数值分析课件_(第4章))

1、内容提要4.1 引言4.2 牛顿-柯特斯公式4.3 复化求积公式4.4 龙贝格求积公式4.5 高斯求积公式4.6 数值微分4.1 引言引言一、数值求积的基本思想一、数值求积的基本思想 对定义在区间对定义在区间a,b上的定积分上的定积分)()()(aFbFxxfIbad 但有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分但有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分复杂，难于求出或计算；另外如被积函数是由测量或数值计复杂，难于求出或计算；另外如被积函数是由测量或数值计算给出的一张数据表示时，上述方法也不能直接运用。因此算给出的一张数据表示时，上述方法也不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问

2、题。有必要研究积分的数值计算问题。).)()(abfxxfIbad 积分中值定理告诉我们：积分中值定理告诉我们：平均高度平均高度f() a b yxy=f(x)0 a f(a+b)/2) b yxy=f(x)0 a b yxy=f(x)0梯形公式梯形公式 d)(2)()()(abbfafxxfTba d)2()()(bafabxxfRba平均高度平均高度中矩形公式中矩形公式平均高度平均高度)()(0knkkbaxfAxxfd。则称该求积公式具有则称该求积公式具有立立成成次的多项式等式不准确次的多项式等式不准确一个一个都准确成立，而对于某都准确成立，而对于某的多项式的多项式对于所有次数不超过对于

3、所有次数不超过若某个求积公式若某个求积公式次代数精度次代数精度定义1定义1mmm , 1更一般地，我们构造具有下列形式的求积公式更一般地，我们构造具有下列形式的求积公式求积节点求积节点求积系数求积系数 这类数值方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值这类数值方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼兹公式需莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难。要寻求原函数的困难。二、代数精度的概念二、代数精度的概念代数精确度。代数精确度。因此梯形公式具有一次因此梯形公式具有一次右边右边左边左边右边右边左边左边当当右边右边左边左边右边

4、右边左边左边当当右边右边左边左边右边右边左边左边当当令令代数精度代数精度梯形公式梯形公式)(2)(3)(333,)(22)(2222,)()(2, 1)(,., 1)()(2)()()(223332222222ababaabbabxxxxxfabababxxxxxfabababxxfxxfabbfafxxfTbabababababa22abdabd11d1d212231: ( )1, ,2023f xx xABhhABxh ABxh解 令代入公式并令其相等，得1,( )()( )1hhf x dxAfhBf x确定下面公式中的待定参数 使其代数精度尽量高 并指明所构造的求积公式所具有的代数精度

5、例4-利用代数精度的概念构造求积公式利用代数精度的概念构造求积公式133334112,.3231 ( ) ()3 ()23( ),14 0()3()239hhhhxh Ah Bhhf x dxfhfhf xxhx dxhhh ，解得于是再令得故求积公式具有2次代数精度。 )( knkknknfxlxLnkfxfbxxxa010)()(, 2 , 1 , 0)(值多项式值多项式作拉格朗日插作拉格朗日插在这些节点上的值在这些节点上的值且已知且已知设给定一组节点设给定一组节点三、插值型的求积公式三、插值型的求积公式0(1), ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )(1)! banbbnnk

6、kaaknbbnnaaIf x dxIL x dxlx dx ffR fIIf xL x dxx dxnn于是 得到积分的近似值这样构造的求积公式称为插值型的求积公式。它的余项为这时的求积公式至少具有次代数精度梯形公式余项344( )() =()()=( ) ,( , ) 212 =()( ) ,( , ) 1802bafbaR fxa xb dxfa bba baR ffa b（ ）： 同理，辛普森公式余项： 4.2 牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式一、牛顿一、牛顿-柯特斯公式的导出柯特斯公式的导出.C- C 系数系数Cotes公式Cotes公式- -NewtonNewton柯特斯柯特斯称为称

7、为），），柯特斯公式（柯特斯公式（牛顿牛顿称为称为式式构造出的插值型求积公构造出的插值型求积公在等距节点在等距节点等分，步长等分，步长做做设将求积区间设将求积区间)(0)(, )()(,nknkknknkxfabIkhaxnabhnba0 ( )( ) ( ),0,1, nbbnnkkaakbkkaIL x dxlx dx fAlx dx knxath由插值型求积公式：知求积系数 引入变换 柯特斯系数柯特斯系数公式不稳定公式不稳定出现负值出现负值时时柯特斯系数表柯特斯系数表其中其中得到得到时时当当也称为也称为得到抛物线公式得到抛物线公式时时当当得到梯形公式得到梯形公式时时当当CNnabhkha

