高中数学《三角函数》详解+公式+精题(附讲解)

1、高中数学?三角函数?详解 +公式+ 精题附讲解 引言三角函数是中学数学的根本重要内容之一，三角函数的定义及性质有许多 独特的表现， 是高考中对根底知识和根本技能进行考查的一个内容。 其考查内容 包括：三角函数的定义、图象和性质，同角三角函数的根本关系、诱导公式、两 角和与差的正弦、余弦、正切。两倍角的正弦、余弦、正切。 、正弦定理、余弦 定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函数。要求掌握三角函数的定义， 图象和性质，同角三角函数的根本关系，诱导公式，会用“五点法作正余弦函 数及 的简图；掌握根本三角变换公式进行求值、化简、证明。 了解反三角函数 的概念，会由三角函数值求角并能用反三角函数符

2、号表示。 由于新教材删去 了半角公式， 和差化积，积化和差公式等内容， 近年的高考根本上围绕三角函数 的图象和三角函数的性质， 以及简单的三角变换来进行考查， 目的是考查考生对 三角函数根底知识、根本技能、根本运算能力掌握情况。2 近年来高考对三角局部的考查多集中在三角函数的图象和性质， 重视对三角函数根底知识和技能 的考查。每年有 2 3 道选择题或填空题， 或 1 2 道选择、填空题和 1 道 解答题。总的分值为 15 分左右，占全卷总分的约 10 左右。 1 关于三 角函数的图象 立足于正弦余弦的图象，重点是函数 的图象与 y=sinx 的图象 关系。根据图象求函数的表达式，以及三角函数

3、图象的对称性。如 2000 年第 5 题、 17 题的第二问。 2 求值题 这类问题在选择题、填空题、 解答题中出现较多， 主要是考查三角的恒等变换。 如 2002 年 15 题。 3 关于三角函数的定义域、 值域和最值问题 4 关于三角函数的性质包括奇 偶性、单调性、周期性。一般要先对的函数式变形，化为一角一函数处理 如 2001 年 7 题。 5 关于反三角函数， 2000 2002 年已连续 三年不出现。 6 三角与其他知识的结合如 1999 年第 18 题复数与三 角结合 今后有关三角函数仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现，难 度不会太大，会控制在中等偏易的程度；三角函数如果在解

4、答题出现的话， 应 放在前两题的位置，放在第一题的可能性最大， 难度不会太大。 二、复习策略 1、 近几年的高考已经坚决抛弃对复杂三角变换及特殊技巧的考查， 重点已转移到对 根底和根本技能的考查上。 所以复习中用好教材、打好根底犹为重要。 1 一 定要掌握好三角函数的图象，特别是 的图象的五点法作图及平移、伸缩作图。 2 熟知三角函数的根本性质、切实掌握判定三角函数奇偶性、确定单调区 间及求周期的方法。 3 熟练掌握三角变换的根本公式， 弄清公式的推导关系 和互相联系，把根本公式记准用熟。*?三角函数公式大全?锐角三角函数公式sin a= / a的对边/斜边COS a= / a的邻边/斜边ta

5、n a= / a的对边/ / a的邻边cot a= / a的邻边/ / a的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA2-Si nA9=1-2Si nAA2=2CosAA2-1tan2A= 2tanA/ 1-tanAT 注：Si nA2是 si nA 的平方 si n2 A三倍角公式sin3 a=4sin a sin(冗/3+ a)sin( M3- a)cos3 a=4cos a COS( n/3+ a)COS( M3- a)tan3a = tan a -tan( n/3+a) - tan(冗/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2aCosa+Co

6、s2asina辅助角公式Asin a+Bcos a=(AA2+BA2)A(1/2)sin(a+t)，其中si nt=B/(AA2+BA2)A(1/2)Cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)tant=B/AAsin a+BCos a=(AA2+BA2)A(1/2)Cos(a-t) ， tant=A/B降幂公式sinA2( a)=(1-cos(2 a)/2=versin(2 a)/2cosA2( a)=(1+cos(2a)/2=covers(2a )/2tanA2( a)=(1-cos(2a)/(1+cos(2a)推导公式tan a+cot a=2/sin2atan a-cot a=-2co

