大学物理波动概述

1、1喀纳斯湖的神秘波纹喀纳斯湖的神秘波纹出自一位物理工作者的摄像出自一位物理工作者的摄像怪兽怪兽2第二章第二章 波动波动 Waves本章主要内容：本章主要内容： 简谐波的描述简谐波的描述 简谐波动力学简谐波动力学 波的干涉波的干涉 驻波驻波 多普勒效应多普勒效应3按振动的物理量划分按振动的物理量划分2.1 波的分类波的分类 Classification of Waves机械波、电磁波、机械波、电磁波、按振动性质划分按振动性质划分简谐波、非简谐波简谐波、非简谐波按振动方向划分按振动方向划分横波、纵波、准横波、准纵波横波、纵波、准横波、准纵波按传播性质划分按传播性质划分行波、驻波行波、驻波4简谐波简

2、谐波波动方程的导出波动方程的导出一一 、机械波产生与传播的条件、机械波产生与传播的条件 1. 振源振源波源波源2. 弹性媒质弹性媒质以弹性力相互联系的连续分以弹性力相互联系的连续分 布的质元布的质元 ( (如水、空气、固体等如水、空气、固体等) )3. 简谐波简谐波波源作简谐振动波源作简谐振动, 在波传到的区在波传到的区 域域, 媒质中的质元均作简谐振动媒质中的质元均作简谐振动5简谐波简谐波波动方程的导出波动方程的导出横波：横波：质元振动方向与波的传播方向相质元振动方向与波的传播方向相 垂直垂直的波的波 （仅在固体中传播（仅在固体中传播 ） 特征：具有交替出现的波峰和波谷特征：具有交替出现的波

3、峰和波谷6简谐波简谐波波动方程的导出波动方程的导出纵波：纵波：质点振动方向与波的传播方向互相质点振动方向与波的传播方向互相 平行平行的波的波（在固、液和气体中传播）（在固、液和气体中传播）特征：具有交替出现的密部和疏部特征：具有交替出现的密部和疏部7uOYX简谐波简谐波波动方程的导出波动方程的导出点点O 的振动状态的振动状态0cos()oAty点点 P =xtut 时刻点时刻点 P 的运动的运动t x/u 时刻点时刻点O 的运动的运动以速度以速度 u 沿沿 x 轴正向传轴正向传播的平面简谐波。原点播的平面简谐波。原点 O 的振动方程的振动方程 0cos()oAty时间推迟方法时间推迟方法0co

4、s ()+yPxA tu 点点 P 振动方程振动方程xPt = x u/8简谐波简谐波波动方程的导出波动方程的导出相位落后法相位落后法P点点: A、 均与均与O点相同，但相位落后点相同，但相位落后 2x,2Pxx tAty0()cos PxuOXY9简谐波简谐波波动方程的导出波动方程的导出,0()cos2 ()yxx tAt 又可得：又可得：,0()cos ()yxx tAtu 若平面波沿若平面波沿 X 轴负方向传播，则有轴负方向传播，则有T22 u 利用利用02cos()Autx 0cos2 ()txAT 102.2 简谐波的描述简谐波的描述 Description of Harmonic

5、Waves简谐波表达式简谐波表达式(波函数波函数) (旧称：波动方程旧称：波动方程)02cosAtxy沿沿+x方向传播的简谐波方向传播的简谐波波函数本质：波函数本质：任意位置任意位置x处质点的振动方程处质点的振动方程特点：同一时刻，沿传播方向，波相依次特点：同一时刻，沿传播方向，波相依次 滞后滞后11波参量：波参量： A：振幅：振幅 ：角频率角频率(圆频率圆频率) 0：x=0 处质点振动的初相处质点振动的初相依赖于波源依赖于波源 ：波长：波长波形图：波形图：t1xy AuOt212 波相波相02tx对应于对应于 x 处质点处质点 t 时刻的振动状态时刻的振动状态若若 2 1=2k (k=0,

6、1, 2, )，则两则两质点的振动状态相同。质点的振动状态相同。 =uTu：波速波速(依赖于介质的性质依赖于介质的性质)13Notes:波函数的其它形式：波函数的其它形式：0cos ()xAtuy0cos2 ()txAT沿沿 x 方向传播的波方向传播的波:02cos()Atxy0cos ()xAtu14波速是波相传播的速度波速是波相传播的速度(相速度相速度)令令02.txconstdd2/xutT 两个术语：两个术语：i) 波阵面波阵面(波面波面)(wavefront)波动中相位相同的点所组成波动中相位相同的点所组成 的曲面的曲面Notes:15ii)波射线波射线(波线波线) (wave ra

