高中数学复习提纲

1、第一章集合与简易逻辑集合及其运算一. 集合的概念、二. 集合的特征：分类：确定性无序性互异性三.表示方法：列举法描述法图示法区间法四.两种关系：附属关系：对象、 集合；包含关系：集合、 集合五三种运算：交集：A1B x|x A且 x B并集：AUB x|x A或 x B补集：CUA x|x U 且 x A六运算性质： aU a , aPi. 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.假设 A B，那么 Ad B A , aU B B . A "(CuA ), A U(uA ) U , C(j(°uA) A .(Ga)n() Oj(aUb ) , ()U(Gb ) Cu(

2、aDb ). 集合ai,a2,a3, ,%的所有子集的个数为 2n，所有真子集的个数为2n 1，所有非空真子集的个数为2n 2，所有二元子集含有两个元素 的子集的个数为c2 .简易逻辑一. 逻辑联结词：1. 命题是可以判断真假的语句的语句， 其中判断为正确的称为真命题，判断为 错误的为假命题.2. 逻辑联结词有“或、“且、“非.3. 不含有逻辑联结词的命题，叫做简单命题，由简单命题再加上一些逻辑联结 词构成的命题叫复合命题.4. 真值表:pq非pp且qP或q真真假真真真假假真假真真假真假假假假二. 四种命题：1. 原命题：假设p那么q逆命题：假设P那么q,即交换原命题的条件和结论；否命题：假设

3、q那么p,即同时否认原命题的条件和结论；逆否命题：假设P那么q,即交换原命题的条件和结论，并且同时否认.2. 四个命题的关系： 原命题为真，它的逆命题不一定为真； 原命题为真，它的否命题不一定为真； 原命题为真，它的逆否命题一定为真.三. 充分条件与必要条件1. “假设p那么q 是真命题，记做p q，“假设p那么q 为假命题，记做p卄q，2. 假设p q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件3. 假设p q，且pbq，那么称p是q的充分非必要条件；假设pq，且p q，那么称p是q的必要非充分条件；假设p q，且p q，那么称p是q的充要条件；假设p*q，且pbq，那么称p是q的既不充分也不

4、必要条件.4. 假设p的充分条件是q，那么q p ；假设p的必要条件是q，那么p q .第二章函数指数与对数运算一.分数指数幕与根式：如果Xn a，那么称X是a的n次方根，0的n次方根为0,假设a 0，贝U当 n为奇数时，a的n次方根有1个，记做n a ;当门为偶数时，负数没有n次方 根，正数a的n次方根有2个，其中正的na .负数没有偶次方根；n次方根记做na.负的n次方根记做1.2.两个关系式：(：a)n3、正数的正分数指数幕的意义:正数的负分数指数幕的意义:nfT a a ； a|a|mama盲n为奇数n为偶数n m. a ；1n m、a4、分数指数幕的运算性质：1.mm n m na

5、a a(am)namn;a01，其中.对数及其运算定义：假设abna(a b)m2.两个对数：常用对数:自然对数:3.三条性质：1的对数是4.n均为有理数,a, b均为正整数N (a 0，且 a 1，N 0)，那么 b loga10 , b log io Ne 2.71828, blgN ;loge N In N .0,底数的对数是即 loga 10 ；1,即 loga a 1 ；负数和零没有对数.四条运算法那么： lOga(MN) lOgaM loga N ； log aM loga MNlOg a N ； log a M n n log a M ; 1 loga n M log a M .

6、n5. 其他运算性质: 对数恒等式：alogab b;换底公式:loga blogca logcb logab logbC logaC; logab logba 1 ; logambn loga b .m函数的概念一. 映射：设A、B两个集合，如果按照某中对应法那么 f，对于集合A中的任 意一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射.二. 函数：在某种变化过程中的两个变量 x、y，对于x在某个范围内的每一 个确定的值，按照某个对应法那么，y都有唯一确定的值和它对应，那么称y是 x的函数，记做y f(x)，其中x称为自变量，x变化的范围叫做函数的定 义

7、域，和x对应的y的值叫做函数值，函数值 y的变化范围叫做函数的值 域.三. 函数y f (x)是由非空数集A到非空数集B的映射.四. 函数的三要素：解析式；定义域；值域.函数的解析式一. 根据对应法那么的意义求函数的解析式；例如：fCx 1) x 2 . x，求函数f(x)的解析式.二. 函数的解析式一般形式，求函数的解析式；例如：f (x)是一次函数，且ff(x) 4x 3，函数f (x)的解析式.三. 由函数f(x)的图像受制约的条件，进而求f(x)的解析式.函数的定义域一.根据给出函数的解析式求定义域：整式：x R分式：分母不等于0偶次根式：被开方数大于或等于 0含0次幕、负指数幕：底数

