复变函数课程自学指导书 - 华北电力大学

1、复变函数与积分变换课程自学辅导资料二八年四月复变函数与积分变换课程自学进度表教材：复变函数与积分变换 教材编者：徐大申等 出版社：中国电力出版社出版时间： 2005年8月周次学习内容习题作业测验作业学时自学重点、难点、基本要求一第一章§12习题1.1:：2,4,5习题1.2：1自测练习一：1，2，6，78复变函数的重点是：解析函数的概念、CR条件、单复闭路的柯西定理、柯西积分公式、高阶导数公式、泰勒级数、洛朗级数、孤立基点及其留数计算、保角映射的概念、分式线性映射及所构成的映射。难点是：复闭路柯西定理、高阶导数公式、洛朗级数、保角映射。复变函数是以复数代替实数与实微积分平行建立微积分

2、。其定义、公式、结论与实微积分一致，但往往存在条件不一样。学习时要注意与实微积分联系、对比。积分变换的重点是：付氏积分、付氏变换及其性质、卷积定理、积分变换的应用。难点是：广义付氏变换的概念、拉氏变换、付氏变换性质的应用。积分变换是一种数学工具、理论推导可要求低一些，着重像与原像的对应关系、性质及运用。二第一章§35习题1.3：1，2习题1.4：1，2习题1.5：1，4自测练习一：8总习题一：1（3），6，98三第二章§12习题2.1：2，3习题2.2：1，2（1）（2）（3）总习题二：1自测练习二：1，2，38四第二章§3习题2.3：1，2，4，5总习题二：3，

3、4自测练习二：48五第三章§12习题3.1：1，2，3习题3.2：1，3总习题三：1自测练习三：1，28六第三章§34习题3.3：1，2习题3.4：1，2，3总习题三：3，5自测练习三：3，4，5，68七第四章§12习题4.1：4，5习题4.2：3，4总习题四：1，3自测练习四：18八第四章§3习题4.3：总习题四：4，5自测练习四：4，58九第五章§12习题5.1：1习题5.2：1，2（1）（2），3（1）（2）总习题五：1，3（1）（3）（5），4自测练习四：1，2，3（1）（2）8十第五章§3习题5.3：1（1）（4），2（1）

4、（3）总习题五：5（1）（2），6（1）（4）自测练习五：3（3）（4）（5）8十一第六章§13习题6.1：1，3习题6.2：1，2习题6.3：1，4（1）（2），5总习题六：4，5自测练习六：1，210十二第六章§4习题6.4：1（3）总习题六：7（1）（2）10十三第七章§7.1 习题7.1： 1，2（1）（2），3（1）总习题七：17十四第七章§7.2习题7.3： 1，2，3，4，5自测练习七：2总习题七：27十五第七章§7.3习题7.3： 1，2，3，4，5自测练习七：17十六第七章§7.4习题7.4：2总习题七：3自测练习七

5、：37十七第八章§8.1习题8.1： 1，3总习题八：1自测练习八：17十八第八章§8.2习题8.2： 1，2，3，4，5总习题八：2，3自测练习八：2，37十九第八章§8.38.4习题8.3： 1（1）（3）（5）（7）（9）习题8.4：1（1）（3），2（1）总习题八：4，5自测练习八：47二十第八章§8.5习题8.5： 1（1）（3），2总习题八：6自测练习八：5，68注：期中（第10周左右）将前半部分测验作业寄给班主任，期末面授时将后半部分测验作业直接交给任课教师。总成绩中，作业占15分。参考教材：1 复变函数（第四版），西安交通大学高等数学教研

