P(X<t)之P(Y<t)D.对任意正数t,P(X>t)>P(Y>t)第4题图5.设国色,，anWR,n>3,若p：&,a?,，an成等比数列；.222.222.2q：(ai+a2+an1)(a2+a?+an)=(a1a2+a2a3+anan),贝UA.p是q的充分条件，但不是q的必要条件

4、B. p是q的必要条件，但不是q的充分条件C. p是q的充分必要条件D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件1,x0,6 .已知符号函数sgnx=40,x=0,f(x)是R上的增函数，g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),-1,x：0.则A.sgng(x)=sgnxB.sgng(x)=sgnxC.sgng(x)=sgnf(x)D.sgng(x)=-sgnf(x)17 .在区间0,1上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y至1”的概率，历为事件2，11|xy|E”的概率，6为事件xyW”的概率，则22A.p1<p2<p3B.p2cp3<p1C.p3：二p1：二

5、p2D.6：p2：二p18 .将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a¥b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为金的双曲线C2,则A.对任意的a,b,0>2B.当ab时，e为；当a<b时，C.对任意的a,b,ei<e2D.当aAb时，e<金；当a<b时，e>金9 .已知集合A=(x,y)x2+y2M1,x,yWZ,B=(x,y)|x|<2,|y|<2,x,y=Z，定义集合A®BX(x+x,y+y)(x,y/A",2y)，贝BA5B中元素的个数为A.77B.49C.45D.3010 .设xW

6、R,x表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得t=1,t=2,tn=n同时廖立，则正整数n的最大值是A.3B.4C.5D.6二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（1114题）11,已知向量OA_LAB,|OA|=3,则OAQB=,2X兀12 .函数f(x)=4coscos(x)2sinx|ln(xN)|的夺点个数为22A处时测得公路北侧一山顶D在13 .如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到75二的方向上，仰西偏北30二的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西

7、偏北角为30、则此山的高度CD=m.第13题图14 .如图，圆C与x轴相切于点T（1,0）,与y轴正半轴交于两点A,B（B在A的上方），且AB=2.（I）圆C的体谯方程为;（n）过点a任作一条直线与圆0。2+丫2=1相交于“川两点，下列三个结论：回二回.网一吧网+幽=2立NBMB'NAMB'NAMB其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选15.（选彳4-1:几何证明选讲）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线,的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选，则按第15题作答结果计分.

8、）16.（选彳4-4:坐标系与参数方程）且BC=3PB,贝U当AC在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l1x=t,的极坐标方程为P（sin9-3cos0）=0,曲线C的参数方程为tt（t为参数），y=t；l与C相交于A,B两点，则|AB|=三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(cox+中)(>0,|啊<J在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表:ccx+910兀2it3兀万2兀x兀35兀-6Asin（®x+中）05

9、-50(I)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(n)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动6(6>0)个单位长度，得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(5，0),求日的最小值.1218.(本小题满分12分)设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,等比数列bn的公比为q.已知匕=曲,b2=2,q=d,S10=100.(I)求数列an,bn的通项公式；(n)当d>1时，记Cn=曳，求数列Cn的前n项和Tn.bn19 .(本小题满分12分)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直

10、角三角形的四面体称之为鳖月需.第19题图如图，在阳马P-ABCD中，侧棱PD_L底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF_LPB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.(I)证明：PB_L平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖月需，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(n)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为-,3求股的值.BC20 .（本小题满分12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元.要求每天B产品的产量不超

11、过A产品产量的2倍，设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取白鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量.（I）求Z的分布列和均值；（n）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.21 .（本小题满分14分）一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处钱链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内作往复运

12、动时，带动N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.（I）求曲线C的方程；（n）设动直线l与两定直线l1：x2y=0和l2：x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.yf1次112y1A/°BM第21题图122.（本小题满分14分）已知数列an的各项均为正数，4/dOxM第21题图21n.bn=n(1+)an(n=N可，e为自然对数的底数.n（I）求函数f（x）=1+x_ex的单调区间，并比较

13、（1十1）”与3的大小；n（n）计算上处，9b%,由此推测计算hb26的公式,并给出证明；aaa2aa2a3a1a2a。i（出）令Cn=（晒2an）n,数列an,Cn的前n项和分别记为Sn,Tn,证明：eSn.绝密启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学(理工类)试题参考答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)I .A2,B3.D4.C5.A6.B7.B8.D9.C10.二、填空题(本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分)II ,912.213.1006221_14. (I)(x-1)+(y_<2)=2;(n)15.-16.2J5三、解答

14、题(本大题共6小题，共75分)17. (11分)(I)根据表中已知数据，解得A=5,0=2,5=,数据补全如下表:6ox+邛07t2it3兀22兀x兀127t372t125兀6137t12Asin(ccx+中)050-50且函数表达式为f(x)=5sin(2x-).6(n)由(I)知f(x)=5sin(2x-),得g(x)=5sin(2x+2日一).66因为y=sinx的对称中心为(k兀0),k=Z.令2x+2日_兀=卜兀，解得x=k兀+兀_曰,kwZ.6212由于函数y=g(x)的图象关于点(2,0)成中心对称，令反十二9=目1221212解得，kz.由e>0可知，当k=1时，日取得最