8、不等于 0对数：底数大于0,且不等于1,真数大于0 根据对应法那么的意义求函数的定义域：例如：y f(x)定义域为2,5，求y f(3x 2)定义域; y f(3x 2)定义域为2,5，求y f (x)定义域;实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域.函数的值域根本函数的值域问题：名称解析式值域一次函数y kx bR二次函数y ax2 bx cr t4ac b2a 0时，,) 4acz4ac b2a 0 时，(，4a反比例函数k y -xy|y R，且y 0指数函数xy ay|y 0对数函数y loga xR三角函数y sin x y cosxy| 1 y 1y tanxR求函数值域最值的

9、常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义 域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法 有：观察法、配方法、换元法代数换元与三角换元、常数别离法、单 调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等.反函数.反函数：设函数y f(x) (x A)的值域是C，根据这个函数中x，y的关 系，用y把x表示出，得到x (y).假设对于C中的每一 y值，通过 x (y)，都有唯一的一个x与之对应，那么，x (y)就表示y是自变量， x是自变量y的函数，这样的函数x (y) (y C)叫做函数 y f(x) (x A)的反函数，记作x f 1(y),习惯上改写成y

10、 f 1(x).二.函数f(x)存在反函数的条件是：x、y对应.三求函数f(x)的反函数的方法： 求原函数的值域，即反函数的定义域反解，用y表示x，得x f 1( y)交换x、 y，得y f lx)结论，说明定义域四. 函数y f(x)与其反函数y f lx)的关系： 函数y f(x)与y f 1(x)的定义域与值域互换.假设y f(x)图像上存在点(a,b)，那么y f 1(x)的图像上必有点(b,a)， 即假设 f (a) b，那么 f 1(b) a . 函数y f (x)与y f 1(x)的图像关于直线y x对称.函数的奇偶性：一. 定义：对于函数f(x)定义域中的任意一个X,如果满足f

11、( x) f (x)，那么 称函数f (x)为奇函数；如果满足f( x) f (x)，贝q称函数f (x)为偶函数.二. 判断函数f(x)奇偶性的步骤：1. 判断函数f (x)的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果 不对称；2. 验证f(x)与f ( x)的关系，假设满足f( x)f(x)，那么为奇函数，假设满 足f( x) f(x)，那么为偶函数，否那么既不是奇函数，也不是偶函数.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于V轴对称.f(x)、g(x)分别是定义在区间M、N (MC1N )上的奇偶函数，分别根据条件判断以下函数的奇偶性.f(x)g(x)f(x)1f(x)f(x)

12、g(x)f(x) g(x)f(x) g(x)奇奇奇奇奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶偶偶偶偶五假设奇函数f(x)的定义域包含0,那么f(0)0 六.一次函数y kx b (k 0)是奇函数的充要条件是b 0 ; 二次函数y ax2 bx c (a 0)是偶函数的充要条件是b 0 .函数的周期性：一.定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ,使得当x取定义域内的 每一个值时，都有f(x T) f (x)，那么f(x)为周期函数，T为这个函数的 一个周期.2 .如果函数f (x)所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫 做f(x)的最小正周期.如果函数 f(x)的最小正周期为T ,贝U函数

13、f(ax)的 最小正周期为.旦函数的单调性一. 定义：一般的，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值Xi， X2，当Xi X2时满足：f(Xi) f(X2)，贝U称函数f(x)在该区间上是增函数；(2) f (x-j) f (x2)，贝U称函数f (x)在该区间上是减函数.二. 判断函数单调性的常用方法：1. 定义法：取值；2)作差、变形； 判断： 定论：*2 .导数法： 求函数f(x)的导数f'(x)；解不等式f'(x)0,所得x的范围就是递增区间； 解不等式f'(x)0,所得x的范围就是递减区间.3. 复合函数的单调性：对于复合函数y

14、 fg(x)，设u g(x)，那么y f (u)，可根据它们的单调性 确定复合函数y fg(x)，具体判断如下表：y f(u)增增减减u g(x)增减增减y fg(x)增减减增4奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同.函数的图像一.根本函数的图像.图像变换:y f(x)y f(x) k将y f(x)图像上每一点向上(k 0)或向下(k 0)平移|k|个单 位，可得y f(x) k的图像y f(x)y f(x h)将y f(x)图像上每一点向左(h 0)或向右(h 0)平移|h|个单 位，可得y f(x h)的图像y f(x)y af(x)将y f(x)图像上的每一点横坐

