高中数学复习专题-矩阵与行列式

1、专题八、矩阵与行列式鬼阵元紊-矩阵ap血圣旦叫维数L线性方程组的紊数矩阵“增广魚阵、亍旬量f列向量、单位拒阵加法；满足交按律和结合律矩阵运算减法：满足交换律和结合律矩阵与实数的积：满足分配律和结合律矩阵的乘积：Cn=AmXkBkXn.不满足交换行JLfawwwuwwuv _-ri-_'i. r母于武：张代数余子式：-1 >行列式展开式.某存列的元素分别与它们的代数余子式乘积的和厂止行.列依次对调，行列式的值不变行列式-2.两行或两列对调，行列式的負变号玉萇行或列所有元素乘以徽IG所得荷列式的負等于原厅列式值的k倍4.某两行或两列的元素对应成出例F疔列式的值为零行列式性虚5某行或列

2、的所有元素乘以冋一个埶加到另创或列的对应 元素上，行列式的值不变&某一打或-列的元素与另一行或一列的尤素的代数 余于式对应相乘那么它们的乘积之和等于零7.'氐三点共线的充分必要条件为斗:二元/三元一次方程组的解；D旳方程组有唯一解;方程组无解或有无數组解1矩阵：m n个实数aij ,i 1,2, m； j 1,2, n排成m行n列的矩形数表ai1 ai2 ainAa12 " a2n叫做矩阵。记作Am n， m n叫做矩阵的维数。am1 an2amn矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的 元素。2线性方程组的系数矩阵、方程组的增广矩阵、行向量、列向量、单位矩阵。a1

3、x b1y ga2x b2y c23线性方程组矩阵的三种变换： 互换矩阵的两行； 把某一行同乘除以一个非零的数； 某一行乘以一个数加到另一行。变换的目的 是将线性方程阻系数矩阵变为单位矩阵，其扩充矩阵的最后一列就是方程组的解。4矩阵运算：加法、减法及乘法1矩阵的和差：记作：A+B A-B.运算律：加法交换律：A+B=B+A ;加法结合律：A+B+C=A+ B+C2矩阵与实数的积：设为任意实数，把矩阵 A的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵A与实数的乘积矩阵，记作： A.运算律：分配律：A BA B ； ()A A A ；结合律：AAA ;3矩阵的乘积：设 A是m k阶矩阵，B是k n阶矩阵，设C

4、为m n矩阵。如果矩阵 C 中第i行第j列元素Cj是矩阵A第i个行向量与矩阵B的第j个列向量的数量积， 那么C矩阵 叫做A与B的乘积，记作：CmX n=A mx k Bkx n.运算律：分配律：A(B C) AB AC , (B C)A BA CA;结合律： AB AB AB , AB C A BC ；注意:矩阵的乘积不满足交换律，即AB BA。5二阶行列式的有关概念及二元一次方程组的解法：一a1x b1y c1设二元一次方程组*其中x, y是未知数，ai,a2,d,b2是未知数的系数a2x b2 y C2且不全为零，G,C2是常数项用加减消元法解方程组*丨：sb? C2 biaib2 a2

5、biaC2 玄2&ab2 a 2 ba 1 b：玄20 .当 a1 b2引入记号a2b|0时，方程组*丨有唯一解:ai a2bib2表示算式 印 a2bi，即ai a2从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列 式的元素、对角线法那么等。aibiCibiaic记 D, Dx, Dy，那么：a2b2C2b2a2C2a bi当D=a i b2 a2b 0时，方程组*丨有唯一解,a2 b2可用二阶行列式表示为 当D=0时，Dx Dy 0，方程组*丨无穷组解； 当D=0时，Dx 0,or Dy 0，方程组*无解。一a b系数行列式D也为二元一次方程组解的

6、判别式。a2 b26三阶行列式1三阶行列式的展开方法: 对角线方式展开：山2U 直=盘&2匕主 +斗建g右匸2 '还3心2卞1a3 鸟 5或列展开法:aliai2ai3a2ia22a23a3ia32a33=aiia22a23a32a33按某一行=aiia22a33ai2a23a31AI2(ai3a2ia32aiia23a32ai2a2ia33ai3a22a3ia2ia2ia22a22a23i ia2ia23，Aii( i) M ii，Mi2a32a33a3ia33a23 +ai3-ai2?a3ia32a3ia331)1 2ma2ia22i2 ,称为元素aij的余子式，a3ia3