7、y)代表波的传播方向的有向直线代表波的传播方向的有向直线e.g.波阵面波阵面波射线波射线Notes:16例例2-1简谐波波速为简谐波波速为6.0 m/s, 振动周期为振动周期为 0.10 s, 则波长为则波长为；在波的传播；在波的传播方向上两点的波相差为方向上两点的波相差为 5 /6，则这两，则这两点相距点相距 。解：解：uT2x)(60. 010. 00 . 6m2x 思考思考 波相在这两点间传播，需时？波相在这两点间传播，需时？)(25. 060. 026/5m17例例2-2平面简谐波沿平面简谐波沿X轴负方向传播，波速轴负方向传播，波速为为u，已知，已知 x=x0 处质点的振动方程为处质点

8、的振动方程为 y =Acos( t+ 0)，则该波的波函数为，则该波的波函数为。解：解：x 处相位比处相位比 x0 处超前处超前xx02= Atxxy002cos+()+故故 x 处质点的振动方程为处质点的振动方程为Xx0 xuO1800cosxxAtuy将将uuT2代入，得代入，得思考思考 x=0 处质点的振动方程？处质点的振动方程？ 若波沿若波沿 x 轴正方向传播，结果？轴正方向传播，结果？波函数波函数192.3 简谐波的动力学简谐波的动力学 Dynamics of Harmonic Waves能量的传播能量的传播质元的动能：质元的动能：2211=()22kt, xEmmtyv m Atx

9、222012=sin (-+)220质元的机械能：质元的机械能：22202sin ()kpEEmAtx ),( xtf质元的能量不断变化质元的能量不断变化有能量的传播有能量的传播质元的势能：质元的势能：kpEE2122质元的平均能量密度：质元的平均能量密度：能量密度：能量密度：VEEwpk22202sinAtx平均能量密度：平均能量密度：2221Aw23波的强度波的强度 (平均能流密度平均能流密度) I单位时间内通过垂直于波的传播方向单位时间内通过垂直于波的传播方向 单位面积的平均能量单位面积的平均能量uSSuSwIuw2221Au24例例2-3 一列横波在一列横波在t时刻的波形曲线如图，则时

10、刻的波形曲线如图，则 该时刻能量为最大值的媒质质元的位该时刻能量为最大值的媒质质元的位置是置是。OxyO abcdefg解：解：在平衡位置处的质元，能量最大。在平衡位置处的质元，能量最大。 a, c, e, g思考思考 能量为最小值的质元位置能量为最小值的质元位置? ?252.4 惠更斯原理惠更斯原理 Huygens PrincipleC. Huygens (1629-1695)于于1690年提出：年提出：波阵面上各点可作为子波的波源，其后任一波阵面上各点可作为子波的波源，其后任一时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面惠更斯原理惠更斯原理应用：解决波的传播方向问题

11、应用：解决波的传播方向问题26Note机械波从波疏介质机械波从波疏介质(波阻抗波阻抗 u较小较小)垂垂直入射到波密介质直入射到波密介质( u较大较大)的界面上，的界面上，反射波的波相突变反射波的波相突变 。 半波损失半波损失27相位跃变（半波损失）相位跃变（半波损失）当波从波疏介质垂直入射到波密介质，入射波与反射当波从波疏介质垂直入射到波密介质，入射波与反射波在此处的相位时时相反波在此处的相位时时相反, 即反射波在分界处产生即反射波在分界处产生 的相位跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称半的相位跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失波损失波密介质波密介质u较大较大波疏介质波疏介质较小

12、较小u28当波从波密介质垂直入射到波疏介质，入射波与反射当波从波密介质垂直入射到波疏介质，入射波与反射波在此处的相位时时相同，即反射波在分界处不产生波在此处的相位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变相位跃变29叠加原理叠加原理两个以上波函数的合波函数，是各两个以上波函数的合波函数，是各 波函数之和波函数之和Note:该原理仅对强度较小的波成立该原理仅对强度较小的波成立相干条件相干条件 Coherent conditions频率相同频率相同振动方向相同振动方向相同相位差恒定相位差恒定2.5 简谐波的干涉简谐波的干涉 Interference of Harmonic Waves30波的叠加原理

13、波的叠加原理2几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频（频、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样2在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和在该点所引起的振动位移的矢量和31频率相同、振动频率相同、振动方向平行、相位方向平行、相位相同或相位差恒相同或相位差恒定的两列波相遇定的两列波相遇时，使某些地方时，使某些地方振动始终加强，振动始终加强，而使另一