7、t2a1+cos2 a=2cosA2 a1-cos2 a=2sinA2 a1+sin a=(sin a/2+cos a/2)A2=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sin

8、a( v3/2)²-sin²a=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60 °+sina)(sin60 °-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60°-a)/2*2sin(60°-a)/2cos(60 °-a)/2=4sinasin(60 °+a)sin(60 °-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosacos &

9、sup2;a-(v3/2) ²=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30 °)=4cosa*2cos(a+30°)/2cos(a-30°)/2*-2sin(a+30°)/2sin(a-30 °)/2=-4cosasin(a+30°)sin(a-30 °)=-4cosasin90 °-(60 °-a)sin-90 °+(60 °+a)=-4cosacos(

10、60°-a)-cos(60 °+a)=4cosacos(60 °-a)cos(60 °+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60 °+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin A2(a/2)=(1-cos(a)/2cosA2(a/2)=(1+cos(a)/2tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)三角和sin( a+ 3+ Y=sin

11、a s 3 s y+cos a sin 3 s 7+cos a cos 3 sin 丫-sin a sin 3 sin 丫cos( a+ 3+ 丫)=cos a cos 3 cos 丫-cos a sin 3 sin 丫-sin a cos 3 sin ；-sin a sin 3 cos 丫tan(a+3+丫)=(tana+tan3+tan；-tanatan3tany)/(1-tanatan3-tan3tan丫-tanytana)两角和差a sin 3cos( a+ 3)=cos a cos 3-sincos( a-3)=cos a cos3+sina sin 3sin( a±3)=

12、sin a cos 3±cos a sin 3a tan 3)tan( a+ 3)=(tan a+tan 3)/(1-tantan( a- 3)=(tana-tan 3)/(1+tana tan 3)和差化积sin 0+sin $ = 2 sin( 0+ $)/2 cos( 0- $)/2sin 0-sin $ = 2 cos( 0+ $)/2 sin( 0- $)/2cos 0+cos $= 2 cos( 0+ $)/2 cos( 0-$)/2cos 0-cos $= -2 sin( 0+ $)/2 sin( 0-$)/2tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=ta

13、n(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sin asin 3 =cos( a- 3)-cos( a + 3) /2cos acos 3 =cos( a+ 3)+cos( a-3)/2sin acos 3 =sin( a+ 3)+sin( a-3)/2cos asin 3 =sin( a+ 3)-sin( a-3)/2诱导公式sin(- a) = -sin acos(- a) = cos atan ( a)=-tan asin( n2- a):= cos acos( n2- a)= sin asi

14、n( n2+ a)= cos acos( tt/2+ a) = -sin asin( n- a) = sin aCOS( n- a) = -COS asin( n+ a) = -sin acos( n+ a) = -cos atanA= sinA/COsAtan n /2 + a= cot atan n /2 a= cot atan n a= tan atan n + a= tan a诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限 万能公式sin a=2tan( a/2/ 1+tan 人(a/2)cos a= 1-tan 人(2) /1+tan 人(a/2)tan a=2tan( a/2)/ 1-t

15、an 人(a/2)其它公式(1) (sin a)A2+(cos a)A2=1(2) 1+(ta n a)A2=(sec a)A2(3) 1+(cot a)A2=(csc a)A2证明下面两式，只需将一式，左右同除sin aA2,第二个除COS aA2即可(4) 对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证:A+B= n-Ctan (A+B)=ta n(n-C)(ta nA+ta nB)/(1-ta nAta nB)=(ta nn-ta nC)/(1+ta nuta nC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证，当x

