数学二串讲2(导数与微分))

1、考研数学二串讲考研数学二串讲主讲教师主讲教师: :杜守旭杜守旭2 第二章 一、一、 导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用二、二、 导数和微分的求法导数和微分的求法 导数与微分三、典型题型的解题方法与技巧三、典型题型的解题方法与技巧3一、一、 导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用导数导数 : :0()( )( )limxf xxf xfxx 当当时时, ,为右导数为右导数当当时时, ,为左导数为左导数0 x)(xf0 x)(xf微分微分 : :d ( )( )df xfxx 可导与可微的概念可导与可微的概念：可导可导0limxyx 存在存在. .可微可微()yA xx 其中其中A

2、是与是与x 无关的常数无关的常数.特点是：特点是：“分分子一定一动，子一定一动，分母有左有右分母有左有右” ” 分子是函数值分子是函数值之差，之差， 分母是分母是相应的自变量相应的自变量之差，分母趋之差，分母趋于零的极限于零的极限. .能能4联系联系:xxfyxxd)(d00 区别：区别：可从定义式子；可从定义式子；实质；实质；几何意义几何意义三方面考察三方面考察.)(0 xf 是函数相对于自变量的是函数相对于自变量的变化率变化率.0dxxy 是相对于自变量改变量为是相对于自变量改变量为x 时，时，导数与微分的区别与联系导数与微分的区别与联系函数改变量函数改变量y 的的线性主部线性主部.即即0

3、0d.x xx xyy0000()lim,xfxxfxfxx 00ddx xyfxxxx0 xyo)(xfy 0 xyyd0()tankfx 当当y 是曲线的纵坐是曲线的纵坐标增量时，标增量时，dy就是切就是切 线纵坐标对应的增量线纵坐标对应的增量. .5可导与可微的区别与联系可导与可微的区别与联系:区别区别：可从定义式子；几何意义两方面考察：可从定义式子；几何意义两方面考察.可导可导0limxyx 存在存在. .可导可导一定有切线一定有切线 且切线不垂直于且切线不垂直于x轴轴.以直代曲以直代曲当当x 很小时，很小时，在在点点M的附近的附近，可用切线段近似地代替曲线段可用切线段近似地代替曲线段

4、. .可微可微联系：联系： 可微必可导，可微必可导，可导必可微可导必可微.可微可微()yA xx 其中其中A是与是与x 无关的常数无关的常数.能能xx0 xyo)(xfy 0 xyyd6 几个定理几个定理 00()()fxfxA定理定理1 Axf )(0( )f xx在在点点 处处可可导导定理定理2( )f xx在在点点 处处连连续续定理定理3在在)(xfy 0 x处可导处可导在在)(xfy 0 x处连续处连续在在)(xfy 0 x处的极限一定存在，处的极限一定存在， 即即)(lim0 xfxx存在存在.在在)(xfy 0 x可微可微可微可微可导可导连续连续有极限有极限有定义有定义( )yf

5、x 在点在点 可微可微 0 x( )yf x 在点在点 处可导处可导0 x700( )( )f xxfxx 函函数数在在 处处可可导导, ,能能否否有有在在 处处连连续续？21cos,0:( ),0,0 xxf xxx 如如21(cos) ,00( ),0 xxxfxx ，0 x 在在处处可可导导, ,且且( )0fxx 则则在在处处连连续续吗吗？112 cossin,0( )0,0 xxfxxxx 事事实实上上，0 x 在在不不连连续续. .0(0)(0)(0)limxfxffx 思考：思考：00( )( )f xxfxx 结结论论：函函数数在在 处处可可导导, ,在在 处处不不一一定定连连

6、续续？201() cos0(0)limxxxfx 8应用应用 : :(1)(1) 利用导数定义解决的问题利用导数定义解决的问题 (2) (2) 用导数可求切线与法线的方程用导数可求切线与法线的方程4 4）用导数定义求极限；用导数定义求极限；2) 2) 求分段函数在分界点处的导数求分段函数在分界点处的导数 , ,及某些特殊及某些特殊函数在特殊点处的导数函数在特殊点处的导数; ;3) 3) 由导数定义证明一些命题；由导数定义证明一些命题；1) 1) 利用导数的定义求函数在某点处的导数；利用导数的定义求函数在某点处的导数；用导数可求变速直线运动的速度与加速度用导数可求变速直线运动的速度与加速度5 5

