第5章杆扭转杆件的强度和刚度计算 -

1、第5章 扭转杆件的强度和刚度计算5.1 圆轴扭转时的应力和变形计算5.2 圆轴扭转时的强度和刚度计算5.3 非圆截面杆的自由扭转简介5.1 圆轴扭转时的应力和变形计算一、描述变形的指标三、薄壁圆筒的扭转二、等直圆杆扭转的应力返返 回回*扭转角（扭转角（）：）：任意两截面绕轴线转动的相对角位移。*剪应变（剪应变（）：直角的改变量一、描述变形的指标返返 回回* 平面假设 横截面象刚性平面一样绕轴线转过一个角度。5.1.1 等直圆杆扭转的应力1 1、实验观察：、实验观察：横截面仍为平面；横截面仍为平面；轴向无伸缩；轴向无伸缩；纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。返返 回回2、横截面上的应力：

2、、横截面上的应力：1）. 变形几何关系：变形几何关系：xxGGdddtg1xdd距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的与到圆心的距离距离 成正比。成正比。xdd 扭转角沿长度方向变化率扭转角沿长度方向变化率。剪切虎克定律：剪切虎克定律： GT2）. 物理关系物理关系TT 剪切弹性模量G、弹性模量E和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料：)1 ( 2EG* 重要关系变形关系代入虎克定律： GxGxGGddddxGdd 虎克定律：3）. 静力学关系静力学关系AIApd2令代入物理关系 得：xGdd dATA AxGAddd 2AxGAddd2d dp TGIxOdAMnd

3、 dpTxGIpTI* 讨论：1 仅适用各向同性、线弹性材料，小变形仅适用各向同性、线弹性材料，小变形 的圆截面等直杆。的圆截面等直杆。2 T横截面上的扭矩，由横截面上的扭矩，由平衡方程求得。平衡方程求得。 该点到圆心的距离该点到圆心的距离Ip极惯性矩，纯几何量极惯性矩，纯几何量pTI3 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料， 结构轻便，应用广泛。TT4 确定最大剪应力确定最大剪应力max , 2dRWp 抗扭截面系数（抗扭截面模量） pTImax22ppdTTdII2 dIppW令maxpTWmm3或m35.1.2 Ip的计算的计算AIApd2单

4、位：单位：mm4，m4对于实心圆截面：DdOAIApd2202d2 D441 . 032 DD对于空心圆截面：)1 (1 . 0)1 (32 )(32 d2 d4444442222DDdDAIDdAp)(DddDOd对于实心圆截面：对于空心圆截面：332 . 016DDRIWpp16)1 (43DRIWpp)-(12 . 043D薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚0101rt（r0：为平均半径）1、实验：、实验：*实验前：实验前：绘绘纵向线，圆周线纵向线，圆周线5.1.3 薄壁圆筒的扭转返返 回回*实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线纵向线变成斜直线。*结论结论各圆周线的形状、大小和

5、间距均未改变，只是各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是 绕轴线作了相对转动绕轴线作了相对转动各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 所有矩形网格均歪斜成同样的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样的平行四边形。 acddxbdy 无正应力 横截面上各点，只产生垂直于半径的均布的剪应力 ，沿周向大小不变*微小矩形单元体微小矩形单元体：2、薄壁圆筒剪应力：、薄壁圆筒剪应力： A0：平均半径所作圆的面积。0dAA rT000 d2 ArArr tT 20 0 2 2 TTr tAt3、剪应力互等定理剪应力互等定理acddxb dy tz0zmdxdytdxdyt 纯剪切应力状态纯

6、剪切应力状态例5-15.2 圆轴扭转时的强度和刚度计算5.2.1 圆轴扭转时的强度计算圆轴扭转时的强度计算5.2.2 圆轴扭转时的刚度计算5.2.3 圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力返返 回回5.2.1 圆轴扭转时的强度计算圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：max( ：许用剪应力)*强度的三种计算：强度的三种计算： 校核强度： 设计截面： 求许可载荷：max pTWmaxmax pTWmax pTW）（空：实：433116 16 DDWpmax pTW返返 回回 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴， =30M Pa, 试校