15、标保持不变，纵坐标拉伸(a 1)或压缩(0 a 1)为原来的a倍，可得y af (x)的图像y f(x)y f(ax)将y f(x)图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩1(a 1)或拉伸(0 a 1)为原来的，可得y f(ax)的图像ay f(x)y f( x)关于y轴对称y f(x)y f(x)关于x轴对称y f (x)y f(|x|)将y f(x)位于y轴左侧的图像去掉，再将y轴右侧的图像沿y轴 对称到左侧，可得y f(|x|)的图像y f(x)y | f(x)|将y f(x)位于x轴下方的局部沿x轴对称到上方，可得 y | f(x)|的图像三函数图像自身的对称关系图像特征f (X)

16、f( X)关于y轴对称f(x) f ( X)关于原点对称f (a x) f (x a)关于y轴对称f(a x) f(a x)关于直线x a对称f(x) f (a x)关于直线x -轴对称2f (a x) f (b x)关于直线x色卫对称2f(x) f (x a)周期函数，周期为a四两个函数图像的对称关系图像特征y f(x)与 y f ( x)关于y轴对称y f(x)与 y f (x)关于x轴对称y f (x)与 y f( x)关于原点对称y f(x)与 y f 1(x)关于直线y x对称y f (x a)与 y f (a x)关于直线x a对称y f (a x)与 f (a x)关于y轴对称第

17、三章 数列数列的根本概念数列是按照一定的顺序排列的一列数，数列中的每一个数都叫做这个数列 的项.如果数列an中的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公事，它实质是定义在正整数集或其 有限子集的函数解析式.三数列的分类：按项的特点可分为递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列 按项数可分为有穷数列和无穷数列四数列的前n项和：Sn a-i a2 a3 an 1 anSn与an的关系：Bn五如果数列an的第1项或前几项，且任一项an与它的前一项ani或前几项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 递推公式递推公式也是给出数列的一种方法.1

18、 1如：在数列an 中, a1 1，an n1 1,其中an孑1 1即为数列®的递推公式，根据数列的递推公式可以求出数列中的每一项，同时可根据数列 的前几项推断出数列an的通项公式，至于猜想的合理性，可利用数学归纳法进行证明.a5如上述数列an，根据递推公式可以得到:a2，a3a41516，进一步可猜想即2n 12n1等差数列定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那 么这个数列就叫做 等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示.通项公式:假设ai、d，那么an.前n项和公式：ai (n 1)d ;假设 am、d ,那么 an am (n m)d

19、假设a1 ,an，那么Sna1 an n；假设务、d，那么Shn(n 1)d2 2注: 前n项和公式Sn的推导使用的是倒序相加法的方法. 在数列an中，通项公式an，前n项和公式Sn均是关于项数n的函数， 在等差数列an通项公式an是关于n的一次函数关系，前n项和公式Sn 是关于n的没有常数项的二次函数关系.在等差数列中包含a1、d、n、an、S.这五个根本量，上述的公式中 均含有4根本量，因此在数列运算中，只需知道其中任意3个，可以求 出其余根本量.四.如果a、b、c成等差数列，那么称b为a与c的等差中项，且ba c五.证明数列an是等差数列的方法:1. 利用定义证明：an an 1 d (

20、n 2)2. 利用等差中项证明:3. 利用通项公式证明：an an b4. 利用前n项和公式证明：Sn an2 bn六.性质：在等差数列an中,1. 假设某几项的项数成等差数列，那么对应的项也成等差数列,即：假设假设m n 2k，那么am a. 2ak .2. 假设两项的项数之和与另两项的项数之和相等，那么对应项的和也相等,即：假设m n k l，那么am an比a,.3. 依次相邻每k项的和仍成等差数列，即: Sk，S2k Sk，S3k S2k 成等差数列.4. an， an 1，an 2，a2， a1仍成等差数列，其公差为 d .等比数列.定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与前一项的比

