工程力学-第1-4章

1、工程力学工程力学大型水利工程设施大型水利工程设施22002200年以前建造的都江堰安澜索桥年以前建造的都江堰安澜索桥 美国的美国的Tacoma 大桥，中央跨距大桥，中央跨距853米。米。在在中等风速（中等风速（19m/s）作用下整体塌毁。）作用下整体塌毁。钻床钻床 静力学 材料力学 结构力学 流体力学 弹性力学 断裂力学 工程力学教学安排 教材 概念的理解、课后的练习 教学内容 静力学（一四、六）：16学时 材料力学（一九章）：44学时 复习：4学时 成绩评定 考试成绩： 平时成绩+实验成绩： 参考资料 静力学 材料力学北京科技大学东北大学编 2007年修订版 材料力学上、下册 （第四版） 刘

2、鸿文主编 高等教育出版社 2004年1月第4版第一章 绪论 工程力学的研究内容 研究对象 研究任务 研究方法 工程力学的研究对象 工程构件 杆、板、壳、块体 杆杆一个方向（轴向）上的尺寸远大于另两个方向的尺寸的构件。直杆曲杆 板、壳板、壳一个方向（厚度方向）上的尺寸远小于另两个方向的尺寸的构件。板壳 块体块体三个方向上的尺寸在同一个数量级上。块体 工程力学的研究方法 确定研究对象 选择、建立力学模型 数学建模 求解数学问题 验证结论 更改或修正 强度失效、刚度失效、稳定性失效强度失效、刚度失效、稳定性失效 工程力学的研究任务 研究构件的强度强度、刚度刚度和稳定性稳定性问题，选择合适的材料，确定

3、构件的合理截面形状、尺寸。力学模型 刚体模型刚体模型刚体静力学 忽略物体在力的作用下形状和大小的改变，假定物体中任两点间的距离保持不变。 理想弹性体理想弹性体变形体静力学 连续性、均匀性、各向同性、完全弹性和线弹性、小变形 连续性连续性 假设内容：假设物体在其整个体积内无间隙地充满了物质，可将研究对象看作连续介质。 假设目的：连续性可以使用微积分、极限等数学工具。 均匀性均匀性 假设内容：假设物体各点处的力学性质相同（弹性）。 假设目的：1. 弹性常数各点相同； 2. 小块可代表整体。 各向同性各向同性 假设内容：假设物体中任一点处沿各个方向的力学性质相同（弹性）。 假设目的：弹性常数不随方向

4、变化。 完全弹性和线弹性完全弹性和线弹性 假设内容：假设物体卸载后立即完全恢复其原有形状和尺寸，没有残余变形，且力与变形成正比关系。 假设目的：使求解方程线性化，简化计算。 小变形小变形 假设内容：假设变形的大小远远小于构件的原始尺寸。 假设目的：1. 在研究物体的平衡时，可忽略变形； 2. 简化分析和计算。第一篇 静力分析基础一、静力学1. 静力学研究力系作用下处于平衡状态的物体系统。2-1 静力学基本概念第二章 静力学基本概念和受力分析受力分析力系的等效、简化平衡条件的建立2. 研究内容二、基本概念力、运动、变形、约束1. 力矢量2. 运动、变形 拉压、弯、剪、扭 平行四边形法则 按作用位

5、置分分布力（体积力、表面力）集中力 按作用性质分静载荷动载荷（周期载荷、冲击载荷） 轴向拉伸或压缩变形轴向拉伸或压缩变形 受力特点：受力特点：合力作用线与杆轴线重合引起的。合力作用线与杆轴线重合引起的。 拉拉 伸伸 压压 缩缩 变形特点：变形特点：杆件沿合力方向伸长或缩短，杆件沿合力方向伸长或缩短， 主要变形是长度的改变。主要变形是长度的改变。 桥梁结构中的拉杆桥梁结构中的拉杆 弯弯 曲曲 变变 形形 受力特点：受力特点：是由垂直于杆件轴线的横向力是由垂直于杆件轴线的横向力或作用在杆件的纵向平面内的力偶引起的。或作用在杆件的纵向平面内的力偶引起的。变形特点：变形特点：杆件由直变弯，杆件的轴线变