6、室编，北京，高等教育出版社，19962 复变函数与积分变换（第二版），华中科技大学数学系编，北京，高等教育出版社，2003复变函数与积分变换课程自学指导书第一章 复数及复变函数一、 本章的核心、重点及前后联系（一） 本章的核心复数及运算，区域，复变函数及映射理解复数、复变函数、极限及连续的概念；掌握复数运算及几何表示法；了解区域及有关定义。（二） 本章重点复数及运算，区域，复变函数及映射（三） 本章前后联系本章介绍了复数的概念、运算及其表示和复变函数的概念及其极限、连续两部分内容。是后续各章的基础。二、 本章的基本概念、难点及学习方法指导 （一） 本章的基本概念复数及运算，区域，复变函数及映射

7、 （二） 本章难点及学习方法指导1. 复数的概念、运算及其表示方法是学习复变函数的基础，通过学习复数，做到熟练掌握，灵活应用。学习时要注意下边几点：（1） 正确理解辅角的多值性，见（1-5）式；（2） 熟悉两个复数乘积和商的辅角公式，见（2-3）和（2-4）式；（3） 由于复数可以用平面上的点与向量表示，因此能用复数形式的方程（或不等式）表示一些平面图形，解决有关的几何问题，见例1.3及相关习题；（4） 了解无穷远点和扩充复平面的概念，它们是为了用球面上的点来表示复数而引入。无穷远点和无穷大这个复数相对应。这里的无穷大是指模为正无穷大（辅角无意义）的唯一的一个复数；2. 复变函数及其极限、连续

8、等概念是高等数学中相应概念的推广，它们有相似之处，又有不同之点，在学习中要善于比较，深刻理解。（1） 平面曲线（特别是简单闭曲线、光滑或按段光滑曲线）和平面区域（包括 单连通域与多连通域）是复变函数理论的几何基础，要求熟悉这些概念，会用复数表达式表示一些常见平面曲线与区域，或者根据给定的表达式画出它所表示的平面曲线或区域；（2） 认真体会复变函数的定义与一元实变函数的定义的异同；复变函数极限的定义与一元实变函数极限定义形式上相似，但实质却有很大差异，注意进行比较；复变函数有极限的等价条件是其实部和虚部同时极限存在；复变函数连续等价于其实部和虚部同时连续。从而将研究复变函数的极限、连续等问题转化

9、为研究两个二元实变函数的相应问题。三、典型例题分析例1求复数的三角表示式与指数表示式。解：由于因此下边的例子表明，可以由给定的复数形式的方程（或不等式）确定它所表示的平面图形。例2试证：平面上以原点为心，R为半径的圆周的方程为。证：解析几何中此圆的方程为：令，将代入，由公式（1-1-2）化简得例3 化简解 由公式（1-2-4），可用三角形式或指数形式化简。我们采用指数形式。 由于 所以例4 计算解 由于从而例5 计算解 因为，故即；同理可得；四、思考题、习题及习题解答（一） 思考题、习题1。 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模与辅角。（1） （2） （3） （4）2 一个复数乘以，它的模和辅

10、角一样何变化？3如果多项式的系数是实数，证明：4。 试求下列各式的与（都是实数）。（1）（2）（3）。（二） 习题解答（只解答难题）1（1） （2）（3）（4）2模不变，辅角减少。4（1）(2)（3）其中：若，取同号；若，取异号。第二章 解析函数一、 本章的核心、重点及前后联系 （一） 本章的核心 理解复变函数的导数及解析的概念；掌握并会用函数解析的充要条件；熟悉初等函数的定义、主要性质及求导公式。（二） 本章重点复变函数导数、解析的概念，函数解析的充要条件，解析函数的性质，初等函数的定义及性质 （三） 本章前后联系解析函数是本课程讨论的中心，是复变函数研究的主要对象，它在理论和实际问题中有着

11、广泛的应用本章先引入复变函数的导数概念，然后讨论解析函数，介绍解析函数的一个充分必要条件，它是用函数的实部和虚部所具有的微分性质来表达的，接着介绍几个初等函数，这些初等函数是最常用的函数，因而特别重要二、 本章的基本概念、难点及学习方法指导 （一） 本章的基本概念复变函数导数、解析的概念，函数解析的充要条件，解析函数的性质，初等函数的定义及性质 （二） 本章难点及学习方法指导解析函数是复变函数的主要研究对象。本章的重点是正确理解复变函数的导数与解析函数等基本概念，掌握判断复变函数可导与解析的方法，熟悉复变量初等函数的定义和主要性质特别要注意在复数范围内，实变初等函数的哪些性质不再成立，以及显现

