线性代数5-1-2

1、Ch5 特征值问题与二次型特征值问题与二次型第一节第一节 二次型及其标准形二次型及其标准形的的概概念念一一、二二次次型型及及其其标标准准形形二二、二二次次型型的的表表示示方方法法三三、二二次次型型的的矩矩阵阵及及秩秩的的正正交交变变换换法法四四、化化二二次次型型为为标标准准形形六六、小小结结、思思考考题题的的配配方方法法五五、化化二二次次型型为为标标准准形形 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 称为二次型称为二次型. .的的二二次次齐齐次次函函数数个个变变量量含含有有定定义义nxxxn, 121; , 称称为为是是复复数

2、数时时当当faij复二次型复二次型. , 称称为为是是实实数数时时当当faij实二次型实二次型 本书只考虑实二次型本书只考虑实二次型说明说明只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型2222211nnykykykf 称为二次型的称为二次型的标准形标准形例如例如 312322213214542,xxxxxxxxf 都为都为二次型；而二次型；而 23222132144,xxxxxxf 为二次型的标准形为二次型的标准形. . 323121321,xxxxxxxxxf 1 1用和号表示用和号表示 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 ,

3、 对二次型对二次型,aaijji 取取,2xxaxxaxxaijjijiijjiij 则则于是于是nnxxaxxaxaf1121122111 .1,xxajinjiij nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa 2 2用矩阵表示用矩阵表示nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx2211222

4、2121121211121),(., 为为实实对对称称矩矩阵阵其其中中则则二二次次型型可可记记作作AAxxfT ,21212222111211 nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA若若记记 nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系; 的矩阵的

5、矩阵叫做二次型叫做二次型实对称矩阵实对称矩阵fA; 的的二二次次型型叫叫做做实实对对称称矩矩阵阵 Af. 的的秩秩的的秩秩叫叫做做二二次次型型实实对对称称矩矩阵阵fA解解,a,a,a321332211 ,aa22112 ,aa03113 .aa33223 .330322021 A.6432 3221232221的的矩矩阵阵写写出出二二次次型型xxxxxxxf 例例2例例试写出二次型试写出二次型3122214321423),(xxxxxxxxf .A的的矩矩阵阵解解阵阵应应为为依依题题意意，该该二二次次型型的的矩矩 0000000200200203A三三个个不不同同变变量量，但但虽虽然然实实际际

6、表表达达式式中中只只有有说明说明不不过过一一般般不不量量个个数数为为准准必必需需按按记记号号中中出出现现的的变变.际际出出现现的的不不同同变变量量数数为为特特别别指指明明的的话话，总总以以实实.其其矩矩阵阵的的维维数数3例例试写出二次型试写出二次型 321321020511132,xxxxxxf.A的的矩矩阵阵解解实实对对称称矩矩阵阵，故故由由于于二二次次型型的的矩矩阵阵必必是是而有而有 022520122512312012312A 0272127112112 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,设有可逆设有可逆线性变换线性变

7、换对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形),(cijC 若记矩阵若记矩阵记记作作则则上上述述可可逆逆线线性性变变换换可可 Cyx AxxfT 有有将将其其代代入入, AxxfT . yACCyTT CyACyT 说明：说明：; ,1 ACCBAfCyx. T 变变为为的的矩矩阵阵由由但但其其秩秩不不变变后后二二次次型型经经可可逆逆变变换换2222211nnTTykykykACyCy 就就是是要要使使变变成成标标准准形形经经可可逆逆变变换换要要使使二二次次型型, 2 Cyxf. ,),(21

8、2121 yyykkkyyynnn.成成为为对对角角矩矩阵阵也也就就是是要要使使ACCT2定定义义,PnBAn阶阶满满秩秩阵阵若若存存在在和和阶阶方方阵阵对对使使成成立立APPBT BA与与则则称称.合同合同合同这种关系的性质：合同这种关系的性质：）同与同与合合则则合同于合同于合同与合同与（即若（即若传递性传递性）则则对称性；（即若对称性；（即若）自反性；（即自反性；（即CACBBABPPAAPPBAIIATTT,.)3()(,)2()1(11 形形的的问问题题就就转转变变成成如如何何于于是是，化化二二次次型型为为标标准准.对对角角矩矩阵阵的的问问题题使使实实对对称称矩矩阵阵合合同同于于实实即

9、即有有用用于于二二次次型型因因此此把把这这个个结结论论应应即即使使总总有有正正交交矩矩阵阵阵阵由由于于对对任任意意的的实实对对称称矩矩,., 1 APAPPAPPT 化化为为标标准准形形使使正正交交变变换换总总有有任任给给二二次次型型fPyxaaxxafjiijnjijiij, 1, ,2222211nnyyyf .,21的的特特征征值值的的矩矩阵阵是是其其中中ijnaAf 1定理定理用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：;,. 1AAxxfT求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,. 221nA 的的所所有有特特征征值值求求出出 ;,. 3