7、2即将元素ai jAi31)1 3mi3 ,所在的第一行、第j列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式类似可以定义其它元素的余子式称Aij为元素aij的代数余子式,Aj ( 1)1 jMij j i,2,3)。aiiai2ai3那么三阶行列式就可以写成D =a2i a22a23=aii Aiiai2 Ai2ai3 Ai3，a3i a32a33这就是说，一个三阶行列式可以表示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积的和。上式称为三阶行列式 按第一行展开的展开式。类似地，假设将 D按别的行或列的元素整理，同 样可得行列式按任一行列展开式。2三阶行列式的性质：行、列依次对调，行列式的值不变，

8、即阳 3】5勺也碍j心2巾=0】b、 b?爲5CCj匸笔 两行或两列对调，行列式的值变号，如cijcL碍鸟G呦為C2=也巾也6 c3dtj % q 某行或列所有元素乘以数k,所得行列式的值等于原行列式值的k倍，如 某两行或两列的元素对应成比例，行列式的值为零。 某行或列的元素都是二项式，该行列式可分解为两个行列式的和，如珂十日 $十e龟 妇某行或列的所有元素乘以同一个数，加到另行或列的对应元素上，行列式的值不变，如+ k亡 $c 2二幻% sdf3+ kg 6衣335性质：女对应相乘，那么它们的乘积之和等于零。7用三阶行列式求三角形的面积：假设 ABC三个顶点坐标分别为Xi, yj、X2, y

9、2、X3, y?，那么 S ABCXiX2X3yiy2y3，所以A、X1y11C三点共线的充分必要条件为x2 y210 .X3 y318.三兀次方程组的解法：a1xbyGz设三兀次方程组 * a2xb2yc2za3Xb3yC3Z未知数的系数，且不全为零,d1d2，其中 X，y,z是未知数，ai、b、q、i 1,2,3是d3dii 1,2,3是常数项。F面用加减消元法解方程组* ：我们把方程组* 的系数行列式记为 D印b|Ga2 b2 02，用D的兀素a1、a2、a3的代数余子式Ai、A2、A3依次乘以方程组* 的各方程，得a1 Ax4阳C1A1Zd1 Aia2 A2xb2A2yC2 A2Zd

10、2 A2 ,asAsXbsAsyC3A3Zd 3A3将这三个式子相加，得：qAx ctA2aAxbAb2A2dAOycAcAqAz 4AdzA其中式中x的系数恰为*的系数行列式 D。由于y与z的系数分别是 D的第一列元素的代数余子式的乘积之和，因此y与z的系数都为零。式的常数项可表示为Dx类似地，用D的元素b1、b2、可推得D?y=D y；用D的元素各方程，可推D?z=D z，其中由方程组 DDxDy，Dzi当D 0时,dibicid2b2c2d3b3C3，于是式可化简为 D?x=D x。b3的代数余子式Bi、B2、B3依次乘以方程组*丨的各方程,C1、c2、5的代数余子式Ci、C2、C3依次

11、乘以方程组*丨的C1a1 b1d1Dya2 d2 C2，Dza2b2 a2a3d3C3a3b3d3可见,方程组对于三元一次方程组有唯一解 yDxD巳D旦D其系数行列式为 D,那么:ii当 D=0，DxDyDz0时，方程组*无解;iii 丨当 D=0， Dx DyDz0时，方程组*有无穷多解。1 2例1.A 2 1，B2 3，那么AB3 1BA例2.假设三阶行列式按第二行展开为c ab ab ca bc bc a，求该三阶行列式。mx y z 1例3求关于x、y、z的方程组x my z m有唯一解的条件,2x y mz m并把在这个条件下的解求出来。变式训练：1假设线性方程组的增广矩阵为 2假设

12、三条直线 ax y 3a131 12的值为2 1 13,t 0,函数f(x)23Gx2，解为32c2y10 , xy20 和 2xysincos的最小正周期为贝y C1 2=1o相交于一点，那么行列式，将f (x)的图像向左平移t个单位，所得图像对应的函数为偶函数，贝Ut的最小值为 4把X2 y2X3 y3X3 y34x y1表示成一个三阶行列式 y25假设 ABC的三个顶点坐标为 A(1, 2), B( 2,3), C( 4, 5)，其面积为 aa2abc6假设a,b,c表示 ABC的三边长，且满足bb2abc0,贝U ABC是cc2abcA.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形7假设复数z满足z 40,那么z的值为 1 z8设厶ABC的内角A,B,C所对的边长分别为 a,b,c.a b c 3a假设b a b c139假设三阶行列式2n 120m中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是15，4m 1 2n 110数列an的通项