12、出哪些在实数范围内所没有的性质.本章学习重点难点如下：解析函数具有很好的性质。条件是判断函数可微和解析的主要条件，函数在区域内可微，等价于函数函数在内解析；但在一点可微，却不等于在解析2要清楚地认识复变量初等函数其实是相应的实变量初等函数在复平面上的推广，其关键所在是推广后的函数所必须具备的解析性。如幂函数、指数函数、正余弦函数在复平面上解析；根式函数及对数函数在单值分支内连续且解析等。要注意每一个复变初等函数的基本特征，如周期性及一些运算法则对函数及的多值性，单值分支的取法，特别是主值如何作为普通单值函数来运用等问题，要有清楚的认识三、典型例题分析例1讨论下列函数的可导性与解析性(1) (2

13、) (3) 解 (1) 因为,且,可见C-R方程不满足,所以在复平面内处处不可导,从而也处处不解析. (2) ,所以且 ,可见C-R方程只在点(0,0)成立.由定理2.1知该函数在处可导,且有,对于其他的点,这个函数不可导,所以这个函数在处不解析.从而在复平面上处处不解析.(3)因为,且,从而C-R方程满足,并且由于上面四个一阶偏导数均连续,所以在复平面内处处可导,故也处处解析.从而有例2求解 因为 ，所以例3 计算的值.解 根据指数函数定义算出 = = =四、思考题、习题及习题解答（一） 思考题、习题1 下列函数何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？1） 2） 3) 2.出下列方程的全

14、部解1） 2） 3）3.求下列各式的值 1） 2） 3） 4）（二） 习题解答（只解答难题）（）可导；不可导，复平面上处处不解析； （）上可导，其余点均不可导，复平面上处处不解析； （）复平面上处处解析（）； （） （）3（）（） （）（）第三章 复变函数积分一、 本章的核心、重点及前后联系 （一） 本章的核心 理解复变函数的积分的概念；掌握柯西基本定理、复合闭路定理、闭路变形原理、解析函数与调和函数的关系；熟悉柯西积分公式、高阶导数公式（二） 本章重点积分的定义及性质，柯西基本定理，柯西积分公式，高阶导数公式，调和函数。 （三） 本章前后联系本章首先介绍复变函数积分的概念、性质以及计算公式，

15、然后重点讨论解析函数的柯西古萨基本定理、柯西积分公式和高阶导数公式。这些定理和公式深刻地描述了解析函数所具有的独特而优美的性质，譬如解析函数的导数仍然是解析函数的重要结论，也为解析函数的积分提供了新的简便方法。最后，应用解析函数具有任意阶导数的性质讨论解析函数与调和函数的关系。二、 本章的基本概念、难点及学习方法指导 （一） 本章的基本概念积分的定义及性质，柯西基本定理，柯西积分公式，高阶导数公式，调和函数 （二） 本章难点及学习方法指导一复变函数的积分是定积分在复数域中的自然推广，两者的定义在形式上是相似的，只是把定积分的被积函数从换成，积分区间换成平面上一条起点为，终点为的光滑曲线，即所以

16、，复变函数的积分实际上是复平面上的线积分当是分段光华曲线且在上连续时，上述积分一定存在若设，则这样，复变函数积分的计算就化为二元实函数曲线积分的计算但通常我们并不直接利用上述计算公式，而是利用所谓参数方程来计算积分值，即其中的参数方程为复积分有许多与微积分学中曲线积分相似的性质：（.1.7），（3.1.8），（3.1.9）诸式，其中积分模的估值性质证明中常用，应当记住二柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理：若函数在单连通区域内解析，则沿内任一封闭曲线的积分为零，即 理的两种等价形式（）54若是一条简单闭曲线，为的边界，在闭区域上解析，则；（）在单连通域内解析在内的积分与路径无关 基本定理的推广（）