6、成曲线。杆件由直变弯，杆件的轴线变成曲线。阳台梁是受弯构件阳台梁是受弯构件阳阳 台台剪剪 切切 变变 形形 受力特点：受力特点：由垂直于杆轴线由垂直于杆轴线方向的一对大小相等、方方向的一对大小相等、方向相反、作用线很近的横向相反、作用线很近的横向外力引起的。向外力引起的。 变形特点：变形特点：二力之间的横截面产生相对错动变形，二力之间的横截面产生相对错动变形，主要变形是横截面沿外力作用方向发生相对错动主要变形是横截面沿外力作用方向发生相对错动。吊索扭扭 转转 变变 形形 受力特点：受力特点：由垂直于杆轴线平面内的力偶作用引起的。由垂直于杆轴线平面内的力偶作用引起的。变形特点变形特点：相邻横截面

7、绕杆轴产生相对旋转变形。：相邻横截面绕杆轴产生相对旋转变形。对称扳手拧紧镙帽对称扳手拧紧镙帽桥体发生扭转变形桥体发生扭转变形3. 约束约束 预先给定的、预先给定的、限制物体运动限制物体运动的条件。的条件。 柔性约束柔性约束柔索柔索 刚性约束刚性约束光滑接触面约束光滑接触面约束光滑铰链光滑铰链可动铰支座可动铰支座链杆链杆 主动力主动力 约束力约束力 约束力约束力约束本身的性质、主动力和物体的运动状态约束本身的性质、主动力和物体的运动状态 约束力的三要素约束力的三要素 作用位置：相互接触处。作用位置：相互接触处。 作用方向：与约束所限制的物体运动或运动趋势的方作用方向：与约束所限制的物体运动或运动

8、趋势的方向相反。向相反。 作用大小：一般未知，根据主动力及运动状态来确定。作用大小：一般未知，根据主动力及运动状态来确定。（1）柔索）柔索 无重量的、不可伸长的且无限柔软的细长物体。无重量的、不可伸长的且无限柔软的细长物体。 约束特点约束特点：只能阻止物体使其沿轴线伸长的运动趋势。：只能阻止物体使其沿轴线伸长的运动趋势。 约束力约束力：集中力：集中力FT ，作用点在连接处，方向背离物体。，作用点在连接处，方向背离物体。PPFTFT1FT1FT2FT2 （2）光滑接触面）光滑接触面 摩擦阻力可以忽略不计的两物体的刚性接触面。摩擦阻力可以忽略不计的两物体的刚性接触面。 约束特点约束特点：只限制物体

9、沿接触面法向相互进入的位移。：只限制物体沿接触面法向相互进入的位移。 约束力约束力：分布力，取合力：分布力，取合力FN，方向沿法向指向物体。，方向沿法向指向物体。PFNFNPFNAFNB（3）光滑铰链）光滑铰链 球铰链和圆柱铰链球铰链和圆柱铰链a. 球铰链球铰链只能绕球心作相对转动。其约束力只能绕球心作相对转动。其约束力FR必过球必过球心，用坐标分力表示。心，用坐标分力表示。b. 圆柱铰链圆柱铰链FyFx 只能绕销钉轴线作相对转动及沿销钉轴线移动。只能绕销钉轴线作相对转动及沿销钉轴线移动。 其约束力其约束力FR必沿径向通过销钉中心，用坐标分力表示。必沿径向通过销钉中心，用坐标分力表示。c. 固