7、）判断函数在某一点的可导性）判断函数在某一点的可导性. .91）几何应用）几何应用(1)几何意义：几何意义：是是y=f(x)在点在点0()fx (2)切线、法线的方程：切线、法线的方程：切线的方程：切线的方程：法线的方程：法线的方程：000)(),(yyfxxx 0000(), ()1).(0yyxxfxfx 2）物理应用）物理应用d,dsvt 瞬时速度：瞬时速度：瞬时加速度：瞬时加速度：22dd.ddvsatt00(, ()xf x处切线的处切线的斜率斜率.例例1 曲线曲线L的极坐标方程为的极坐标方程为 ，则，则L在点在点 处的切线方程为处的切线方程为 (2014数学二数学二) r2,2)(

8、r,例例2 曲线曲线 上对应于上对应于 处的法线方处的法线方程为程为 （2013数学二）数学二）21lnarctantytx1t11二、二、 导数和微分的求法（微分法）导数和微分的求法（微分法）1. 正确使用导数及微分公式（正确使用导数及微分公式（16个）和法则（四则个）和法则（四则法则；锁链法则；反函数求导法则）法则；锁链法则；反函数求导法则） 2. 熟练掌握求导方法和技巧熟练掌握求导方法和技巧(1) 求分段函数的导数求分段函数的导数注意讨论分注意讨论分界点界点处左右导数是否存在和相等处左右导数是否存在和相等(2) 隐函数求导法隐函数求导法(直接法、微分法）直接法、微分法） (3) 参数方程

9、求导法（复合函数法、微商法）参数方程求导法（复合函数法、微商法）(5) 复合函数求导法复合函数求导法 (可利用微分形式不变性可利用微分形式不变性)(6) 高阶导数的求法高阶导数的求法 （逐次求导归纳（逐次求导归纳 ;间接求导法）间接求导法）(4) 对数函数求导法（对多个因式的积商、乘方开方对数函数求导法（对多个因式的积商、乘方开方及幂指函数有用）及幂指函数有用）12 )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(exxe )(log xa

10、axln1 )(lnxx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x3.3.常数和基本初等函数的导数及法则常数和基本初等函数的导数及法则13有限次四则运算的求导法则（注意条件）有限次四则运算的求导法则（注意条件） )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数为常数 )0( v复合函数求导法则复合函数求导法则（注意条件）（注意条件）)(, )(xuufyxydd)()(xufuyddxudd1 1 ( )( )fxfy d 1 dddyxxy 或或反函数的求导法则反函数的求导法则（注意条件）

11、（注意条件）初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数.注意注意:,)(vuuvvuvu144.高阶导数高阶导数如果函数如果函数)(xf的导数的导数)(xf 在点在点x处处，即即( )fx 0()( )limxfxxfxx 则称则称( )fx为函数为函数)(xf在点在点x处的处的记作记作一般地，一般地，)(xf( )f x2222dd( )( ),.ddyf xfxyxx( )( )dd( )( ),.ddnnnnnnyf xfxyxx相应地，相应地，)(xf称为称为，)(xf 15( )(1)nuv ( )( )nnuv，()(2)()nCu( )

12、nCu (C为常数为常数)直接法和间接法直接法和间接法(3)乘积乘积( )( )1(1)()( )( )().nnnkn kknnnnnuvuvC uvC uvC uv 该公式称为该公式称为莱布尼兹公式，莱布尼兹公式，它和二项式公式有类似的记忆它和二项式公式有类似的记忆11().nnnkn kknnnnnuvuC uvC uvC v ()()()0!().!()!nnknkkknnknu vC uvCknk 其其中中3)高阶导数的高阶导数的基本公式基本公式()()xnxee ()(sin)sin(),2nnxx ()(cos)cos(),2nnxx ()1(1)!ln(1)( 1),(1)nn