17、设为一简单闭曲线，其内部为，在内解析，在上连续，则，（）复合闭路定理：设函数在多连通区域内解析，是内一条简单闭曲线，是在的内部互不包含也互不相交的简单闭曲线，又因条曲线所围成的区域全含于，则；，其中称为复合闭路.由复合闭路定理结论，不难得到下述闭路变形原理：在区域内解析的函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线的内做连续变形而改变积分的值，只要在变形过程中曲线不经过不解析的点三柯西积分公式 与高阶导数公式是两个十分重要的公式前者表明解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分来表示；后者则说明解析函数的导数仍是解析函数两者均表明了解析函数的特性及与实变元函数的本质区别在计算行如沿包含点的某一闭曲线

18、上的积分时，上述公式也是主要工具之一四复变函数的不定积分复变函数的不定积分定义与一元函数不定积分定义形式一样，但实质不同若函数在单连通域内解析，是在内的一个原函数，则，其中为内两点这与定积分的牛顿莱布尼兹公式类似，用它可以计算解析函数沿非闭路的积分问题五解析函数与调和函数在区域内具有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程的二元实函数称为内的调和函数将满足柯西黎曼方程：的两个调和函数中的称为的共轭调和函数任何在区域内解析的函数，其实部与虚部都是内的调和函数，且虚部是实部的共轭调和函数已知调和函数或，求解析函数时，可使用不定积分法，曲线积分法，利用柯西黎曼条件法等多种方法三、典型例题分析例1 计算与，其

19、中（图3.3）为1） 从原点到的直线段；2） 从原点沿抛物线到的弧段；3） 从原点到的直线段与从到的直线段所接成的折线解：1）的方程为2）：3）例2计算积分，其中为：。解：被积函数在内部有两个奇点0和1，今作两圆周（或其他围线）与，分别只包含0与1，使，与一起满足定理2的条件，于是由（3.2.3）式得而 (3.2.5) (3.2.6)所以 观察（3.2.5）与（3.2.6）两式，你能发现什么共同的规律吗？例4 计算积分值，其中圆周取正向解：函数的奇点在圆周的内部，其它两个奇点都在左半平面内，从而在该圆周的外部，函数在闭圆域上解析，由定理得例3知在右半平面是调和函数，求在该半平面的解析函数，使解

20、：求偏导数得，方法在该半平面取，由（）式得方法由柯西黎曼方程,积分两边对求导，并与上面所得比较，有于是得，即，同样得故得由条件，得，故解析函数表示成的函数可有多种方法譬如注意到如果，令则，即与的对应规律相同，此法甚简便如本例，令，可推得四、思考题、习题及习题解答（一） 思考题、习题 计算从到积分的值，其中为：（） 线段（） 左半平面中以原点为中心单位半圆 求下列各函数沿以原点为中心的正向单位圆周的积分值：（）；（）；（）；（） 沿指定路径，计算以下积分：（）；（） 计算闭路积分，其中， 计算下列积分（）；（）；（）； （） 设，求的值使为调和函数，并求出解析函数（二） 习题54解答（只解答难题

21、）1(1) ; (2) 22（1）0 ； （2） 0 ； （3） ； （4）3（1） ； （2）45（1） ； （2） ； （3） ； （4） ；6 ； 第四章 级    数一、 本章的核心、重点及前后联系 （一） 本章的核心 理解幂级数、洛朗级数的概念；掌握幂级数、洛朗级数的主要性质、级数收敛的判别方法及必要条件；会将一个复变函数展开成幂级数或洛朗级数。（二） 本章重点级数的概念，幂级数，收敛圆与收敛半径，洛朗级数，函数的级数展开 （三） 本章前后联系本章首先介绍复数列和复数项级数收敛的概念及其判断法，以及幂级数的有关概念和性质然后讨论解析函数的泰勒级数和洛朗级