8、xxfxfxfxfxfabCnbfbafafabSxxfbfafabTxxfnkkbaba,84,),(7)(32)(12)(32)(7904)()2(4)(6)(,2)()(2)()(43210C ,d ,n d ,1n . .公式公式柯特斯(cotes)柯特斯(cotes)n)公式n)公式辛普森(Simpso辛普森(Simpso( )0000( 1) Cd()d . !()!n knnnnnkjjj kj khtjttjtbakjnk nk则有.1,次次代代数数精精度度公公式式至至少少有有阶阶则则为为偶偶数数若若nCNnn 定定理理3 3101010311012011.859140921(

9、 )(1 0)0.2265235, (0,1)1212 14e + 1.7188612611 0( )(180242xxxe dxe dxeeeR fee dxeeR fe 运用梯形公式、辛普森公式分别计算积分，并估计误差。解： 运用梯形公式 其误差为 运用辛普森公式 其误差为例 41) =0.00094385, (0,1)28802880ee牛顿牛顿-柯特斯公式的代数精度柯特斯公式的代数精度4.3 复合求积公式复合求积公式 一、问题与基本思想 在使用牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n8时,牛顿.柯特斯求积系数会出现负数)，因而不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。为了提高精度通常

10、采用将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式(梯形公式或辛普森公式)，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。本节只讨论复化的梯形公式和复化的辛普森公式。11111001 , , , (,0,1,1), , ( )d( )d ()()( )2 T ()()2kkkkknnbxkknaxkknkkka bnxxbaxakhhknnhIf x xf x xf xf xRfhf xf x将区间等分为个小区间其中并在每个小区间上应用梯形公式 则得复合梯形公式记11013-1102 ( )2()( )2 ( )(), (,)1

11、2- ( ), ( , )12nnkknnnkkkkkhf af xf bhRfITfxxb ah fa b 称为复合梯形公式，余项为 二、复合梯形公式二、复合梯形公式1211212110110110 , , ( )d( )d = ()4 ()()( ),6 S = ()4 ()()6 kkkkknbxaxknkknkknnkkkkxxxIf x xf x xhf xf xf xRfhf xf xf x记的中点为，在每个小区间上应用辛普森公式 则得复合辛普森公式记121101 = ( )4()2()( )6nnkkkkhf af xf xf b称为复合辛普森公式三、复合辛普森公式三、复合辛普森

12、公式4-1(4)104(4) ( )S(), (,)180 2 ( ), ( , )1802nnnkkkkkhhRfIfxxbahfa b 余项为：10sin ( ),8sind xf xnxxIxx对于函数给出时的函数表，试用复合梯形公式及复合辛普森公式计算积分。例例4 -34 -3 xi0 1/8 1/4 3/8 1/2 f (xi)1 0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510 xi5/8 3/4 7/8 1 f (xi)0.9361556 0.9088516 0.8771925 0.8414709 20-3 sin 0,210424 1Ixdx计算积

13、分， 若用复合梯形公式，问区间应分多少等份才能使误差不超过，若取同样的求积节点，改用复合辛普森公式，截断误差例是多少？841(0)1131537(1)( )( )( )( )( )( )( )8284828482 0.9456909.11357(0)4 ( )( )( )( )4 68888113 2 ( )( )( )(1)0.9460832424ffTfffffffSfffffffff(4)22-3323-3( )cos ,( )sin ,( )sin ,2, -11 ( )()10 ,(0,)21212 22210 ,25.416,260,482261102nf xx fxx fxx b

14、ab aR fh fnnnn 解： 由于,故复合梯形公式 要求（ ）即取,即将区间分为等份时，用复合梯形公式计算，截断误差不超过4(4)4-9- ( )()0.7266303 101802180 2 2Sb ahRffn 。用复合辛普森公式，截断误差为（ ）1211110011 , , , ()() ( )2()( ).22 , 2, ,2kknnnkkkkkkkkkkbaa bnnxxhnhhTf xf xf af xf bxxa bnxxx把区间作等分得个小区间则复合梯形公式把区间作等分 记的中点，则复合梯形公式4.4 龙贝格求积公式龙贝格求积公式 一、梯形法的递推化一、梯形法的递推化 (

15、变步长求积法变步长求积法) 121212121011100101 ()2 ()()2 2 ()()()421 ().22nnkkkknnkkkkknnkkhTf xf xf xhhf xf xf xhTf x 于是可以逐次对分形成一个序列于是可以逐次对分形成一个序列T1,T2,T4,T8,此序列此序列收敛于积分真值收敛于积分真值 I。当。当 |T2n-Tn|时，取时，取T2n为为 I 的近似值。的近似值。以上算法称为以上算法称为变步长求积法变步长求积法。 但由于此序列收敛太慢但由于此序列收敛太慢 。下。下节我们将其改造成为收敛快的序列。节我们将其改造成为收敛快的序列。 956909. 0)87