15、小值-.23618. (12分)(I)由题意有,10a145d=100,2a19d=20,即&d=2,a1d=2,Jai=9,或2d二一.9an=2n-1故bn=2an或bn1二(2n79),9=9(马n.9(n)由d>1,知an=2n_1,bn-n1二2一2n-1于是2n-1-n152一2n一1丁113579aTn=27宕2T了-可得11112n-12n3Tn=22,一n2-n-=3n-,2222-22卅T«2n3蚊Tn6-n1-2.19. (12分)(解法1)(I)因为PD，底面ABCD,所以PD1BC,由底面ABCD为长方形，有BC_LCD,而PDACD=D,所以

16、BC，平面PCD,而DEU平面PCD,所以BC_LDE.又因为PD=CD,点E是PC的中点，所以DE_LPC.而PCPlBC=C,所以DE_1平面PBC.而PBU平面PBC,所以PB_LDE.又PB_LEF,DEClEF=E，所以PB_L平面DEF.由DE_L平面PBC,PB_L平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖月需，其四个面的直角分别为ZDEB,/DEF,/EFB,/DFB.(n)如图1,在面PBC内，延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ABCD的交线.由(I)知，PB_L平面DEF,所以PB1DG.又因为PD_L底面ABCD,所以PD

17、_LDG.而PD仆PB=P,所以DG_L平面PBD.故NBDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD=DC=1,BC=九，有BD=.1十九2,在RtAPDB中，由DF_LPB,得/DPF=/FDB=,3则tan-=tan/DPF=BD=由+铲'=技解得2=41.3PD所以照:1.BC2故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为工时，DC=3BC2(解法2)(I)如图2,以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设PD=DC=1,BC=，一则期瞅PB儿C,PB=(41,_1),点E是PC的中点，所以E(0,1,1),DE=(0,1)，222

18、2于是PB，DE=0,即PB1DE.又已知EF1PB,而DEPlEF=E,所以PB_L平面DEF.因PC=(0,1,-1),DEPC=0,则DE_LPC,所以DE，平面PBC.由DE，平面PBC,PB_L平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，第19题解答图1第19题解答图2a-bi(n)由PD_L平面ABCD,所以DP=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量；由(I)知，PB_L平面DEF,所以BP=(-九一1,1)是平面DEF的一个法向量用cos-一一3|BP|DP|解得虱=短.所以四=1=：BC九故当面DEF与面ABCD所成二一J，+22返.2二面角的大小为时，匹=其3B

19、C2若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为-,3兀BPDP1120.(12分)(I)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z,则有2x1.5y<W,x1.5y<12,2x-y_0,l'x：二0,y=0.目标函数为z=100x12W0(1)第20题解答图1第20题解答图2第20题解答图3当W=12时，(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分别为A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).将z=1000x+1200y变形为y=_5x+z,61200当x=2.4,y=4.8时，直线l:y=x+z在y轴上的截距最大，61200最大获利Z=Zmax=2.4X1

20、000+4.8X1200=8160.当W=15时，(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(7.5,0).将z=1000x+1200y变形为y=_5x+z-612005 z当x=3,y=6时，直线l:y=-5x+在y轴上的截距最大，6 1200最大获利Z=zmax=32000+6m1200=10200.当W=18时，(1)表示的平面区域如图3,四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).5 z将z=1000x+1200y变形为y=-x+J6 1200当x=6,y=4时，直线l：y=_5x+在y轴上的截距最大，61200最大获利Z=zma

21、x=6M1000+4父1200=10800.故最大获利Z的分布列为Z81601020010800P0.30.50.2因此，E(Z)=81600.3102000.5108000.2=9708.(n)由(I)知，一天最大获利超过10000元的概率p1=P(Z>10000)=0.5+0.2=0.7,由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为33p=1-(1R)=1-0.3=0.973.21.(14分)(I)设点D(t,0)(|t|<2),N(x),y0),M(x,y),依题意,MD=2DN，且|DN|=|ON|=1,第21题解答图-22(x0-t)，y0=1,所以(t-

22、x,-y)=2(x0-t,y°),且22X0V。二1t-x=2x0-2t,即V且t(t2x0)=0.y=-2九.由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0,22于是t=2x°,故设=",丫0=一丫，代入x2+y；=1,可得>+y=1,4216422即所求的曲线C的方程为士+2=1.1641(n)(1)当直线l的斜率不存在时，直线l为x=4或x=-4,都有S*Pq=父4父4=8.1(2)当直线l的斜率存在时，设直线l:y=kx+m(k#±),2,y=kxm,222由W22消去y,可得(1+4k)x+8kmx+4m-16=0.x-21.4k212当

23、k>一时，Spq=8()=8(1+)>8；4k-14k-12)八214k1、,2、当0Mk"时，Sopq=8(-t)=8(-1+t).41-4k1-4k4y2=16,因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，y=kxm,又由,x-2y=0,可得P(k由原点O到直线PQ的距离为d所以A=64k2m24(1+4k2)(4m216)=0,即m2=16k2+4.上一)；同理可得Q(二2m一)1-2k12k12k空1T和|PQ|="1+k2|xp%|,可得1k2_1八S.Opq=21PQ1.，1，|m|xp-xq尸2|m|2m2m1-2k12k2m21-4k2将代入得,2m21-4k24k2-1因0Ek2<1,则0<1-4k2<1,22之2,所以S由pq=8(1+22)>8,一41-4k-:1-4k一当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时，SPQ的最小值为8.综合(1)(2)可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ的面积取得最小值