22、数展开定理及其展开式的求法，它们是研究解析函数性质和计算积分的重要工具二、 本章的基本概念、难点及学习方法指导 （一） 本章的基本概念级数的概念，幂级数，收敛圆与收敛半径，洛朗级数，函数的级数展开 （二） 本章难点及学习方法指导一 洛朗级数：如果函数在圆环域内解析，那么在此圆环域内函数可以唯一的展开成的双边幂级数：，其中，称为函数在的洛朗系数，双边级数称为函数的洛朗级数。 需要注意的是：求函数在圆环域内的洛朗级数时，我们往往不用公式直接来求（因为复积分计算比较繁琐），而是利用间接展开法，即从几个已知的初等函数的级数展开式出发，利用变量替换、幂级数的四则运算或逐项求导与求积分运算得来的。另外，当

23、函数在内解析时，圆环域退化为圆，有高阶导数公式，洛朗系数就是泰勒系数，此时的洛朗级数就是泰勒级数。可见泰勒级数是洛朗级数的特殊情况，而洛朗级数是泰勒级数的推广。三、典型例题分析例 以=1为中心，将函数展开成洛朗级数 解：除=1外，=2也是f(z)的奇点，故f(z)在圆环域及内均解析。由于展开中心=1，故所求级数的项应是（z-1）的正幂和负幂。先把f(z)用部分分式表示等式右端第一项正是所求级数的一项，因而只需要把在各圆环域内展开成z-1的双边幂级数即可。（1） 在内； 于是 （2） 在内， 故 由此例可见，同一函数的罗朗级数，即使中心相同，在不同的圆环域内，展开式也是不同的。四、思考题、习题及

24、习题解答（一） 思考题、习题1.函数能否在圆环域（）内展开成洛朗级数？为什么？ 2.试说明函数在以点=i为中心的哪些圆环域内可以展开成洛朗级数，这些展开式有什么共同的形式? 3.将函数在下列圆环域内展开成洛朗级数： （1）； （2）. 4.把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数： （1） （2） （3），在以i为中心的圆环域内。（二） 习题解答（只解答难题）1.不能。因为以的点(k=)为奇点，且当时，所以在任何圆环域（）内都有的奇点。在内不解析，从而不能在这样的去心领域内把展开成洛朗级数。 2.圆环域有，；这些展开式中各项都是的整数次幂。 3. (1) ; (2) 4. (1) (2) ;

25、 （3）， ；第五章 留    数一、 本章的核心、重点及前后联系（一） 本章的核心 理解复变函数在孤立奇点处的留数的概念；掌握留数定理，并会应用它们计算复变函数的积分；会计算孤立奇点处的留数，会用留数求一些定积分。（二） 本章重点孤立奇点及分类，留数定义及计算规则，留数定理，留数在定积分计算中的应用。 （三） 本章前后联系在这一章中，我们将以上一章介绍的洛朗级数为工具讨论解析函数的在有限远和无穷远点处孤立奇点的分类及性质。本章的中心问题是留数定理，它是留数理论的基础。前面讨论的柯西古萨基本定理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情形。应用留数定理可以把沿闭曲线的积分

26、转化为计算在孤立奇点处的留数。应用留数定理还可以计算一些定积分和广义积分，其中有些积分在定积分中计算非常复杂甚至计算不出来。利用留数理论可以在分类后作统一处理。所以留数定理不仅在理论上而且在应用上都有十分重要的意义。二、 本章的基本概念、难点及学习方法指导 （一） 本章的基本概念孤立奇点及分类，留数定义及计算规则，留数定理，留数在定积分计算中的应用。 （二） 本章难点及学习方法指导一、 基本概念1） 解析函数的孤立奇点的分类：a)有限远孤立奇点： 可去奇点存在。 孤立奇点 极点 ； 本性奇点不存在也不等于无穷大。b)无穷远的孤立奇点如果函数在无穷远点的去心邻域内解析，那末称为函数 的孤立奇点。