10、定铰支座固定铰支座d. 中间铰中间铰/活动铰活动铰作用力与反作用力e. 向心轴承和止推轴承向心轴承和止推轴承 约束力同柱铰、球铰约束力同柱铰、球铰。（4）可动铰支座（辊轴支座）可动铰支座（辊轴支座） 允许沿支承面移动。约束力允许沿支承面移动。约束力FN必垂直于支承面且通过铰必垂直于支承面且通过铰链中心。链中心。（5）链杆链杆 两端用光滑铰链与其它构件连接且不考虑自重的刚性杆件。两端用光滑铰链与其它构件连接且不考虑自重的刚性杆件。 约束特点约束特点：仅在两端分别受到一个通过铰接中心的力。：仅在两端分别受到一个通过铰接中心的力。 约束力约束力： 集中力集中力F 沿两铰接中心的连线，两个力等值沿两铰

11、接中心的连线，两个力等值反向共线。反向共线。 二力杆：二力杆： 只在两个力作用下平衡的构件，受到的两个力沿两个力只在两个力作用下平衡的构件，受到的两个力沿两个力的作用点连线，的作用点连线，等值反向等值反向。2-2 2-2 受力分析受力分析 步骤步骤 选取分离体选取分离体 画主动力或外加载荷画主动力或外加载荷 画约束力画约束力 检查检查 分离体分离体解除了约束的物体。解除了约束的物体。 解除约束原理解除约束原理 受约束的物体在某些主动力的作用下处于平衡，若将其部分或全部约束受约束的物体在某些主动力的作用下处于平衡，若将其部分或全部约束除去，代之以相应的约束力，则物体的平衡不受影响。除去，代之以相

12、应的约束力，则物体的平衡不受影响。 主动力主动力注意重力注意重力 约束力约束力关键关键 检查内容检查内容 1. 受力图受力图不带约束不带约束 2. 不多不多画力、画力、不少不少画力画力 3. 不错不错画力的方向（约束力）画力的方向（约束力） 4. 注意作用力与反作用力（方向的注意作用力与反作用力（方向的一致一致） 5. 对整个系统分析只画外力，不画内力对整个系统分析只画外力，不画内力 6. 整体与局部相统一，不能矛盾整体与局部相统一，不能矛盾 7. 正确判断正确判断二力构件二力构件 检查内容检查内容 1. 受力图不带约束受力图不带约束 2. 不多画力、不少画力不多画力、不少画力 3. 不错画力

13、的方向（约束不错画力的方向（约束力）力） 4. 注意作用力与反作用力注意作用力与反作用力（方向的一致）（方向的一致） 5. 对整个系统分析只画外对整个系统分析只画外力，不画内力力，不画内力 6. 整体与局部相统一，不整体与局部相统一，不能矛盾能矛盾 7. 正确判断二力构件正确判断二力构件ABFAxFAyFBqFFqFFyxCDBFTFTFBDFDBF DBFCxFCyCDDBFAxFAyFCxFCyFCxFCyFByFBxFAxFAyFByFBxFAxFAyFCBFBCFAxFAyFCxFCyFByFBxFCBFBCABCDqFqFFAxFAyFBFDABCDABCDqFqFAxFAyFBAB

14、CFCxFCyFCDFDFCxFCyFAxFAyFCBFBCFCBFBCFCBFAFAFAxFAyFB三力平衡汇交定理三力平衡汇交定理 刚体受到三个不平行力作用平衡时，三力必交于同一点，且作用线刚体受到三个不平行力作用平衡时，三力必交于同一点，且作用线在同一平面内。在同一平面内。已知：作用于刚体上三个相互平衡的力，其中两个力的作用线汇交于一已知：作用于刚体上三个相互平衡的力，其中两个力的作用线汇交于一点。点。求证：此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。求证：此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。证明：证明： 在刚体在刚体A、B两点上，分别作用三个相互平衡的力两点上，