10、21n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 144241422217A 144241422217IA 9182 什么曲面？什么曲面？表示表示化成标准形，并问化成标准形，并问通过正交变换通过正交变换将二次型将二次型2,844141417 323121232221 fPyxxxxxxxxxxf例例4 4解解从而得特征值从而得特征值.18,

11、 9321 得基础解系得基础解系代入代入将将, 091 xIA 2 2求特征向量求特征向量 得得基基础础解解系系代代入入将将, 01832 xIA ,)0,1 ,2(2 T .)1 ,0,2(3 T 3 3将特征向量正交化将特征向量正交化,11 取取)1,1,21(1T ,22 ,2223233 得正交向量组得正交向量组.)1 , 54, 52(3 T ,)0 , 1 ,2(2 T ,)1, 1,21(1T ,3 , 2 , 1, iiii 令令得得,051522 ,3232311 .4554544523 .45503245451324525231 P 所所以以4 4将正交向量组单位化，得正交

12、矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵P于是所求正交变换为于是所求正交变换为,45503245451324525231321321 yyyxxxyyf 且且有有即即,Pyx 表表示示椭椭球球面面。此此时时，容容易易看看出出2 f.1的的特特征征值值系系数数一一定定是是准准形形经经过过正正交交变变换换化化成成的的标标、AAxxfT 说明：说明：时时，必必有有在在持持向向量量的的长长度度不不变变，即即而而言言，正正交交变变换换将将保保、对对正正交交变变换换QyxQyx 222yx 化为标准型，并指出化为标准型，并指出 表示何种二次表示何种二次 1,321 xxxf曲面曲面.

13、323121232221321662355,xxxxxxxxxxxxf 求一正交变换，将二次型求一正交变换，将二次型,333351315 A二二次次型型的的矩矩阵阵为为解解),9)(4( IA可可求求得得, 9, 4, 0321 的的特特征征值值为为于于是是A.111,011,211 321 ppp对对应应特特征征向向量量为为将其单位化得将其单位化得,626161 111 ppq,02121222 ppq.313131 333 ppq .,321为为正正交交阵阵则则令令PqqqP ，即，即故正交变换为故正交变换为Pyx ,31062312161312161 321321 yyyxxx.94 2

14、322yyf 化化二二次次型型为为.1),(321表示椭圆柱面表示椭圆柱面可知可知 xxxf5例例AxxfAT 阶阶实实对对称称矩矩阵阵，二二次次型型为为已已知知3 .,1, 1, 131,43321232221QyxQyyyQyxT 所所作作的的正正交交变变换换试试求求，且且中中矩矩阵阵其其化化为为标标准准形形经经正正交交变变换换 解解两两两两正正交交，且且由由，正正交交知知，由由321 Q知知则则由由的的特特征征向向量量为为对对应应特特征征值值征征向向量量，设设的的特特是是对对应应于于，的的特特征征值值为为题题设设知知0,144113213 xxxxxAATT 0321 xxx的线性无关特

15、征向量的线性无关特征向量的对应于特征值的对应于特征值由此可得由此可得1ATT1, 0, 1,0, 1, 121 经经正正交交化化、单单位位化化，得得TT2, 1, 161,0, 1, 12121 为为因因此此，正正交交变变换换Qyx 323321232113162316121316121yyxyyyxyyyx用正交变换化二次型为标准形，其特点是用正交变换化二次型为标准形，其特点是保保持几何形状不变持几何形状不变问题问题有没有其它方法，也可以把二次型化有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法效的方法拉

16、格朗日配方法拉格朗日配方法1.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形性变换，就得到标准形; ixix kkjijjiiyxyyxyyx jiknk, 2 , 1 且且拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换0 ija),(ji 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的

17、二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.解解32312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并求所用的变换矩阵并求所用的变换矩阵为标准形为标准形化二次型化二次型xxxxxxxxxf 例例7 731212122xxxxx 322322652xxxx 的的项项配配方方含含有有x1含有平方项含有平方项 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyx

18、yyyxCyyyyxxxx 32132110021011132312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用的可逆变换矩阵为所用的可逆变换矩阵为 .01,100210111 CC.,62252 323121232221并求所用的变换矩阵并求所用的变换矩阵为标准形为标准形化二次型化二次型xxxxxxxxxf 例例7 7,33212211 yxyyxyyx 令令解解,622323121xxxxxxf 代代入入.842232312221yyyyyyf 得得.,622 323121并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例8 8由

19、于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以 yyyxxx321321100011011即即再配方，得再配方，得 .622223232231yyyyyf 333223112 yzyyzyyz令令,233322311 zyzzyzzy .622 232221zzzf 得得 zzzyyy321321100210101即即所用的可逆变换矩阵为所用的可逆变换矩阵为 1002101011000110111C.100111311 .021 C232221622 zzzf 则则得得 233211612121tztztz若再令若再令Qttz 061021000021即即再再有有可可逆逆变变换换2