14、些地方而使另一些地方振动始终减弱的振动始终减弱的现象，称为波的现象，称为波的干涉现象干涉现象.波的干涉波的干涉32相干波相干波相干波源相干波源相长干涉与相消干涉相长干涉与相消干涉S1：y1=A1cos( t+ 10)S2：y2=A2cos( t+ 20)p点处：点处：111102cosAtr y222202cosAtr ypS1S2r1r233合振幅：合振幅：2212122cosAAAA AA依赖于依赖于 ：若若 =2k (k=0, 1, 2, )则则 A=A1 +A2 相长干涉相长干涉若若 =(2k+1) (k=0, 1, 2, )则则 A= A1 A2 相消干涉相消干涉其中其中201021

15、2()()rr 34例例2-4 如图如图, S1、S2为相干波源为相干波源, 相距相距3 /2, S1初相为初相为 /2, 要使要使S2C上各点发生相上各点发生相消干涉消干涉, 则则S2的初相应为的初相应为.CS1S2解：解：设设S2C上任意一点距上任意一点距S1、S2分别为分别为r1、r2,则在该点处有则在该点处有112/ 2tr22022tr352120122/ 2()rr20(21)5/ 2k205/ 2) 12(k思考思考在在S1S2连线的中垂线上，各点干涉情况连线的中垂线上，各点干涉情况?平面上相长、相消干涉的各点如何分布平面上相长、相消干涉的各点如何分布?)(2/2为整数为整数kk

16、362.6 驻波驻波 Standing Waves12cos()atxy22cos()atxy设两列振幅相同的相干波相向传播：设两列振幅相同的相干波相向传播：X1237驻波的产生驻波的产生振幅、频率、传播速度都相同的两列相干振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象而形成的一种特殊的干涉现象.381222 coscosaxtyy不具有不具有 的形式，不存在的形式，不存在 相位的传播，称之为驻波相位的传播，称之为驻波)(uxtf波形图波形图：ot1xyt239驻驻 波波 的的 形形 成成40振幅振幅xaA

17、2cos2驻波特点驻波特点2) 12(2kx(21)4xk波节波节 wave nodes令令02cosx(k为整数为整数)41kx 22xk波腹波腹 wave loops相邻波腹和相邻波节的距离都相邻波腹和相邻波节的距离都 /2令令12cosx规律：规律：(k为整数为整数)42能量能量没有能量的单向传播没有能量的单向传播弦中的驻波弦中的驻波L两端固定：两端固定：相位相位相邻波节之间各点振动同相，同一相邻波节之间各点振动同相，同一 波节两侧各点振动反相波节两侧各点振动反相43), 3 , 2 , 1(2nLunufnnf1：基频基频f2 、f3 ：二次、三次谐频二次、三次谐频), 3 , 2 ,

18、 1(2nnLnnLn2Note:弦弦(绳绳)中的行波在固定端反射时有半中的行波在固定端反射时有半波损失波损失, 在自由端反射时没有在自由端反射时没有44例例2-5 在绳上传播的入射波的波函数为在绳上传播的入射波的波函数为 y1=Acos( t+2 x/ )，入射波在绳端，入射波在绳端(x=0)反射，反射端为自由端，设反射反射，反射端为自由端，设反射波不衰减，求驻波方程。波不衰减，求驻波方程。解：解：在在x=0处处, 入射波的振动方程入射波的振动方程:1cosAty反射端自由，无半波损失反射端自由，无半波损失XOx2cosAty反射波的振动方程反射波的振动方程:45思考思考 波腹、波节位置？波

19、腹、波节位置？驻波方程驻波方程:122 cos(2/ )cosAxtyyy反射波波函数反射波波函数:2cos(2/ )Atxy若反射端为固定端，结果？若反射端为固定端，结果？46Chap.2 SUMMARY简谐波表达式简谐波表达式 (波函数波函数)沿沿+x方向传播方向传播02cos()yAtx)(uT沿沿x方向传播方向传播02cos()yAtx0cos ()xAtu 47简谐波的动力学简谐波的动力学质元的能量质元的能量kpEE ),( xtfEEkp波的强度波的强度(平均能流密度平均能流密度)2221AuuwI波动方程波动方程48222221xutyy 惠更斯原理惠更斯原理 半波损失半波损失叠

20、加原理：叠加原理：iiyy 简谐波的干涉简谐波的干涉从波疏到波密，垂直入射，反射时相位突从波疏到波密，垂直入射，反射时相位突变变 .49相干条件：相干条件： 频率相同频率相同振动方向相同振动方向相同相位差恒定相位差恒定合振幅：合振幅：2212122cosAAAA A若若=2k (k=0, 1, 2, )则则A=A1 +A2 相长干涉相长干涉若若=(2k+1) (k=0, 1, 2, )则则A= A1 A2 相消干涉相消干涉50 驻波驻波形成条件形成条件特点：特点：各点振幅不同各点振幅不同波节：波节：A=0, x= /2波腹：波腹：A=2a, x= /2相邻波节之间同相，波节两侧反相相邻波节之间