7、核其强度。m)(kN55. 1m)(N4 .1514. 32101503解：作扭矩图，确定危 险截面此轴满足强度要求D3 =135D2=75 D1=70ABCmmTmx3102BCNTmnmaxBCpTW1607. 01055. 133MPa23，动轴，外径无缝钢管制成的汽车传mmD90max2.51.5,tmmKNmT壁厚，MPa60、校核强度) 1 (，并比较重量变，求、改为实心轴，强度不D)2(944. 09025 . 290Dd)1 (1614. 3944. 09043)1 (1643DWpmm329400maxmaxpTW910294001500（1）（2）强度相同max51pTMP

8、aW3116 TD 36105114. 3150016mm1 .53（3）比较重量AAAAQQLL2121实空DdDDdD21222122)(4)(431. 051.385902225.2.2 圆轴扭转时的刚度计算1、扭转时的变形、扭转时的变形由公式长为长为 l 的两截面间相对扭转角的两截面间相对扭转角 为d dpTxGI0d dlpTxGI pTlGI（当T为常量时）返返 回回2、单位长扭转角、单位长扭转角 (rad/m) dd pnGIMx /m)( 180 dd pnGIMx 3、刚度条件、刚度条件 (rad/m) maxpnGIM /m)( 180 maxpnGIM 4、刚度的三种计算

9、、刚度的三种计算 校核刚度： 设计截面 求许可载荷： max max pTIG max p TGI 传动轴，n = 500 r / min，输入N1 = 500 马力， 输出 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定：AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？解：作内力图 500400N1N3N2ACB Tx7.024 4.21(kNm)m)(kN0247nN.m500400N1N3N2ACBxMn7.0244.21(kNm)31 16 ABpdTW 3116ABTd 3

10、6107014. 3702416mm80 3216BCTd 36107014. 3421016mm4 .67* 由强度条件500400N1N3N2ACBT7.0244.21(kNm)* 由刚度条件 4 32 pdTIG mm75 mm8521 d,d4412932 32 7024 18084mm 3.1480 101ABTdG4232 BCTdG 4921108014. 3180421032mm4 .74(2),全轴选同一直径时 mm851 ddTx 4.21(kNm)2.814(3),max1 2T越小越合理， 轮 、应换位。mmd75max此时，轴的例5-4长为L=2m的圆杆受均布力偶m=

11、20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为a =0.8 ，外径D=0.0226m ，G=80GPa，试求固端反力偶。 5-3 5-3 扭转超静定问题扭转超静定问题 例题例题 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。(a) 解解: : 1. 有二个未知约束力偶矩MA, MB，但只有一个独立的静力平衡方程故为一次超静定问题。0 0eBAxMMMM，(a)MAMB 2. 以固定端B为“多余”约束，约束力偶矩MB为“多余”未知力。在解除“多余”约束后基本静定系上加上荷载Me和“多余”未知力偶矩MB，如图b

12、；它应满足的位移相容条件为注：这里指的是两个扭转角的绝对值相等。BBMBMe另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶矩MB为ppeGIlMGIaMB elaMMB eeeelbMlaMMMMMBA4. 杆的AC段横截面上的扭矩为lbMMTAACe从而有 peplGIabMGIaTACC(a) 例题例题2由半径为a的铜杆和外半径为b的钢管经紧配合而成的组合杆，受扭转力偶矩Me作用，如图a。试求铜杆和钢管横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。(a) 解解: : 1. 铜杆和钢管的横截面上各有

13、一个未知内力矩 扭矩Ta和Tb(图b)，但只有一个独立的静力平衡方程Ta+Tb= Me，故为一次超静定问题。TaTb(b)2. 位移相容条件为BbBa3. 利用物理关系得补充方程为4. 联立求解补充方程和平衡方程得：bbbaaabbbaaaTIGIGTIGlTIGlTpppp ，即epppepppMIGIGIGTMIGIGIGTbbaabbbbbaaaaa，TaTb(b)5. 铜杆横截面上任意点的切应力为aIGIGMGITbbaaaaaa0ppep钢管横截面上任意点的切应力为baIGIGMGITbbaabbbbppep 上图示出了铜杆和钢管横截面上切应力沿半径的变化情况。需要注意的是，由于铜的切变模量Ga小于钢的切变模量Gb，故铜杆和钢管在 = a处切应力并不相等，两者之比就等于两种材料的切变模量之比。这一结果与铜杆和钢管由于紧配合而在