16、()85()83()81(81219445135. 0)43()41(41219397933. 0)21(21219207355. 0)1 ()0(214824121ffffTTffTTfTTffT解：解：10sin d xIxx利用变步长的梯形法求的例如近似值。二、龙贝格算法二、龙贝格算法如何提高收敛速度以节省计算量是龙贝格算法要讨论的中如何提高收敛速度以节省计算量是龙贝格算法要讨论的中心问题。心问题。 21122221222222() ( , )12 ()( , )122()()1 4 344 144 1nnnnnnnnnnnbaITh fa bbahITfa bffITITTTITTTI

17、TT 假定，则有整理，移项得（）于是记这样我们从收敛较慢的Tn序列推出了收敛较快的Sn序列。 可以证明Sn序列实际上就是逐次分半的复化辛普森公式序列。14463163641441511516.1513232222222nnnnnnnnnnnnnCCCCRSSSSCSSSI 龙贝格求积公式复化柯特斯公式复化柯特斯公式）（同理，同理， 这样我们从Cn序列又推出了收敛更快的Rn序列. Rn序列也称为龙贝格序列。我们从收敛较慢的Tn序列只用了一些四则运算，便推出了收敛更快的Sn序列, Cn序列和Rn序列。T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R2运算顺序表运算顺序表10sin d xI

18、xx利用龙贝格求积算法求的近似值例例4 -54 -5kT2kS2k-1C2k-2R2k-300.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.946083030.94569090.94608330.94608310.9460831这里利用二分3次的数据（它们的精度都很差，只有两三位有效数字）通过三次加速求得R1=0.9460831,这个结果的每一位数字都是有效数字，可见加速效果是十分显著的。0 ( )() 22,(0,1, ) (0,1, )21 ( )nbkkakkkkf x dxA f xnxA knnx knnGaussIx机械求积公式含有

19、个待定参数。插值型求积公式的代数精度至少次。如果适当选取有可能使求积公式具有次代数精度，这类求积公式称为高斯（）求积公式。一般地，我们研究带权积分0( )d() , nbkkakf xxA f x4.5 高斯求积公式高斯求积公式 一、一般理论一、一般理论 100111 ( )d( 6)() .x f xxA f xA f x试构造高斯求积例4-公式010 , 21, , ( )d , 0,1,21. nnbmmiiaiaxxxbnxxxAxmn构造高斯若一组节点使插值型求积公式具有次代数精度则称此组节点为并称此求积公求积公式方法（式为。利用代数精度的定义，只要求解方一程组）定定义义4 4高高斯

20、斯点点高高斯斯求求积积公公式式 准确成立，得准确成立，得解：令公式对于解：令公式对于32, 1)(xxxxf111100131030121020110010 )0.289949(0.277556)0.821162(0.389111d)( ,0.2775560.289949 0.3891110.821162 92725232ffxxfxAxAxAxAxAxAxAxAxAA高斯公式为于是，解得 kkxA先确定了节点 ，后利用方程组求构造高斯求积公式方法（二）解系数 。 0.d 5bannnnxxPxxxxPnxxxxxxxbxxxa)()()(,)()()()()(110110即即正交正交带权带权

21、的多项式的多项式与任何次数不超过与任何次数不超过是高斯点是高斯点插值型求积公式的节点插值型求积公式的节点 定理定理k01 , 1xn Ana bnAAA定理表明在上带权的次正交多项式的零点就是求积公式的高斯点，有了求积节点 （0,1， ， ） ，再利用代数精度概念得到一组关于求积系数 ， ， ， 的线性方程组。解此方程组得系数 。也可直接由插值多项式求出求积系数。 （中点公式）（中点公式）.2)()()(,)()()(,)()()(hhafhafafhhafafafhafhafaf4.6 数值微分数值微分一、中点方法与误差分析一、中点方法与误差分析 数值微分就是要用函数值的线性组合近似函数在数值微分就是要用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值。由导数定义差商近似导数得到数值微某点的导数值。由导数定义差商近似导数得到数值微分公式。分公式。 234(4)5(5)24(5)2()( )( )( )( )( )2!3!4! ( ), 5!()()( )( )( )( ). 23!5! ( )( ), 6hhhf ahf ahfafafafahfaf ahf ahhhG hfafafahhG hfaM误差估计max( ) . ( ),x222 ( ), 42x ahMfxhhf xxhhG hh 其中表面上看越小越好，但从舍入误差角度考虑， 不能太小。例如 在处的一阶导数设取 位