高中数学不等式归纳讲解

1、第三章 不等式定义： 用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。3-1 不等式的最根本性质 对称性：如果xy，那么yv x;如果yv x，那么xy; 传递性：如果x y , y z;那么x z; 加法性质；如果xy，而z为任意实数，那么 x + zyz； 乘法性质：如果 x y， z 0，那么 xz yz ；如果 x y，zv 0，那么 xzv yz; 符号法那么3-2 不等式的同解原理 不等式F xv G x与不等式 Gx F x同 如果不等式F xv G x的定义域被解析式 Hx丨的定义域所包含，那么不等式F :xv Gx丨与不等式F X+ H xv G x+ Hx同解。 如果不等式 F x

2、v Gx 的定义域被解析式 Hx 的定义域所包含，并且 H x 0，那么不等式 F(x) v G x 与不等式 H x Fxv H x G x 同解；如果 Hx v 0，那么不等式 F : xv G x与不等式 H (x)F x HxG x同解。 不等式F xGx 0与不等式0或0同解G(x) 0 G(x) 0不等式解集表示方式F(x)0 的解集为 x 大于大的或 x 小于小的F(x)0 的解集为 x 大于小的或 x 小于大的3-3 重要不等式3-3-1均值不等式1、调和平均数:a2an2、几何平均数:丄Gn (aQ2a n)n3、算术平均数:An(ai a2nan)4、平方平均数:Qn(af

3、2a2a2)这四种平均数满足Hn wGn WAn 3? abc等号仅当a b c时成立2(8)对非负数a,b,c，有ab2ab bc ac2(9)对非负数a,b，IIa ba2 b223-3-1-1 最值定理当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值。均值不等式求最值主要方法:1. 常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等.2.当使用均值定理时等号不能成立时,应考虑函数的单调性例如“对号函数，导数法3-3-2权方和不等式m 1aim 1a2m 1a3m 1an佝a2m 1a3. an)bmbmbm. bm(b1b2b3.b

4、n)ma,b, n为正整数。m为正数。3-4绝对值不等式|a+ b|W|a|+| b |a b| |a| |b|3-5不等式例题解析3-5-1 绝对值不等式1、求 |x2 5x 5| 1 的解2、右边的常数变为代数式(1)|x+1|2 x; (2)| x2 2x 6|3 x形如 | f (x) | g(x)型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即： | f(x)| g(x) g(x) f(x) g(x) f (x) g(x)或 f (x) g(x)3、两个绝对值不等式解不等式1|x 1|5.形如I f(x) | g(x)|型不等式1 此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：I f(x) II

5、 g(x)I f2(x) g2(x)f(x) g(x) f(x) g(x)02丨所谓零点分段法，是指：假设数xi , x2 ,焉分别使含有|x xi| , |x X2| ,|x Xn|的代数式中相应绝对值为零，称Xi , X2 , , Xn为相应绝对值的零点，零点Xi , X2 , , Xn将数轴分为 m+1 段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来 解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间 讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝 对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要表达了化归、分类讨 论等数

6、学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。例题.不等式|x+3|-|2x-1|v2+1的解集为。解：4 x(x 丄)21|x+3|-|2x-1|= 4x 2( 3 x -)x 4(x3)4、含参数绝对值不等式解关于x的不等式 x2 4mx 4m2 m 3解题原不等式等价于|x 2m| m 3当m3 0即m 3时，x 2m m 3 或 x 2m (m 3)x 3m 3或x m 3当m30即m3时，| x 6 | 0x 6当m30 即 m3时，xR方法归纳：形如| f (x) |a(a R )型不等式 此类不等式的简捷解法是等价命题法，即： 当 a0 时，|f(x)|a af(x)a f(x)a

7、 或 f (x)a f(x) #0 当 aa f (x)有意义。4 、含参数绝对值不等式有解、解集为空和恒成立的问题假设不等式|x 4|+|3 x|0时，先求不等式|x 4|+|3 x|4时，原不等式化为x 4+ x 3 a，即2 x 712x 7 a2 当3 x4时，原不等式化为4 x+ x 31 当x 3时，原不等式化为4 x+3 xv a即7 2x17 2x a 22综合可知，当a1时，原不等式有解，从而当0a 1时，原不等式解集为空集。由(1)(2)知所求a取值范围是a 1时，|x 4|+|3x| a有解从而当a | x 4|+|3 x|x 4+3 x|=1当a1 时，|x 4|+|3

8、 x| a 有解从而当a 1时，原不等式解集为空集。方法总结：1一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。2f x a有解 a f x min ； f x a解集为空集f x min ； f xa f x min ；这两者互补。x a 恒成立a f x max 。x max ； f xa f x max ；这两者互补。f x a恒成立a f x min 。x max ； f xa f x max ；这两者互补。fxa恒成立a f x min 。6 、绝对值三参数不等式问题函数 f (x)ax2bx c (a, b, cR)，当 x 1,1时| f (x)| 1，求证：(1)| b | 1；(2)假

9、设 g (x)bx2ax c (a ,b,cR) ，那么 当 x 1,1 时 ， 求 证 ：| g(x)| 2。思路 此题中所给条件并缺乏以确定参数 a,b,c 的值，但应该注意到：所要求的结论不是b或g(x)确实定值，而是与条件相对应的“取值范围，因此，我们可以用f 1 、f()、f 1来表示a，b,c因为由条件得|f( 1)| 1，|f(0)| 1，|f(1)| 1解题证明:(1)由 f 1 ab c, f 1a bc b1-f 1 f 12,从而有11|b|尹f(1) 2(lf(1)l lf(1)l)/ l f (1)l1，lf( 1)l 1，1|b| (l f(1)l 1f( 1)l)

