材料力学(附录))

1、 ; ; ; maxPtGIlTWTANI1 静矩和形心静矩和形心I2 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径I3 惯性积惯性积I4 平行移轴公式平行移轴公式I5 转轴公式转轴公式 主惯性轴主惯性轴附录附录I I 平面图形的几何性质平面图形的几何性质一、静矩：一、静矩：AxAySddAxyyx定义：称为图形对x 和y轴的静矩。 （面积矩、一次矩）（面积矩、一次矩）yxSS 、AyAxSd I-1 I-1 静矩和形心静矩和形心二、形心：二、形心：yASxAAxxAdASyASx则：xyxyCAAyyAdxASydAyxAxAySd（1）简单图形的形心和静矩：）简单图形的形心和静矩：yASxASxy（2

2、）组合图形的静矩和形心：）组合图形的静矩和形心：ASxyASyxyxCyxyxCyxiAAydiiyAiiyiixxASyASyx123AxAiiAyAii（3）图形有对称轴时，形心在对称轴上。）图形有对称轴时，形心在对称轴上。（4）轴过形心。xSx 00yASx0yCxydAxyyxyCxAAxxii109011010451090510110109011010510906510110解 ： 组合图形， 图形分割及坐标如图901201010 xyC1C2例例I-2(P375) 试确定下图的形心。试确定下图的形心。AAyyii212121AAAxAx212121AAAyAy)mm(23)mm(3

3、8一、惯性矩：一、惯性矩： AxAyId2dAxyyx定义：Ix、Iy称为图形对称为图形对x轴、轴、y轴轴的惯性矩（量纲：的惯性矩（量纲：长度长度4）AyAxId2 I-2 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径例I-4计算矩形对于其对称轴（形心轴）的惯性矩。计算矩形对于其对称轴（形心轴）的惯性矩。yxChbdAydxdyAdAxAyId2解：解：Ayxydd222222dbbhhxdyy123bh123bhIx123hbIy计算圆形对于其对称轴（形心轴）的惯性矩。计算圆形对于其对称轴（形心轴）的惯性矩。Cdxy例I-5ddAddd A解：AyxAyIId2sinyAxddI2)sin(ddd202

4、203)(sinddd2020322cos1644dIxCdxydAxyAPAId2APAyxI)d(22AAPAydAxId22xyPIIIxPII2yxII 极惯性矩：极惯性矩：计算空心圆对于其对称轴（形心轴）的惯性矩。计算空心圆对于其对称轴（形心轴）的惯性矩。例例DxyCdddIDdx202223)(sinddDd2022322cos1646444dDIx)1(6444DIx)(Dd三、惯性半径：三、惯性半径：AiIxx2AiIyy2ix和iy分别称为图形对于x轴和y轴的惯性半径。, AIixxAIiyy圆截面：AIixx4d46424dd四、组合图形的惯性矩：四、组合图形的惯性矩：Cx

5、yixICxy1213AxAyId2iAAy d2iyyIIixxIII3 惯性积惯性积dAxyyxAxyAxyIdIxy称为图形对称为图形对x、y轴的惯性积。轴的惯性积。如果如果 x 轴（或轴（或 y轴）轴） 是对称轴，则惯性积是对称轴，则惯性积Ixy =0yyyxx-xAxyAxyIdyxChbCdxyIxy =0Ixy =0dACxCyCyCxC一、平行移轴公式一、平行移轴公式：, ccccyxyxIII0CcxyASAxAyId2I-4 平行移轴公式平行移轴公式已知：ayybxxCCxayb, xI求：AayACd)( 2解：AaayyCACd)2( 22AACACAaAyaAydd2

6、d 22AaaSIccxx22 AaIIcxx2ba ,yIxyI注意: C点必须为形心AbIIcyy2abAIIcycxxyAaIIcxx2dAxyabCxCyCyCxC同理：例例计算图示图形对其形心轴x轴和y轴的惯性矩。Cxy15104020单位：cm解：yx112AyAyii212211AAyAyA15402010201540452010cm)(25.26ixxII21xxII例例计算图示图形对其形心轴x轴和y轴的惯性矩。Cxy15104020单位：cm解：yx112AyAyii212211AAyAyA15402010201540452010cm)(25.26ixxII21xxII121