13、nnxx ()()(1)(2).(1),nnxnx ()()!nnxn ( )()(ln )xnnxaaa 161.有以上公式与法则，我们就可以对各类函数有以上公式与法则，我们就可以对各类函数（显函数；隐函数；参数方程表达的函数；分（显函数；隐函数；参数方程表达的函数；分段函数等）求各阶段函数等）求各阶导导(函）数函）数及及微分微分.2.求导时应认清结构及变量之间的关系求导时应认清结构及变量之间的关系.3.求导时应认清谁是自变量谁是函数求导时应认清谁是自变量谁是函数.对哪一个变量求导对哪一个变量求导.4.应正确使用符号应正确使用符号.如如 04404ddd;dddx xfxyyy yfxfxf

14、xyxxx说明说明 ： 22ddd()dddyyyfxxxx如如：符号符号 的优点的优点:ddyx1.表示导数时能显示谁是函数谁是表示导数时能显示谁是函数谁是自变量自变量2.表示微分时有商的含义，故表示微分时有商的含义，故3.隐含着微分形式的不变性隐含着微分形式的不变性1ddddyxxyd( )dyxd( )dyfuu17例例3.设设)(0 xf 存在存在,求求.)()(lim0200 xxfxxxfx解解: 原式原式=xxfxxxfx )()(lim02002)( xx2)( xx)(0 xf ( )f xx a在在 处可导处可导( )( )limxaf xf axa存存在在三、典型题型的解

15、题方法及技巧三、典型题型的解题方法及技巧题型题型1：已知导数求极限：已知导数求极限0()( )limxf axf ax 存存在在. .一般的若一般的若)(0 xf 存在存在 000 ()lim xff xx0().fx00002()()lim()hf xhf xhfxh0000()()()limxf xxf xfxx 180lim hhhxf2)(00()f xhhxf2)( 0)(0 xf01()2fx 001()()2fxfx00000022()()()()limlim()hhf xhf xf xhf xhh 0002()()limhf xhf xhh一般的若一般的若)(0 xf 存在存在

16、 000 ()lim xff xx0().fx00002()()lim()hf xhf xhfxh一般的若一般的若)(0 xf 存在存在00002()()lim()hf xhf xhfxh19例例4.设设1000cos ( ) xf xxx，讨论，讨论 在在 处的可导性，处的可导性，( )f x0 x 并求并求0002()()lim.hfhfhh解解: 001lim( )limcosxxf xx不存在不存在0( )f xx在在不连续，从而不可导不连续，从而不可导.但是但是001100022coscos()()limlim.hhfhfhhhhh一般的若一般的若)(0 xf 存在存在00002()

17、()lim()hf xhf xhfxh20例例5.若若0) 1 (f且且) 1 (f 存在存在 , 求求.tan) 1()cos(sinlim20 xexxfxx解解: 1)cos(sinlim20 xxx原式原式 =220)cos(sinlimxxxfx且且0) 1 (f联想到凑导数的定义式联想到凑导数的定义式220(sincos )limxfxxx1cossin2xx1cossin2xx) 1 (f) 1 (f )211 ( ) 1 (21f 000 ()lim xff xx0().fx21例例6.设设)(xf在在2x处连续处连续,且且, 32)(lim2xxfx求求. )2(f 解解:)

18、2(f)(lim2xfx)2()()2(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx3 limxafxf axa存存在在 fxxa在在处可导，即处可导，即 limxafxf axa存存在在 fxxa在在处右可导，即处右可导，即 .fa存存在在 .fa存存在在题型题型2：已知极限求导数：已知极限求导数 0000 ()()lim xff xfxx22在在 处可导的一个充分条件是（处可导的一个充分条件是（ ）练习练习 设设D在在xa的某个邻域内有定义，则的某个邻域内有定义，则( )f x( )f xxa1( ) lim ()( )hAh f af ah存存在在；0

19、(2 )()( )limhf ahf ahBh存存在在；0()()( )lim2hf ahf ahCh存存在在；0( )()()limhf af ahDh存存在在. .11()( )limhf af ahh存存在在0()( )limtf atf at存存在在 0limtf atf at存存在在 fxxa在在处可导处可导0()( )limhf ahf ah存存在在0()( )limtf atf at存存在在23题型3：利用导数的定义求函数在某点的导数提示：以下情况必须用导数的定义求导数提示：以下情况必须用导数的定义求导数1）求分段函数在分界点处的导数时；2）不符合求导法则的条件时3）表达式中的抽