16、+y+z=n冗(n Z)时,该关系式也成立由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5) COtACOtB+COtACOtC+COtBCOtC=1(6) COt(A/2)+COt(B/2)+COt(C/2)=COt(A/2)COt(B/2)COt(C/2)(7) (COsA A2+(COsB A2+(COsC A2=1-2COsACOsBCOsC(8) sinA A2+ sinB A2+ sinC A2=2+2COsACOsBCOsC+sin a+2 n*(n-1)/n=(9) sin a+sin( a+2 n/n)+sin( a+2 n*2/n)+sin(a+

17、2 n*3/n)+cos a+cos(a+2nn)+cos(a+2n*2/n)+cos(a+2n*3/n)+ +cosa+2n*(n-1)/n=0以及sinA2( a)+sinA2( a-2 n/3)+sin9(a+2 n/3)=3/2ta nAta nBta n(A+B)+ta nA+ta nB-ta n(A+B)=0*三角函数专题复习:1求函数7- 的初相匚的问题2丨函数口的图象及应用3三角函数的最值问题4丨角的拆拼在求值中的应用教学目的通过对四个三角函数中的热点问题的专题研究， 引导学生复习三角函数中的主要知识点和重 点题型的解题方法，深层挖掘三角函数的内在联系， 尽量使学生对三角函数知

18、识的掌握融会 贯穿。教学重点、难点上述四个专题中涉及的核心思想知识分析一求函数 -4的初相的问题在三角函数问题中，我们经常遇到求函数北- -的初相的问题，这一类问题是学习中的难点，又是高考中的热点， 现在我们将相关题型进行归纳，帮助同学们复习相关知 识：1、由图象求此类问题，解题的关键是从图象特征入手，寻找解题的突破口。y = 2血宓+卩|卩|< 例1如图1所示函数-的图象，由图可知IQ开型= 0= tA.116JFOf =2, =-C.© = ,<P=-B.16£3 = 2f 申=6D.JJ21 lwW x图1解：由，易得 A = 21 Vr函数图象过0,1丨

19、和 :，再考虑到-2tt,+/. Q 二 2 Q> h 6应选c。例2.图2所示，那么7Te ；A.7T7T7TC0 = *C. -宾D.心二一5tt4f =T解：由图象知1 = 3- 1= 242005 年福建函数：-r': ''1' 的局部图象如y = sin( x +点3 , 0是在函数-的单调递减的那段曲线上。7TTT3X七+泊沖+ 丁注尹印+ =2kJ!-+7r因此4? = 2k+ ? (k e Z)p < 2打凭na令二-，得“，应选Co2、由奇偶性求M(, 0)0, J其图象关于点-对称，且在区间'上是单调函数，求-的值。解：由

20、亠二是偶函数，得I 一； I*即一门=二 -：'"-:=所以-“对任意x都成立，且:_打由汀解得歼3、由最值求42时取例4.函数-1二一以2为最小正周期，且能在x得最大值，那么的一个值是3ttB. 一C. -D. Jf (町=£in(+2啊解: '® T'二 2,当卞='时取得最大值,：.血(2tt+卸)=12n + ?.= 2k,?r+ 一. ke Z 即：.=1开一手,，0巨可3h(D k 0当亠-时，-,应选A。四、由对称性求D例5. 2005全国设函数图象的一条对称轴是直线s =，求匚解：因为曆二£v - fsin

21、2汇手十呵二士1'是函数-的图象的对称轴，所以-二函数'-：-1 ' " 1 I的图象及应用下面我们谈一谈函数的图象在日常生产、生活中的几个应用。1、显示水深例6. 2004 湖北设1，"'是某港口水的深度 y米关于时间t时的函数，其中匚下表是该港口某一天从0时到24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y12经长期观测，函数的图象可以近似地看成函数 的图象。下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是7Fy = 12-1- 3sin t 亡Q 24A.B.6y = 12-f 3sin< 1+7?), t