27、 作变换，这个变换把扩充平面上的无穷远点映射成扩充平面上的点，规定：如果是的可去奇点、级极点或本性奇点，那末就称点是函数 的可去奇点、级极点或本性奇点。2）解析函数零点与奇点的关系a)不恒等于零的解析函数 如果能表示成的形式，则称为的级零点。（在处解析）为的级零点的充要条件是：。b)若为的级零点，则为的级极点。此结论为我们判断极点的级数提供比较方便的判别办法。要求的极点，只需求出的零点。3） 留数a) 留数定义（有限远点） 称为函数在处的留数。记为，即b)留数定义（无穷远点）设函数在圆环域内解析，为圆环域内绕原点的任一条正向简单闭曲线，那末积分称为函数在点的留数，记作 二、 主要定理及规则1）

28、 计算留数的规则：规则I 如果是的一级极点，那末 规则 如果是的级极点，那末 规则 设函数在都解析。如果且，那末是的一级极点，并且有 规则 。 2）主要定理定理一（留数定理）设函数在区域内除有限个孤立奇点外，处处解析。是内包含诸奇点的一条正向简单闭曲线，那末 定理二 如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那末在所有各奇点（包括点）处的留数的总和必等于零。即三、留数的应用（1） 复变函数沿闭路的积分：主要利用留数定理。（2） 三种不同类型的定积分：a)；b) ；c) ，其中是被积函数在上半平面上的奇点。在计算后两种定积分时，注意对被积函数的要求。三、典型例题分析例1 是函数的可去奇点，所以

29、。而是函数的本性奇点，其洛朗展开式为所以例2 计算解 因为，所以是函数的一级极点。根据规则I，有 解毕例3 计算积分 ，其中为正向圆周：。解 函数在圆周内有两个奇点，。因为在处不等于零，但，所以是函数的一级极点。由规则I，得根据留数定理得函数在处的留数也可以借助于规则求。四、思考题、习题及习题解答（一） 思考题、习题1. 判断对错：1） 是函数的一级极点。 （ ）2） 是函数的三级极点。 （ ）3） 是函数的可去奇点。 （ ）4） 是函数的一级极点。 （ ）5） 是函数的三级极点。 （ ）2. 求出下列函数的奇点，并确定它们的类型：1） ； 2）； 3）；4）； 3. 求下列函数在指定点处的留

30、数：1） ； 2）；4.计算下列积分，积分曲线均取正向：1） ；2） ；3） ；（二） 习题解答（只解答难题）1. 1) 对; 2)对;3)对；4）错；5）错。2. 1）是三级极点。 2） 是二级极点。3） 是本性奇点。4） 是一级极点。3. ；1） ；2） ；4. 1); 2); 3)0第六章 共形映射一、 本章的核心、重点及前后联系 （一） 本章的核心 理解解析函数的导数的几何意义、共形映射的概念；掌握并会应用分式线性映射、幂函数构成的映射及指数函数构成的映射；会求满足某些条件的分式线性映射，会求两域间的共形映射。（二） 本章重点共形映射基本概念，解析函数导数的几何意义，分式线性映射，初等

31、函数构成的映射（三） 本章前后联系从第二章起，我们通过导数、积分、级数等概念以及它们的性质与运算着重讨论了解析函数的性质与应用。在这一章中，我们从几何角度对解析函数的性质和应用进行讨论。在第一节我们主要分析解析函数所构成的映射的特性，引出共形映射这一重要概念。共形映射的作用是将复杂区域上的问题转化为简单区域上去讨论；在第二、三节讨论分式线性映射的性质、决定条件及常见区域之间转换的映射。最后讨论几个初等函数构成的共形映射的性质及应用。二、 本章的基本概念、难点及学习方法指导 （一） 本章的基本概念共形映射基本概念，解析函数导数的几何意义，分式线性映射，初等函数构成的映射（二） 本章难点及学习方法