21、同相，波节两侧反相无能量的单向传播无能量的单向传播51多普勒效应多普勒效应RSSvRvRRSSuffuvv52EXERCISES平面简谐波沿平面简谐波沿OX轴的负方向传播，波长为轴的负方向传播，波长为 ，P处质点的振动规律如图所示。处质点的振动规律如图所示。求求P处处质点的振动方程；质点的振动方程；求此波的波函数；求此波的波函数；若若图中图中d= /2，求坐标原点，求坐标原点O处质点的振动方程处质点的振动方程.dXOPOt (s)yP(m)-A153旋矢图：旋矢图：OXA 0 = P处质点的振动方程为处质点的振动方程为cos()2SIPAtyT212(s )42解：解：由图：由图：振幅为振幅为

22、A54将将d = /2, x=0代入上式，得代入上式，得O处质点振动处质点振动方程：方程：cos(SI)2OAty思考思考若若P点在点在O点的左侧，结果？点的左侧，结果？波函数为波函数为2cos()()2SIAtxdy55解：解：图示一平面简谐波在图示一平面简谐波在t=0时刻的波形图，求时刻的波形图，求该波的波函数；该波的波函数；P处质点的振动方程。处质点的振动方程。由波形图：由波形图：A=0.04 m, =0.40 mO PX(m)Y(m)-0.040.20u=0.08m/sx=0处旋矢图：处旋矢图：OXA 0= /2 =2 f=2 u/ =0.4 (s 1)56x=0处的振动方程：处的振动

23、方程：0.04cos(0.40.5 ) ()SIty波函数：波函数：20.04cos(0.40.5 )txy0.04cos(0.450.5 ) ()SItx将将x=0.20 m代入，得代入，得P点振动方程：点振动方程：0.04cos(0.41.5 ) ()SIty思考思考 若该波反向传播，结果？若该波反向传播，结果？57一平面简谐波振幅为一平面简谐波振幅为A，频率为，频率为 ，波沿，波沿X轴正方向传播轴正方向传播. 设设t=t0时刻波形如图所示，则时刻波形如图所示，则x=0处质点振动方程为处质点振动方程为102( )cos2()AAtty102( )cos2()BAtty102( )cos2(

24、)CAtty0()cos2()DAttyOXYu58解：解： 由波形图：由波形图：t=t0时，时，x=0处振动的相位为处振动的相位为 = /2 . 思考思考该波的波函数？该波的波函数？将将t=t0代入各式代入各式 (B)59解：解：与波函数的一般形式对比：与波函数的一般形式对比：若一平面简谐波的波函数为若一平面简谐波的波函数为y=Acos(Bt-Cx),式中式中A、B、C为正值恒量，则为正值恒量，则(A)波速为波速为C(B)周期为周期为1/B(C)波长为波长为2 /C(D)圆频率为圆频率为2 /BC=2 / (C)02cosAtxy = 2 /C60一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质一平面简

25、谐波在弹性媒质中传播，在媒质 质元从最大位移处回到平衡位置的过程中质元从最大位移处回到平衡位置的过程中 (A)它的势能转换成动能它的势能转换成动能 (B)它的动能转换成势能它的动能转换成势能 (C)它从相邻的一段媒质质元获得能量，其它从相邻的一段媒质质元获得能量，其 能量逐渐增加能量逐渐增加 (D)它把自己的能量传给相邻的一段媒质质它把自己的能量传给相邻的一段媒质质 元，其能量逐渐减小元，其能量逐渐减小答案：答案：(C)思考思考在相反过程中，结果在相反过程中，结果?61如图，两列波长为如图，两列波长为 的相干波在的相干波在P点相遇，点相遇， S1点的初相是点的初相是 1，S2点的初相是点的初相

26、是 2，以，以k 代表代表整数，则整数，则P点是干涉极大的条件为点是干涉极大的条件为(A) r2r1=k (B) 2 1=2k (C) 2 1+2 (r2 r1)/ =2k (D) 2 1+2 (r1 r2)/ =2k 解：解： 在在P点处，两个振动的相：点处，两个振动的相： 1 = t+ 12 r1/ 2 = t+ 22 r2/ pS1S2r1r262 2 1 = 2 12 (r2r1)/ (D)思考思考 (A)(B)(C)错在哪里错在哪里?应应= 2k 63设入射波的波函数为设入射波的波函数为1cos2xtATy在在x=0处发生反射，反射点为一固定端，设反处发生反射，反射点为一固定端，设反射时无能量损失，求：射时无能量损失，求： 反射波的波函数；反射波的波函数； 合成的驻波的表达式；合成的驻波的表达式； 波腹和波节的位置。波腹和波节的位