21、都是同一个常数， 那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用宇母q (q 0)表示.通项公式：假设印、q，那么an 4qn 1 ;假设am、q，那么anamqn m.前n项和公式:当公比q 1时，Sn na当公比q1时，假设ai、an假设ai、q、q，那么 Snn，那么 Snaianq1 qai(1 qn)1 q注： 等比数列前n项和公式Sn的推导使用的是错位相减的方法. 在等比数列中包含 印、q、n、an、Sn这五个根本量，上述的公式中均含有4根本量，因此在数列运算中，只需知道其中任意3个，可以求出 其余根本量.四. 假设a、b、c成等比数列，那么称b为a与c的等比中项，

22、且a、b、c满 足关系式b ac .五. 证明数列an是等比数列的方法：a1. 利用定义证明：q (n 2)an 12. 利用等比中项证明：b2 ac3. 利用通项公式证明：an aqn六. 性质：在等比数列an中，1. 假设某几项的项数成等差数列，那么对应的项成等比数列，即：假设 m n 2k，那么 am an ak22. 假设两项的项数之和与另两项的项数之和相等，那么对应项的积相等,即：假设 m n k l，那么 am an ak ai3. 假设数列公比q 1，那么依次相邻每k项的和仍成等比数列，即Sk，S2k Sk，S3k S2k成等比数列。14. an， an 1，an 2，a2， a

23、1仍成等比数列，其公比为 一.q数列求和1.常见数列的前n项和:自然数数列：1, 2，3,，n,Snn(n1)2奇数列：1，3，5,，2n 1，Sn2 n偶数列：2，4，6,，2n，Snn(n1)自然数平方数列：12 , 22, 32，n2，Snn(n1)(2n 1)62.等差、等比数列：禾U用等差、等比数列的求和公式.3. 数列cn满足：Cn an bn，其中a*、b为等差或者等比数列. 方法：拆项，转化成两个等差或等比各项的和差.4. 数列Cn满足：Cn an g，其中务是公差为d的等差数列；0是公比为q的等比数列.方法：错位相减.5.假设数列an满足：an，其中k、a、b均为常数.(kn

24、 a) (kn b)方法：裂项法，设an1(kn a) (kn b)1 1P(齐木)，其中P为可确定的参数.第四章三角函数一.角度与弧度制1弧度与角度的互化：1802终边相同角：与角 有相同终边的角的集合可以表示为:'2k,k Z特殊角的集合：各个象限的角的集合第一象限角： |2k-2k2,k Z第二象限角： '22k2k ,k Z第三象限角： |2k322k ,k Z第四象限角：'12k22k ,k Z 角的终边在各个坐标轴上的角的集合终边在X轴的角： | k ,k Z终边在y轴的角： |- k ,k Z终边在坐标轴上的角： | k ,k Z2终边在第一三象限角平分线

25、上：'4k ,k Z终边在第二四象限角平分线上：'34k ,k Z4弧长公式和扇形面积公式设扇形的半径为r，圆心角为 ，那么1 12弧长I | r ,扇形的面积S - l r - | r2 2任意角三角函数的定义:定义：以角 顶点为原点0 ,始边为x轴的非负半轴建立直角坐标系。在角的终边上任取不同于原点0的一点P(x, y)，设P点与原点0的距离为r (r 0),那么 |P0|r:2 2X y个三角函数依次为：yXsincosrrrrCSCsecyX三角函数的定义域与值域:定义域值域sinR1,1cosR1,1tan |2 k ,k ZRr三三角函数值的符号:Db0Asinco

26、stan四三角函数线正弦线、余弦线正切线以角的终边与过点A(1,0)作x单位圆的公共点 P作轴的垂线交的终边rxJ ,x轴的垂线PM x或终边的延长线于TrvI1X轴，垂足为M，那么点，那么：fsinMPcos OMtanAT同角三角函数根本关系式:倒数关系：sincsc 1、cossec 1、tan cot1商数关系：tansin,、cotcoscossin平方关系：2 sin2.cos1正弦、余弦的诱导公式:2ksi n(2k)sin ；cos(2k)cos .si n()sin ;cos()cos .si n()sin ；cos()cos .2sin (2)sin ；cos(2)cos

27、.si n()sin ;cos()cos .2sin (2)cos ；cos(2)sinsin(匚)cos ；cos()sin .222333si n()cos ；cos()sin .2223si n()cos ；cos()sin .222诱导公式可简单的概括为：“奇变偶不变，符号看象限，其中“奇变偶不变的含义为：当k为奇数时，k的三角函数值为 的余函数，当2偶数时，k 的三角函数值为 的原函数；“符号看象限的含义为在2三角函数前加上一个把 看作锐角时原三角函数值的符号两角和与差的三角函数:.根本公式:sin()sincoscossinsin()sincoscossincos()coscoss