20、象函数的可导性未知时就不能盲目的 用求导法则30sin yxxx在在 0000limxfxffx30sinlimxxxx0例例7.求求处的导数处的导数.解解:注意：可导注意：可导 可导可导=可导；可导可导；可导 不可导就不一定可导不可导就不一定可导.注意：可导注意：可导 可导可导=可导；可导可导；可导 不可导就一定不可导不可导就一定不可导.33213sincos yxxxx24设设 连续，且连续，且 ，)(xg )()()(2xgaxxf 求求 .)(af )(xg可导可导)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求)(af )(af axa

21、fxfax )()(lim0)( afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 例例8.解解:注意：注意：求导法则的成立是有条件的求导法则的成立是有条件的.25)(xf设设0,( )f xx 讨讨论论在在解解:因为因为)(lim0 xfx又又xfxfx)0()(lim0例例9.所以所以 )(xf0 x在在处连续处连续. 即即)(xf0 x在在处可导处可导 .xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim000,1sin2xxx0,0 x处的连续性及可导性处的连续性及可导性. xxxx120sinlim0) 0 ( f注：注： 判断可导性的方法判断可导性的

22、方法不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.2621cos,0:( ),0,0 xxf xxx 又又如如112 cossin,0( )0,0 xxfxxxx (0)f 求求 0011lim 00, lim(2 cossin)xxxxx不不存存在在，(0).f 不不存存在在 (0).f 实实际际上上是是存存在在的的000( )( )( )limxf xffx因因为为2010coslimxxxx0故故 分段函数分界点处的导数必须用导数的定义求；分段函数分界点处的导数必须用导数的定义求；非分界点处的导数用公式与法则求导非分界

23、点处的导数用公式与法则求导.000( )( )( )limxf xffx且且02712990( )()()(),( ).f xx xxxf设设求求 解解: 方法方法1 利用导数定义利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求导公式利用求导公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f 28例例11 证明：证明：20.( )f xx若若在在 处可导且为偶函数处可导且为偶函数00( )f1. ( ) ( )f xf x是是周周奇奇（）函函数数是是偶偶、奇奇、期期周周偶偶( (函函数数

24、期期) )证明：证明：定义法定义法()( )fxf x 0()()()limxfxxfxfxx 0()( )limxf xxf xx 0()( )limxfxxf xx ( )fx公式法公式法()( )fxf x ()( )fxf x 即即()()( )fxxfx ()( )fxfx题型题型4 4：利用导数的定义证明导函数的性质：利用导数的定义证明导函数的性质29思考：思考：05数一、二，数一、二，4分分 设设F(x)的导数是的导数是f(x) ，MN表示表示“M的充分必要条件是的充分必要条件是N”，则必有，则必有 (B) F(x)是奇函数是奇函数f(x)是偶函数是偶函数.(A) F(x)是偶函

25、数是偶函数f(x)是奇函数是奇函数.f(x)是周期函数是周期函数. (C) F(x)是周期函数是周期函数f(x)是单调函数是单调函数.(D) F(x)是单调函数是单调函数 A ( )( )Fxf x 2( )f xx3( )F xx1( )cosf xx ( )4( 1)2,f xf 设设是是以以 为为周周期期的的函函数数且且练练习习：0lim .(34 )(3)hhfhf 则则( )4( )4f xfx 是是以以 为为周周期期的的函函数数是是以以 为为提提示示：周周期期的的函函数数01lim(34 )(3)4(3)hhfhff 则则30解解sin( ) sinxxyeesin( sin)xx

26、ee ( )sinxesin( )xe sinxecos x cosxexe 题型题型5：求各类函数的导数及微分：求各类函数的导数及微分例例12 求下列函数的导数求下列函数的导数1(arct()an )xf1(arctan )xf 22111()1xx 关键关键: 搞清函数的运算结构搞清函数的运算结构 ，对复合函数结构对复合函数结构 应由外向内逐层求导应由外向内逐层求导.11sin.sin(arctan ),xxxyeef其中其中)(xf可微可微 ,.y求求 3111sin.sin(arctan ),xxxyeef其中其中)(xf可微可微 ,.y求求 另解另解:yd)d(sinsin xxee