22、 e 0, 246 ' '71y = 12 +tR t eQ, 24C.解：由数据，易得 一-的周期为T = 12由易得振幅 A= 3又 t = 0 时，y= 12 ,.k = 127V小x 0 + =0门令打得J 'y=12+3sm -t, teQ, 24故2、确定电流最值例7如图3表示电流I与时间t的函数关系式：I = -'L；：'-l：-1根据图象写出I =-的解析式；12为了使I =_；中t在任意段丄:秒的时间内电流在同一周期内的图象。I能同时取得最大值和最小值，那么正整数：-：，的最小值是多少?i5D0-1l/y_ 1 0300丿图3tl解：1

23、由图知A = 300 ,叭识宀=2击+圭諾=IODjt7T(P- 一硫二13I = 300sin(100jt + y)Zu丄 J丄2丨问题等价于丄一 J ,即二 H II' - 1 "，正整数二的最小值为314 。3、显示最大温差例8.2002 全国如图 4某地一天从 6时到14时的温度变化曲线近似地满足函数y =盘 si 口 (Qu +单)+b1求这段时间的最大温差2写出这段曲线的函数解析式。Vi302010温度g " - 1i 106 10 14时谕)图4解：I由图4知这段时间的最大温差是30 10 = 20CY = As in (te + 3+ b2丨在图4中

24、，从6时到14时的图象是函数的半个周期的图象，解得A = 1(30-10) = 10由图4知 -b = 1x(30 + 10) = 20y = 10 sin( k + 20这时'-_ 3jt将'“代入上式，可取-综上所述，所求解析式为：y= 10如彳囂+于)十20 *巴© 144、研究商品的价格变化例9.以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元根底上按月份随正弦曲线波动的，3月份出厂价格最高为 8元，7月份出厂价格最低为 4兀；而商品在商店内的销售价格是在 8兀根底上按月份也是随正弦曲 线波动的，并5月份销售价最高为10

25、元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月 购进这种商品m件，且当月能售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由。解：由条件可得出厂价格函数为销售价格函数为那么利润函数为44444444抵二6时卩血=(2 + 22)m即6月份盈利最大。三三角函数的最值问题型函数解决此类问题的关键是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数，即化为，其中"角所在象限由点a，b所在象限确定，且b tan q>-例10当一厂=1时，函数一*:的A.最大值是I，最小值是1C.最大值是2，最小值是一 21B.最大值是I，最小值是-D.最大值是2，最小值是1解：解析式可化为0 = 2 sin( K-b y)小河羽兀

26、二河5阿0< k < , - < 2 2636应选Dv = asin2 z + bsiti k cosh +ccosj k 一，2、型函数y = a sin x +b cc*s z策略：先降次、整理，再化为形如型来解。TT 和 V PC<3 W -I- RV例11.求的最小值，并求出函数y取最小值时点x的集 合。B Jn4解:y = sin x + 2sin x cos x + 3cos x=(sin 2 x + cos2 x) + 2 sin x cos x-b 2cos2 x=1 + sin 4 (1 + cos2r)=2 + sin 2k +cos2k=2 + s

27、iti( 2k H-)4smt2x + ) = -1厂当-时，y取最小值-时，使y取得最小值的x的集合为a sin + g y =3、 丨型函数解：去分母整理得sin x + ycos x = 2- 2y此类函数的特点是一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式。可先转化为asin- - - -型，再利用三角函数的有界性来求三角函数的最大值和最小值。2-sin xy 例12.求函数I ":的最大值和最小值。2-2yJi + y左4-笛< / +万 S y <解之得“_4_ 荷 “_ 4 + 7?了血 - Vnua. -故'sin x ±cosx,sin

28、 x-cosx同时出现型函数是应用卄2 .- .- 一丄m 进行转化，变成二次函数的问题。例13.函数'-11-： :1 : 一的最大值为解法_ .令 1 ' ' :I -.-1+ 2sm 3； cosx -t2, sin k cos m = (t2 - 1) 那么；'1 . 1,r(7+匕十护_1 所以 -_由二次函数的图象知，当 U!时，"小 -+ 'sin x cos k = (m2 -1) 解法二：令皿=$阳孟+ CQ$ H ,贝y2m 二 win x + )由二，得于是有y 二丄2sin3 (x + ) - 1十叭匝 sin(