20、32221ttt 变变换换矩矩阵阵为为而而此此标标准准形形对对应应的的可可逆逆 10011131112QCC 061021000021 0610216121216321.系系数数个个数数负负）形形中中却却具具有有相相同同的的正正（准准形形不不同同；但但不不同同标标准准不不同同，则则对对应应的的标标化化标标准准形形时时，可可逆逆变变换换说明说明 .,323121321变变换换并并写写出出所所作作的的可可逆逆线线性性为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 故令故令方项方项由于所给二次型不含平由于所给二次型不含平, 解解 ,33212211 yxyyxyyx,)( 2322312yyy

21、yf 有有 , ,3322311 3322211zyzyzzyyzyzyyz或或再再令令yPx1 即即zPy2 即即, 232221zzzf 则则得得标标准准形形 ., ,)( )(333212321121211zxzzzxzzzxzPPzPPyPx即即所所用用可可逆逆线线性性变变换换为为任一二次型任一二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = XTAX (其中其中 AT = A) ，一定存在可逆线性替换，一定存在可逆线性替换 X = CY 将其化为标准形将其化为标准形.即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 C，使，使 CTAC为对角矩阵为对角矩阵. 在第一章，我们知道：可逆矩阵可写在第一章

22、，我们知道：可逆矩阵可写成若干个初等矩阵的乘积成若干个初等矩阵的乘积.所以，存在初等矩阵所以，存在初等矩阵P1 , P2 , , Ps ,有有C = P1 P2 Ps 对于任一初等矩阵对于任一初等矩阵 Pi (1 i s )，PiT 仍为同种仍为同种初等矩阵初等矩阵.所以所以CTAC = PsT P2T P1T A P1 P2 Ps 为对角矩阵为对角矩阵.上式说明：上式说明：由此得到将二次型标准由此得到将二次型标准化的初等变换法：化的初等变换法：首先构造首先构造 2n n 矩阵矩阵,EA对对 A 每施以一次行每施以一次行初等变换，就对初等变换，就对EA施行一次同种的初等列变换施行一次同种的初等

23、列变换. 当当矩阵矩阵 A 化为对角矩阵时，矩阵化为对角矩阵时，矩阵 E 将化为可逆矩阵将化为可逆矩阵 C.即即EAEAPsTP2TP1TAP1P2PsP1P2Ps由此可得可逆矩阵由此可得可逆矩阵 C = P1P2Ps 和对应的可逆线性和对应的可逆线性替换替换 X = CY ，在此变换下，二次型，在此变换下，二次型 XTAX 化为标准化为标准对于二次型对于二次型,622323121xxxxxx在本节在本节例例 3 中所得到的标准形为中所得到的标准形为,622232221www而而在例在例 5 中所到的标准形为中所到的标准形为,6212232221yyy即一个即一个二次型的标准形不唯一，这与所作

24、的可逆线性替换二次型的标准形不唯一，这与所作的可逆线性替换有关有关. 但是，同一个二次型化为标准形后，标准形但是，同一个二次型化为标准形后，标准形中所含的正、负平方项的个数却是相同的中所含的正、负平方项的个数却是相同的.为了深为了深入地讨论这一问题，需引入二次型的规范形的概念入地讨论这一问题，需引入二次型的规范形的概念.如果二次型如果二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = XTAX (其中其中 AT =A) 通过可逆线性替换可以化为通过可逆线性替换可以化为(5.12)则则 (5.12) 称为该二次型的称为该二次型的例如，本节例例如，本节例 5 中，二次型中，二次型32312132

25、1622),(xxxxxxxxxf的标准形为的标准形为.6212),(232221321yyyxxxf作可逆线性替换作可逆线性替换,61221233211zyzyzy即即32132106102000021zzzyyy则二次型化为规范形则二次型化为规范形)13. 5(),(232221321zzzxxxf记记061020000211C则所作的可逆线性替换为则所作的可逆线性替换为32110610200002110012/ 1132/ 11zzzZCCCYX即即3210610216121216321zzzX在例在例 3 中，我们曾用配方法将同一二次型中，我们曾用配方法将同一二次型323121321622),(xxxxxxxxxf化为标准形化为标准形. 不难验证，作适当的可逆线性替换，不难验证，作适当的可逆线性替换，该标准形也可化为规范形该标准形也可化为规范形 (5.13) . 这表明，一个二这表明，一个二次型的规范形与所作的可逆线性替换无关次型的规范形与所作的可逆线性替换无关.利用矩阵的语言，定理利用矩阵的语言，定理 5.4 可以叙述为可以叙述为 OEEprp在二次型的规范形在二次型的规范形中，正平方项的个数中，正平方项的个数 p 称为二次型的称为二次型的；负平方项的个数负平方项的个数 r p 称为二次型的称为二次型