27、)d(sinsinxxee)d(arctan)(arctan11xxf )d(sinsinsinxeexx)d(cossinxxxeee21111(arctan )d( )1xxxf xexexxd) sin(cossin2111(arctan )dxxfx ddyyx xxee cos ddyfuu211d()dxxx 解解:aaaxln1axaaaxaln20.(),.aaxaxayxaaay求求 aaxln2sin111(cossin cos )(arctan )xxxxxxexeeef 32cos3. (cos ) ,xxyxxy 求求解：解：coslnln(cos),xxxxyeec

28、osln (cosln )xxyexxcoscos( sinln)xxxxxx(cos ) ln(cos )( tan )xxxxxln(cos) ln(cos )xxexx 0( )( )( )( ( )v xf xu xu x)(ln)()(lnxuxvxf 然后用然后用求导求导.变形为变形为( )ln ( )( ),v xu xf xe然后用然后用求导求导.33例例13.解：解：.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxddddddyytxxt)sin(cos3cossin322ttatta ttan 22dddd()ddddyyyxxxx)

29、cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 3costanxatyt 求导小技巧：先变形再求导求导小技巧：先变形再求导34注：注：由参数方程所确定的导数的求导法：由参数方程所确定的导数的求导法：1( )yx 则则可可导导若参数方程若参数方程( )( )xtyt 可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的函数之间的函数( ),( )tt可导可导, 且且关系关系,0( ) t 时时，法法1：由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得ddddddytyxxt txtydd1dd .)()(tt txtyxydddddd 即即22ddddddyytxxt 法法2：由

30、微商及微分的计算求导由微商及微分的计算求导ddyyxx把把看看成成是是函函数数 的的微微分分及及自自变变量量 的的微微分分之之商商, , yxt求求出出dddd 代代入入约约去去d d 即即可可. .22d( )d( )ytxt d( ),d( )ytxt ?已知已知注意注意 :对谁求导对谁求导?35单值可导隐函数单值可导隐函数( ),yf x0dd,0dd22xxyxxy并求并求, 1sin),(yxeyyxFx, yeFxxxyFy cos01sinyxeyx( )yy x公式法：公式法：10sinxyexy 例例设设14.14.在点在点(0,0)某邻域某邻域可确定一个可确定一个dd0yx

31、 x sin10 xyexycosdyy 两边微分两边微分1dxex dy x d0 x ycos(0,0)xeyyx 微分法：微分法：22d()codsxxyyxeyx 2()(cos)() (cos)(cos)xxxxeyyxeyyxyx 2() (cos)() ( sin1)(cos)xxxxeyyxeyy yyx 001,xyy时时 220d3dxyx 360 xysin10 xyexyyycos两边对两边对 x 求导求导1xey0 yx)0 , 0(cosxyyex直接求导法：直接求导法：yyyy cos)(sin2令令 x = 0 , 注意此时注意此时01,yy 0 yxyyex两

32、边对两边对 x 求导求导小技巧小技巧单值可导隐函数单值可导隐函数( ),yf x0dd,0dd22xxyxxy并求并求10sinxyexy 例例设设14.14.在点在点(0,0)某邻域某邻域可确定一个可确定一个22d3d0yxx d?dxy2200d( )(,),.dyxyyf xyx xyx设设函函数数由由方方程程所所确确定定 求求思思考考: :提示：提示： 两边取对数两边取对数,ln1ln1xyyx lnln ,yyxx 即即37例例15. 设设2111()()( )limn xn xnx eaxbf xe试确定常数试确定常数 a , b 使使 f (x) 处处可导处处可导,并求并求( ).fx解：解： )(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x1,x 时时( );fxa1x 时时，2( ).fxx) 1 ()1 ()1 (fff得可导必连续得可导必连续1( )f xx 利利用用在在处处可可导导，即即ba1) 1(21ba) 1 () 1 (ff000lim;lim.xxxxee 381111( )( )(