7、02031xI)cm(102 . 744a2)25.2645(1020Cxy15104020单位：cmyx11212401532xI)cm(103 .104421xxxIII)cm(105 .1710)3 .102 . 7(444a2)2025.26(4015Cxy15104020单位：cmyx112iyyII21yyII12201031yI)cm(1067. 044)cm(108 . 110)13. 167. 0(44421yyyIII12154032yI)cm(1013. 144 1216123xI)cm(10656. 243例例计算图示图形对其形心轴x轴的惯性矩。xCy28612单位：c

8、m68解：1212103sincossincos11xyyyxx一、一、 惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式dAxy yxx1y1x1y1 I-5 转轴公式转轴公式 主惯性轴主惯性轴, xyyxIII已知：1111, yxyxIII求：解：AxAyId211AxAxyId)sincos(21AAxyxyd)cossin2sincos(2222xAAAAxydAxdAydcossin2sincos2222AxAxyId)sincos(21AAxyxyd)cossin2sincos(2222cossin2sincos22xyyxIII2sin2cos22 1xyyxyxxIIIIII

9、22cos1sin ; 22cos1cos222sin2cos2 21xyyxyxyIIIIII2cos2sin211xyyxyxIIII同理：2sin2cos22 1xyyxyxxIIIIIIyxyxIIII11二、主惯性轴和主惯性矩二、主惯性轴和主惯性矩0)2cos2sin2(200 xyyxIII2sin2cos22 1xyyxyxxIIIIIIxyx1y1x1令0dd 1xI求Ix1极值:yxxyIII22tan0)2(tan2110yxxyIII2000 x0y0与 0 对应的旋转轴为x0 、y0 轴，22minmax)2(2 xyyxyxIIIIIII xy0 x0y0平面图形对x

10、0 、y0轴惯性矩 为00 yxII、000)2cos2sin2(xyyxyxIIII00yxI平面图形对x0 、y0 轴的惯性积 为)2cos2sin2(00 xyyxIII0 xy0 x0y0平面图形对x0 、y0轴的惯性积 为零，00yxI00yxII和称x0 、y0 轴为主轴主轴，称 为主惯性矩为主惯性矩。 使惯性积为零的坐标轴称为主轴主轴。平面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩主惯性矩。 主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩。ccccyxyxIII22tan0三、图形的形心主惯性轴和形心主惯性矩三、图形的形心主惯性轴和形心主惯性矩yC0 xC0yC0

11、 xCC求图形形心主惯性矩的方法：(1)建立坐标系(2)计算面积和面积矩(3)求形心位置(4)建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC(5)求形心主轴方向 0 :(6)求形心主惯性矩AAyASyAAxASxiixiiy22minmax)2(2 CCCCCCyxyxyxIIIIIIIccccyxyxIII22tan0如果图形有对称轴，则对称轴就是形心主惯性轴。如果图形有对称轴，则对称轴就是形心主惯性轴。如果图形有对称轴，则对称轴就是形心主惯性轴。ycxc0ccyxIcccccyxyxIII2 2tan00图形有对称轴图形有对称轴00 xc和和yc轴是形心主惯性轴轴是形心主惯性轴例例

12、确定图示图形的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯确定图示图形的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。性矩。Cxy180403601802040解：由反对称性可知形心在反对称点18040180124018021240020233xI)mm(10751. 54810040180121804021220400233yI)mm(10832. 148180100401802xyI180-100)mm(10592. 248Cxy180403601802040yxxyIII22tan03226. 1832. 1751. 5)592. 2(2 , 9 .522045.2600yoxo)mm(1004. 748)

13、mm(105425. 048=)mm(1004. 744xoI)mm(105425. 044yoI maxI )2(222xyyxyxIIIII minI如图所示图形，求形心主惯性矩Ixc。解： （2）求形心位置。（3）求：IxC 0 xAAyyii)cm(5.62 例例33 （1）建立坐标系如图。604545208050yyx1xcC4506090208045450456090100208022（3）求：IxC 604545208050y5.62yx1xcC231)5 .62100(2080122080 xI)cm(103 . 246232)455 .62(9060129060 xI2243)455 .62(4506450 xI)cm(1029. 546)cm(109 . 046321xxxxcIIII)cm(1069. 646在矩形内挖去一与上边内切的圆，求形心主惯性矩。(b=1.5d)解： （1）建立坐标系如图。（2）求形心位置。（3）建立形心坐标系；求：IxC ，IyC ，I xCyC 0 xdb2dxOyC4342332222ddddddAAyyiid823.0 xCy例例4 CCCCxxxIII圆矩)823. 05 . 1 (