28、insincos()coscossinsintan()tantan1 tan tantan(tan tan1 tan tan.常见关系:.2 si n(-)41. 辅助角公式： a sinx bcosx - a2 b2 sin(x )sin2si n(女口： sin cos、2sin() ; sin cos);cosx 、3sin x 2sin( )3 62. 两角和与差的正切公式的变形:tantantan(tantantan()1 tantan )1 tantan 二倍角公式.根本公式:sin 2 2sin cos2 2cos2 cos sin22cos2si ntan 22 tan1 ta

29、n21.1 sin 2(sincos )21 cos 22sin 22 1cos 22.sin2.常见关系式:1 sin 2(sincos )221 cos2 2cos21 cos2cos2三角函数的图像:正弦、余弦、正切函数的图像:1.正弦函数ysin x_a_ZT¥ /TX4/ ;2.余弦函数ycosx、-2/7a'、_TA丄合对1. y si nx振幅变换y As in x :将y si nx图象上各点横坐标保持不变，纵 坐标拉伸(A 1)或压缩(0 A 1)为原来的A倍得到.2. y si nx周期变换y sin x :将y sinx图象上各点纵坐标保持不变，横坐标压

30、缩(1)或拉伸(01)为原来的-倍得到.y sinx相位变换y sin (x):将ysin x的图象向右(0)或向左(0)平移|个单位得到.4.函数y Asi n( x ) (A,0, A 1)的图象可以看作是由函数 y si nx的图象分别经过下面的两种方法得到：.相位变换sin x周期变换sin (xsin( x )振幅变换Asin( x )0)或向右(y将y sin x的图象向左( 函数y sin(x )图象；将得到图象点的纵坐标保持不变,0)平移|个单位，可得到横坐标压缩(1)或拉伸(01)为原来的丄倍，得到函数ysin( x)图象;(A 1)或压缩(0 A 1).形如y Asin(

31、x )的函数图像的画法五点法，即根据 x 分别为原来的A倍，可得函数yAsin( x)图象.周期变换 y sin xysin x相位变换ysin (x)si n(x )振幅变换yAsin( x)将新图象各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸 将y si nx图象点纵坐标保持不变，横坐标压缩(1)或拉伸(01)为原来的倍，可以得到函数y sin x图象; 将得到的图象向左(0)或向右(0)平移 口 个单位就得到函数y sin( x )图象； 将新的图象各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸(A 1)或压缩(0 A 1)为原来的A倍，可得函数y Asin( x )的图象.3取0、二、2时对应的x与y的值描点作出y

32、 Asi n( x )的2 2一个周期的图像.三角函数的性质函数 名称正弦函数y sin x余弦函数y cosx正切函数y tanx定义域RR 1- k ,k Z值域1,11,1最值ymax1ymin1ymax1ymin1SJ图象 分布最小正 周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数对称轴x k -,k Z2x k ,k Z对称 中心(k ,0)(k 2,0) 0)单 调 性增2 k-,2k一2 22 k ,2 k(k -,k -)减32 k-,2k-2 2,2k 2三角形中的边角关系正弦定理：2 2 2a b c 2bc cos A在一个三角形中，各边和他所对角的正弦的比都等于该三角形外接圆的直径，

33、即：sinA sinB sinC2Rabc余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边的平方减去这两边与它们夹角的余弦b22 a2 c2ac cosB2 c2 ab22abcosC推论：cos Ab22 2 c acosB2 a2 2 c bcosC2 2 a b2 c2bc2ac'2ab三相关结论:在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ,A BCABC ,ABC2 22(2) sin( AB)sin Ccos(AB)cosC ,tan (AB)tanC.A sinBC cosA cosBsin C , tan A BcotC的积的两倍即:2 2 2 2 2 2根据正弦定理:

34、a2Rsi nA , b 2Rs in B , c 2Rsi nCa: b: c sin A:sin B :sin C三角形面积公式：三角形的面积等于三角形任意一边与对应边上的高的乘积的一半,即:S ABC-bh2 三角形的面积等于三角形的任意两边与其夹角的正弦值乘积的一S ABCabs in C2bcsin Aacsin B2 2第五章平面向量向量的根本概念1. 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量可以用一条有向线段来表示.2. 向量的长度：向量AB的大小，也就是向量AB的长度也称为AB的模， 记作| AB| .3. 零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0 ,零向量的方向是任意的.4.