10、 1.由f 1 a bc, f 1 a b c b1f 1 f21 , a c1-f 12f 1 ,c f (0),从而a -f 12f 1 f(0)将以上三式代入g(x)bx收获1二次函数的一般式y ax2 bx c (c 0)中有三个参数a,b,c.解 题的关键在于：通过三个独立条件“确定这三个参数.2此题变形技巧性强，同时运用公式|a b| |a| |b| ,|a b|a| |b| ax c(a,b,cR),并整理得|g(x)| | f(0)( x211) -f(1)(x 1)21-f( 1)(12x)ll f(0)(x21)|11-l f(1)(x 1)| -22l f( 1)(1 x

11、)l|f(0)|x21|11-l f(1)llx 1l - 22l f( 1)ll1xl2 112 11x) 22l x 1|l x21ll1 xl 1 x(x 1)2 21(1x及条件进行适当的放大。要求同学们做题时要有敏锐的数学观 察能力例题2 .函数f(x)二.1 x a2 丄 1 b2 iO!回忆：1、证题时，应注意式子两边代数式的联系，找出它们 的共同点是证题成功的第一步。此外，综合运用不等式的性质是证题成功的关键。如在本例中，用到了不等式的传递性，倒数性质， 以及“三角形不等式等等 , a,b R，且a b ,求证|f(a)-f(b)|v|a-b|分析：要证| -.1 a21 b2

12、 | |a b|，考察左边，是否能产生|a-b| 2 2证明：卩-肚沪|a|b|a| |b|a b| |a b|其中 Ml a2 Ja2 |a|,同理Jib2 |b|,2、此题的背景知识与解析几何有关。函数 y 1 x2是双曲线,1的上支，而|丄里|即|f(a) f(b)|，贝卩表示该图象上任禺 X2a b意两点连线的斜率的绝对值。学过有关知识后，很显然这一斜率 的范围是在-1 , 1之间。2 . 1不等式|x-3|+|x+1|va ，的解集为空集，求a的取 值范围;2丨不等式|x-3|+|x+1|a 有解，求a的取值范围。分析：“有解即“解集非空，可见1 2两小题的答案集合互为补集全集为 R

13、当然可以用|x-3|+|x+1|=2x 2(x4( 1 x2 2x(x3)3)这种“去绝对值的方法1)来解，但我们考虑到“三角形不等式：|a|-|b| |x-3-x-1|=4这样 |x-3|+|x+1|a等价于 |x 3| |x 1| a(*)11 11|x 3| |x 1| 4假设*解集为，那么a 4。解略回忆：此题是“绝对值不等式性质定理即“三角形不等式 的一个应用。开展题：1不等式|x-3|+|x+1|a的解集非空，求a的取值范围。2丨不等式|x-3|+|x+1| a的解集非空，求a的取值范围。3 .f(x)的定义域为0,1，且f(0)=f(1)，如果对于任意不 同的 X1,X2 0,1

14、,都有 |f(x1)-f(x 2)|x 1-x2|,求证：|f(X1)-f(X2)|vg分析：题设中没有给出f(x)的解析式，这给我们分析f(x)的结 构带来困难，事实上，可用的条件只有f(0)=f(1)，与 |f(X1)-f(X 2)|V|X 1-X2|两个。1 1首先，假设 |X1-X2| -，那么必有 |f(xi)-f(x 2)|V|X 1-X2| 2 即|f(xi)-f(x 2)| -呢？考虑到 0 W|X1-X2| 1 ,那么 1-|x 1-X2| -,看来要证明的是 |f(x 1 )-f(x 2)|1-|x 1-X2| -成立！证明：不妨设X1 X2，贝S 0X1 X211 11当

15、 |X1-X2| 2 时，那么有 |f(x1)-f(x 2)|x 1-X2I -即1|f(X1)-f(X 2)| -时，即 X2-X1 2 时，丁0X2-X1 1必有 1-|X 1-X2| 1 即 1- X 2+X 1 -2 2也可写成 |1- X2|+|x1|-2(*)另一方面 |f(X1)-f(X2)|=|f(1)-f(x 2)+f(x 1)-f(0)| 0 , y?0 ,且x2 1，求证:2320化为(x-2)(x-1)(x+1)0第二步：将不等号换成等号解出所有根。例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x仁2，x2=1，x3=-1第二步：在数轴上从左到右依次标出各根例如：-1

16、 1 2第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根的右上 方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟上去，一上一 下依次穿过各根。第四步：观察不等号，如果不等号为“ ，那么取数轴上方，穿跟线以内的范围；如果不等号为“ 0 的根。在数轴上标根得： -1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。因为不等号威“ 那么取数轴上方，穿跟线以内的范围。即： -1x2 。奇透偶不透即假设有两个解都是同一个数字这个数字要按照两个数字穿如x-1)A=0两个解都是1那么穿的时候不要透过1。解题步骤：1首项系数化为“正2移项通分，不等号右侧化为“ 03因式分解，化为几个一次因式积的形式4数轴标根。:系数非正，小于等于例2、解不等式：X：3X20-X2 7x 12解略点评：“W或标根时，分子实心，分母空心例3、解不等式:2X2 9x 11x2 2x 1 口7 o点评：1、不能随便去分母2、移项通分，必须保证右侧为“ 03、注意重根问题例4、解不等式:x2 5x 6x2 3x 22、重根