32、指导一、基本概念1) 解析函数导数的辐角与模几何意义及性质：a)导数的辐角是曲线经过映射后在处的转动角；b)转动角的大小与方向跟曲线的形状与方向无关。这种性质称为保角性。c)是经过映射后通过点的任何曲线在的伸缩率，它与曲线的形状及方向无关。这种性质成为伸缩率不变性。2） 共形映射的概念a)定义 设函数在的某个邻域内有定义，且在具有保角性和伸缩率的不变性，那么称映射在是共形的，或称在处是共形映射。如果映射在区域内没一点都是共形的，那么称在区域内是共形映射。b)解析函数在其导数不等于零的地方是共形映射。3）分式线性映射a)分式线性映射的形式：。它可分解为b)性质：保角性： 分式线性映射在扩充复平面

33、是一一对应的，且具有保角性。保圆性： 分式线性映射将扩充平面上的圆周映射成扩充平面上的圆周，即具有保圆性。在分式线性映射下，如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点，那末它就映射成半径为有限的圆周；如果有一个点映射成无穷远点，那末它就映射成直线。保对称性：设点是关于圆周的一对对称点，那末在分式线性映射下，它们的像点是关于圆周的像曲线的一对对称点c)唯一决定分式线性映射的条件：三组互异的对应点。二、几个常见区域之间转换的分式线性映射1） 上半平面映射成上半平面：，其中都为实常数，且。2） 上半平面映射成单位圆内部：为任意实数。3） 单位圆映射成单位圆：，为任意实数。三、几个初等函数构成的映射1

34、）幂函数：其中为自然数。在平面内除去原点外，由幂函数所构成的映射是处处共形的。在幂函数映射下:a)平面上的圆周映射成平面上的圆周；特别是单位圆周映射成单位圆周；b)射线映射成射线；但正实轴映射成正实轴；c)角形域映射成角形域.2）指数函数指数函数由所构成的映射是一个全平面上的共形映射。 指数映射将水平的带形域变成角形区域；而对数映射将角形域映射成带形域。如果要把带形域映射成角形域，则用指数映射；要把角形域映射成带形域，则用对数映射。在两个区域之间转换的映射时，要灵活运用前面所学的知识。三、典型例题分析例1 求将上半平面映射成单位圆且满足条件的分式线性映射。解 由条件知，所求的映射要将上半平面中

35、的点映射成单位圆周的圆心。所以由(6.3.2)式得又因为故有又因为所以。所求映射为 解毕例2 求将单位圆映射成单位圆且满足条件的分式线性映射。解 由条件知，所求映射要将内的点映射成单位圆的圆心。所以，由(6.3.5)式，得由此得故。由于，因此，为正实数，从而，即。所以所求映射为 解毕四、思考题、习题及习题解答（一） 思考题、习题1求把上半平面映射成单位圆域的分式线性映射，并满足条件：1） ；2） ；3） 。2 把单位圆映射成单位圆的分式线性映射，并满足条件：；2）。（二） 习题解答（只解答难题）1. 1）；2）；3）。2. 1）；2）。第七章 傅里叶变换一、 本章的核心、重点及前后联系 （一）

36、 本章的核心理解傅里叶变换的概念；掌握变换的主要性质及卷积定理，单位脉冲函数及其傅立叶变换，会求一些常用函数的积分变换，并会查表求象函数及原象函数。 （二） 本章重点傅里叶变换的概念及性质，卷积定理单位脉冲函数及其傅立叶变换，。 （三） 本章前后联系本书的第七、八章的基本内容为积分变换。所谓积分变换，就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数，它的变换形式一般的可以写成： ，其中为一个确定的二元函数，称为积分变换的核，称为象原函数，称为的象函数。在一定条件下，象原函数与它的象函数是通过上述积分运算联系的一一对应的函数。不同的积分域及积分变换核确定出不同的积分变换类型。我们要介绍的是最常用的两类