29、3; +) = £in3(H-i-) + V2 sin()244424sin( x + ) = 1当 时,是应用正弦、余弦函数的有由以上的几种形式可以归纳解三角函数最值问题的根底方法:界性来求；二是利用二次函数闭区间内求最大、最小值的方法来解决； 以后还可以利用重要的不等式公式或利用数形结合的方法来解决。四角的拆拼在求值中的应用3 血收二乳匚Q二y, g或仪+ ,疗二一一例14.a、B为锐角，那么y与x的函数关玄阜 系是A.B.C.y = - Jl- k(0 <x 町 1】D.对此题，不少同学采取的求解思路是：根据条件求出cos a、sin B的值后，再将sin a,3cos

30、(a + 灼二一 一cos 3, cos a, sin B的值同时代入-的展开式中，从中解出 y来，思路直接。但运算量非常大，不可取，而如果利用“凑的思想，注意到- ' 1 ；，' 这就是“凑丨， 也就是用的角来表示目标角因为 y"C°S,继而求出y与x的函数关系式，而 x 的范围可由y = cosB >0来确定。解：Ta为锐角，且又a、3为锐角，且y = c«s P- cqs(®+ 0) -dfcos(cc-i- - cos<t+sm(d4 S) - sin cc易得，应选A。)二 一一，sin( -tan2的值。e+Q ,

31、 A0、厂二g-号r号-Q分析：观察条件和结论中角的种类差异，可配凑角-，这样就可以将角与待求角联系在一起，实现了由未知角向角的转化。0 <<：.；J3 < 又4222,422© sin( ) = , :. cos( _ 0)二2323莎二购 一 £-£ 一 ©】故=sin(-y) co啮-Q -£)sin(詈- jff)4j5 ,f512= x -(2 939 3_ 22一石口 + 0 CQS2 二迹口-£-与-创 cos=讹CT-令g苛-厲+血住-豊'血诗一0 ,t巧.4巧2_朋_ 27cos【练习】0“

32、异，兰*却 4 二-同学们不难看到，上面的例题中我们分别利用了厂一丄 上,cos(-a)= sin( += 小45413，求汕(氐+向。迹+甸-匸一二兰+ ©+再+ /5 -a提示：配凑角：-，可通过求出- 和- 的差的 余弦来求二 】：1，较简便。.< 一44-CO5C+>?) = -4 尸 1.37F：sin(朗+ 0)二ccs+ (+ 历 珂(¥“_()3jTjt7T=-匚处(一十 A)' cost-一如(一十 Q rm( -44445 x 45665k 1 才 51353/T真 、宾 u+q_l十 g+用；等“凑角的技巧。此 外根据题目的不同，还

33、常用的“凑的技巧有：L，门,及，今后解题时要多关注“配凑的思想方法。【模拟试题】、选择题每题 5分，共60分1+tncos 畫=1使：T：的意义的m的值为a.丄iB.C.丨工 1D.m匚-或二'y =:2 sint xj2.函数4的-一个单调增区间是r JTr 7T 3/r,r 5tt tt.r3tt g一才A.-B.一一44-丁 -tC.-D .3 .假设J亠是夹角为60°的两个单位向量,那么a. - 2eL + e2» b 二一弓皀+ 2r-的夹角为A. 30 °B. 60 °C.120 °D.150oT > T14. ABC的三个顶点 A、B、C及平面内一点 P,假设-丄,那么点p与厶ABC的位置关系是A. P在AC边上B. P在AB边上或其延长线上C. P 在 A ABC 外部D. P 在 AABC 内部6 假设 5siii 3 - cos SA.B.的值等于7. 在A ABC 中，：-，：！ 'UAABC 是 A. 锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定形状7V7T5.20 V 込(_与二飞啦亏-罚二孑Ea十旳8-,且-，厂，那么-'的值为13_ 13239_ 239A.