35、 单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量.5. 平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量， 也叫做共线向量，假设向 量a、b平行，记作a/b .6. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量的加法与减法：1. 两个向量的和：向量a、b，平移向量b，使b的起点与a的终点重合， 那么以a的起点为起点，b的终点为终点的向量叫做向量a与向量b的和.求 两个向量和的运算叫做向量的加法.2. 向量加法的三角形法那么：根据向量和的定义，以第一个向量 a的终点A为起点作第二个向量b，那么以a的起点0为起点，以b的终点B为终点的向量0B就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的三角形法那

36、么.3. 向量加法的平行四边形法那么：以同一点A为起点的两个向量a、b为邻边作平行四边形ABCD，那么以A为起点的对角线AC就是2 b，这种作两 个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法那么.4. 向量加法运算律：交换律：abba结合律：(a b) c a (b c)5. 相反向量：与向量a方向相反的向量叫做a的相反向量，记作 a.规定：零向量的相反向量仍是零向量.性质：(a) aa ( a) 06. 两个向量的差：a加上b的相反向量叫做a与b的差，即：a b a ( b)7. 向量的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法。法那么：如下列图，向量a、b，在平面内任取一点 F b 0，作OA a

37、，OB b，贝U BA a b，即a b表示从 向量b的终点指向a的终点的向量.实数与向量的积:1.实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下： I a| |a|当 0时，a的方向与a的方向相同；当 0时，a的方向与a的方向相反2实数与向量的积所满足的运算律：设、 为实数，那么：(a) () a ；()aaa(3)(a b)ab3向量共线的充要条件：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得b4.平面向量根本定理：如果q，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任 向量a，有且只有一对实数1>2，使a 1e12e2 .平面向量的

38、坐标运算：j作为j，那么1 .平面向量的坐标：分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、 基底，对于一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a x i y 称(x, y)为向量a的坐标，记做a (x, y).2. 向量a的坐标与起点为原点的向量是一一对应的关系，即：向量a (x,y)、一一对应向量OA、一一对应点A(x, y)3. 平面向量的坐标运算：设a(N，yJ，b 区也)，R，那么-1. a b 化X2，%y?); a b (Xi X2,% y?); a (冷yj .假设点 A(Xi,yJ , B(X2,y2)，那么 AB 区为小 yj .4. 向量a (Xi, yi)与b (X2,

39、y2)共线的充要条件是x?yi 約20 平面向量的数量积及运算律：1. 两个向量的夹角：两个非零向量，作 OA a , OB b，贝U AOB 0180丨叫做向量a与b的夹角.当 0时，a与b同向；当 180时，a与b反向，如果a与b的夹角是 90时，那么称a与b垂直，记作a b .2. 两个向量的数量积：两个非零向量a与b，它们的夹角为 ，贝擞量|a| |b|cos叫做a与 b的数量积，记作a b，即：a b | a | |b | cos .规定：零向量与任一向量的数量积为 0,即0 a 0 .3. 向量数量积的几何意义：|b| cos叫做向量b在a方向上的投影，其中当 为锐角时，它是正值，

40、当 为钝角时，它是负值，当90时，它是0,当 0时，它是|b| .a b的几何意义是：数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b | cos的乘积.4. 向量数量积的性质：设a、b都是非零向量，是a与b的夹角，贝e a a e |a | cos e是与b方向相同的单位向量(2) a b a b 0 当a与b同向时，a b |a| |b| ； 当a与b反向时，b | |b| ； 特殊的，a a |a|2，或者 |a|“(a)2cosa biai ibi |a b| |a| |b|5向量的数量积的运算律: a b b a ;(2) ( a) b (a b) a ( b)(3) (a

41、 b) c a c b c6向量数量积的坐标运算：-hh h设 a (Xi,yj , b (X2,y2)，那么 a b他-(2)假设向量a (x1, y1) , b (x2, y2)垂直的充要条件是x 假设 a (x, y)，那么 |a| x x2 y2 .设 A(xi,yj, B(X2,y2)，那么 |AB| 区 xj2 (y? yj2线段的定比分点与平移i点p分PP2所成的比：设P , F2是直线I上的两点，P是I上不同于R , P2的任一点,YlY20 .存在实数使PPPF2，贝U叫做点P分PP2所成的比.2.定比分点坐标公式：设Pdi) , B(x2,y2)，假设点P(x,y)分PP所成的比为,那么点 P(x, y)x2的坐标满足:yiy2i3.中点坐标公式:x