矩阵变换的特征值与特征向量

1、矩阵变换的特征值与特征向量矩阵变换的特征值与特征向量复习yxyx若向量 = ,利用逆矩阵解二元一次方程组则 与 共线,即 与 平行,即 .21001M矩阵表示一个压缩变换BCAxyO11MBCAxyO112101012100101M210102100110M.1001分别与它们的像共线和ABCxy11-1OABCBAxy11-1ON1001N矩阵关于y轴的反射变换0110101100101N1010100110N.1001分别与它们的像共线和一般地,给定矩阵M,若存在一个非零向量 和实数,满足M = 则称为矩阵M的特征值, 为矩阵M的属于特征值的特征向量.特征向量变换后的像与原向量是共线的特征

2、向量的不变换性0101M102110M01101N1010N的特征向量的属于特征值为矩阵向量101M的特征向量的属于特征值为矩阵向量 M的特征向量的属于特征值为矩阵向量 N的特征向量的属于特征值为矩阵向量 N21001M对于矩阵还有没有其他的特征值和特征向量?如何确定矩阵的特征值和特征向量呢?1021011110实例分析?2563的特征值和特征向量如何确定矩阵M0Myx及对应的特征向量存在特征值假设矩阵,2563yxyx,002563yxyxyx,002563yxyx.002563由定义知特征向量是非零向量,将问题转化为:二元一次方程组何时有非零解.02563N2563存在逆矩阵N-100yx

3、N001Nyx00yx仅有零解时当5.2,02563M 无特征向量.5.2, 02563才可能有非零解只有 652325632452当 2-5-24 = 0 时, 才可能是M的特征值解方程得 1 =8 2 =-3将 1 =8 代入 (5.2)00285638yx065065yxyxyx65 065xxx有无究多个非零解1 =8 是M的特征值0651xx都是属于特征值1 =8 的特征向量.将 2 =-3 代入(5.2) 00235633yxx+y=00 xxx有无究多个非零解11xxx对每一个x0的值,都是属于2 =-3的特征向量 2 =-3 是 M 的特征值对于矩阵M,若有特征值及相应的特征向

4、量,即M = ,则对任意实数t(t0),t 也必是矩阵 M 对应于特征值的特征向量.由于它们是共线的堂上练习1.求下列矩阵的特征值和特征向量 ;10111 ;21522堂上练习2.利用特征向量的定义证明,若 是矩阵M对应于特征值 的特征向量,则 t (实数t0)也必是矩阵 M 对应于特征值 的特征向量.抽象概括,dcbaM矩阵若矩阵 M 存在特征值,及其对应的特征向量yxyxyxdcba00yxdcba.,0方程组才可能有非零解时dcba因此,矩阵M的特征值必须满足方程 cbdadcba002bcadda方程的根即为矩阵 M 的特征值一个二阶方阵最多可以有两个特征值方程最多有两根00yxdcb

5、a解得特征值代入00ydcxbyxa cbda0dbca解集相同与00ydcxbyxa当 b0 时,由( - a ) x by = 0 xbaybaxxbax1方程有无穷多解当x0时.M1的特征向量的属于特征值是矩阵解bax例1.3-65-8的特征值与特征向量求矩阵M解矩阵M的特征值 满足方程656538365802解得 M 的两个特征值 1=2, 2=3设属于特征值 1=2 的特征向量为yx满足方程组00326582yxxy65这样的向量有无穷多个,可表示为0561xx65取为属于特征值1=2的一个特征向量设属于特征值 2=3 的特征向量为yx满足方程组00336583yxxy 这样的向量有

6、无穷多个,可表示为011xx11取为属于特征值2=3的一个特征向量综上所述,3-65-8M矩阵有两个特征值1=2,2=365211的一个特征向量为属于11322的一个特征向量为属于对上例中122653658M1MM11M11M11112124206546522连续实施n次矩阵M的变换,则nnnnn26256526536581211M一般地,当矩阵M有特征值及对应的特征向量 ,即 M = 则有 Mn = 给定两个不同线向量 1, 2及任意向量 ,总存在实数s,t,使得 = s 1 + t 2如果矩阵M 有两个不同线的特征向量 1, 2 ,及其相应的特征值1,2 ,有 M 1= 1 1 , M 2

7、= 2 2 对任意向量 有M =M(s 1 + t 2)=s(M 1)+ t(M 2)= s( 1 1)+ t(2 2) 10011001MMMMyxyxyx作用下的在矩阵和只要知道两个基向量所以M1001,变换结果,任意向量在矩阵M 作用下的变换结果均可以用它们表示.对一般向量连续实施矩阵M 所表示的变换时,M2 = M2(s 1+t 2)= s ( M2 1 ) + t (M2 2)222121ts2211nnntsM一般地例2MMM1004,87,3-65-8求向量矩阵解利用例1结果11,6521是矩阵M分别对应212112658724421442MMMM2421412113256244;2582