37、积分变换：傅立叶变换和拉普拉斯变换。另外要注意的是，积分变换中虚数单位一般记成，即 二、 本章的基本概念、难点及学习方法指导 （一） 本章的基本概念傅里叶变换的概念及性质，卷积定理，单位脉冲函数及其傅立叶变换 （二） 本章难点及学习方法指导傅立叶积分定理：若函数 在区间上满足下列两个条件：（1） 在任意有限区间上满足狄立克莱（Dirichiet）条件；（2） 在区间上绝对可积。则在的连续点处有： 在的间断点处，上式右端应为。这是函数的傅立叶积分公式（简称傅氏积分公式）的复指数形式。它还可以稍作变形即得到傅立叶积分公式的三角函数形式：。傅立叶积分定理的重要意义在于它给出了傅氏变换的定义。二傅氏变

38、换：满足傅氏积分定理条件时，的傅立叶变换式为： F f (t) = 这种积分运算叫做取的傅立叶变换，叫做的象函数；的傅立叶逆变换式为：F 叫做的象原函数，这种积分运算叫做取的傅立叶逆变换。这样象函数和象原函数构成一个傅立叶变换对，它们是一一对应的。 傅氏变换常应用在频谱分析中，时间函数可看作某种振动的波形，它的傅氏变换，就是求这个时间函数的频谱函数。一 傅氏变换的性质：1线性性质：设F ， 是常数(k =1,2,n)，则有F 。2位移性质 ：设F ，则有：(1) F （为实数）， （2）F , (3) F ,F 。3。微分性质：若F ，存在且除有限个间断点外连续，且时, ；则 F 即 F .象

39、函数的微分性质： F ，若存在且除有限个间断点外连续,且时, ；则 F 即 F4。积分性质：F ，若 ，（即 ）,则：F =F 。当条件不满足时（即时），它的傅氏变换应包括一个脉冲函数：F 。5卷积定理：已知函数 、都满足傅氏积分定理条件,且F ，F ，则：（1） F 即F （2）F 即F。 以上这些性质是我们所要掌握的傅氏变换的基本性质，在计算一些较复杂的函数的傅氏变换时，常利用傅氏变换的性质来计算。四函数及其傅氏变换函数是工程应用中非常有用的函数，但它不是一般意义下的函数，而是一个广义函数。在这里我们没有必要对广义函数的概念作过多的深究。我们需要了解掌握的是函数的特性及其傅氏变换：(1)(

40、2)(3）函数的傅氏变换F ； F ；F ； F 。(4)通过函数及其傅氏变换，还推得一个工程上常用函数：单位阶跃函数的傅氏变换：F 。三、典型例题分析例1 求函数的傅立叶变换，并推证：解证：根据（7-1-6）式F f (t) = 这便是的傅立叶变换。下面我们来求的积分表达式，根据（7-1-7）式，并利用奇偶函数的积分性质，可得在的连续点处（即及时），有 F 在间断点处（即时），有总之：从而得到含参变量广义积分的结果 并且由它可以推得 时，有 ，这是著名的狄立克莱积分公式，这个公式若直接计算证明是极其复杂的，但利用的傅立叶积分公式，它是很容易得到证明的。 例2 由 F 计算F 和F 。解：由时域上的位移性质（7-2-2）式得 F 由频域上的位移性质（7-2-4）式得F 四、思考题、习题及习题解答（一） 思考题、习题1 求函数的傅氏积分。2设F ，证明傅氏变换的对称性质：F 即 。3求下列函数的傅氏变换，其中。(1). ;(2). ;(3) .（二） 习题解答（只解答难题）123(1). ; (2) ; (3) .第八章 拉普拉斯变换一、 本章的核心、重点及前后联系 （一） 本章的核心 理解拉普拉斯变换的概念；掌握变换的主要性质及卷积定理，并会应用留数计算拉氏逆变换；会求一些常用函数的积分变换，并会查表求象函数及原象函数，会用拉氏