2017-2018-1数值分析试题A卷标答

1、我僵制我上母2017年2018年第1学期试题标答课程名称：数值分析考生学号：试卷类型：A卷，B卷口专业年级：2017级研究生考生姓名：考试方式：开卷V闭卷口注意：本次考试采取开卷考试，考生可使用纸质参考资料和专用的计算器；不得使用任何电子参考资料。一、选择题（5小题，每小题3分，共3*5=15分）1,已知数X1=721,X2=0.721,X3=0.700,X4=7X10-2是由四舍五人得到的，则它们的有效数字的位数分别为（A）。A.3,3,3,1;B.3,3,3,3;C.3,3,1,1;D.3,3,3,22.牛顿下山法Xk1Xk小口中的取值范围是（C）。f（Xk）A.<0;B,0<

2、<1;C,0<1;D.>13,用选主元的方法解线性方程组Ax=b,是为了（B）0A.提高计算速度；B,减少舍入误差；C.减少相对误差；D,方便计算4.以下命题正确的是（A）。A.过n+1个互异节点的牛顿插值多项式最高次幕的系数为fx0,X1,乂4（此项不为0时）；B.过节点（x0,y。），（x1,y1），（xn,yn）（n>3）,则均差fx3,X0,X4#X4,X0,X3；C.过n+1个互异节点的拉格朗日插值多项式一定是n次多项式；D.对于给定的数据作插值，插值多项式存在且唯一。5,有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是（A）次的。A.5;B.6;C.7;D.3二、填

3、空题(5小题，每小题3分，共3*5=15分)1 .为了避免计算时有效数字的丢失，如在求式子yxnjx的值，应将其变换成(1)进行计算。、x1x2 .用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为3 .对于给定的n+1个插值节点Xo,X1,Xn,f(x)的埃尔米特插值多项式的次数不超过(2n1)次。54 .已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,则用辛普生公式计算求得f(x)dx(12)15 .对于试验方程yy,显式Euler方法的绝对稳定区域为(|1|1)312Xi0三、(10分)用LU分解法求解方程组634x21。315x33解：由题意分解有10031

4、2A210010LU.（5分）101003由LYb,可得Y0,1,3To（3分）由UXY,可得X1,1,1To（2分）10a0四、(10分)设Ab10b,detA0,用a,b表示线性方程组Ax=f的Jocabi0a5迭代法和Gauss-Seidel迭代法收敛的充分必要条件解：Jacobi迭代矩阵为10BjD1(LU)1010(3分)iIBj|(23ab100-），则Bj的谱半径为(Bj)31abi100从而Jacobi迭代法收敛的充要条件为(Bj)100(2分)Gauss-Seide迭代矩阵为_1Bg(DL)U10ab100a2b10，ab500502iIBg|2(3ab100）,则Bg的谱半

5、径为(Bg)3|ab|100从而Gauss-Seidel迭代法收敛的充要条件为1ab1100(2分)五、（10分）取h=0.1,用改进的Euler法求初值问题yyx1y(0)1在x=0.1,0.2处的近似值。解：改进的欧拉法公式为yn112h(1h”)yn2(2h)Xnh（6分）（4分）=1.105yn-0.105xn+0.1;y1=1.205,y2=1.421025六、(15分)设f(x)x43x3x210,x01,x13,x22,x30。求以X0,N3(x)115(x106x1)4(x1)(x3)(x1)(x3)(x2)236xx(5分)R3(x)f(4)(4!)(XX0)(XXi)(XX

6、2)(xX3)x(x1)(x3)(x2)(5分)X1,X2,X3为节点的3次插值多项式，并给出插值余项表达式。解：计算差商表如下：Xif(Xi)一阶差商二阶差商三阶差商1-113-15-234740-10-225-1(5分)七、（15分）应用牛顿法于方程f（x）x2a0,导出求“的迭代公式，并且求limk(aXk)2'用此迭代公式求后5的值（取初值X0=10）,保留小数点后6位。解:f(x)2xa,f(x)2x,由牛顿迭代公式得Xk1Xk2Xka2xk2(Xka),k0,1,2,Xk.（6分）kimf(a)（2）对于X1(aXk)2115,取x10.750000,2f(a)10,迭代计算得x210.723837,x310.723805,x410.723805,(4分)(5分)故.11510.723805,1n,八、(10分)已知f(x)dxAkf(xk)是Gauss型求积公式，1k(x)是xk处对应k0的Lagrange基函数，证明i21Jk(x)dxlk(x)dx,k0,1，n。1 12 一一证明：lk(x)与lk(x)分别为n次和2