15、分别作用三个相互平衡的力F1、F2、F3，其中，其中F1和和F2汇交于汇交于A点。点。 力是矢量，遵守平行四边形法则，得到合力力是矢量，遵守平行四边形法则，得到合力F12。 又又整个刚体是平衡的，那么整个刚体是平衡的，那么F3与与F12必然平衡。必然平衡。 由于两个力平衡只有共线，由于两个力平衡只有共线， F3与与F1、F2共面，且通过共面，且通过F1和和F2的交点的交点A点。点。F12F3F1F2BAABCDqFqFAxFAyFBABCFCDFDFCFC作业本章小结静力学研究内容静力学研究内容 静力学静力学研究受力系作用处于平衡状态的物体系统。研究受力系作用处于平衡状态的物体系统。基本概念基

16、本概念力、运动、变形和约束力、运动、变形和约束 力力矢量矢量 杆件的基本变形杆件的基本变形 约束和约束力约束和约束力 柔索、光滑接触面、光滑铰链、可动铰支座、链杆柔索、光滑接触面、光滑铰链、可动铰支座、链杆受力分析受力分析 选取分离体选取分离体 画主动力画主动力 画约束力画约束力 检查检查合理运用三力平衡汇交定理和正确判断二力构件第三章 力系的静力等效和简化 力矩力矩和力偶力偶的概念 主矢主矢和主矩主矩的概念 力系等效定理 力的平移定理 力系的简化结果 固定端约束固定端约束 合力投影定理和合力矩定理合力矩定理 形心形心的计算 力矩 度量力使刚体绕某点或某轴转动的强弱程度的物理量。 力对点之矩

17、力使刚体绕力使刚体绕某一点某一点转动效应的量度。转动效应的量度。 力对轴之矩 力使刚体绕力使刚体绕某一轴某一轴转动效应的量度。转动效应的量度。第三章 力系的静力等效和简化3-1 力矩和力偶的概念一、力对点之矩 平面力和力臂的乘积。1. 公式：Mo（F）=Fh 2. 大小：标量， Fh （2SOAB） 3. 转向：正负符号确定（逆时针为正）4. 方向：垂直平面（确定） 5. 单位：Nm 空间矩心到力作用点的矢径与力的矢量积。1. 公式：Mo（F）=rF2. 大小：矢量，| rF |=rFsin （2SOAB）3. 转向：右手螺旋定则4. 方向：沿作用面法向 5. 单位：Nm 力矩的三要素大小、方

18、向、矩心O60o30o1m0.1m0.1mF1=200NF2=400NO60o30o1m0.1m0.1mF1=200NF2=400Nh1AB力臂力臂h1：1sinsin60ohOAOACOAC0.1 tan30oOAOBABOBF1对对O点的力矩：点的力矩：111OMFF hh2解解：同理得：同理得：2OMF1.1m3m1m1.6mP2P1F倾覆力矩倾覆力矩：11.6 MF抗倾覆力矩抗倾覆力矩：2121.13 1MPP212.24KMM倾覆安全系数倾覆安全系数：解解：90 1.6144 kN m75 1.1 120 2322.5kN m二、力对轴之矩1. 公式：公式：Mz（F）=Mo（Fxy）

19、=Fxyh2. 大小：标量，大小：标量， Fxyh （2SOab） 3. 转向：正负符号确定（转向：正负符号确定（逆时针为正逆时针为正/右手螺旋右手螺旋）4. 方向：转轴轴线方向（确定）方向：转轴轴线方向（确定）5. 单位：单位：Nm 力对轴之矩为零的情况 力与轴相交（h = 0） 力与轴平行（| Fxy | = 0）力与轴在同一平面OnFxyh三、力矩关系定理 力对点的矩矢力对点的矩矢在通过该点的某轴上的在通过该点的某轴上的投影投影等于等于力力对该轴的矩对该轴的矩。 或或：力对某轴之矩等于力对这个轴上任一点的矩：力对某轴之矩等于力对这个轴上任一点的矩在这个轴上的投影在这个轴上的投影。 力偶

20、定义定义两个两个等值、反向，平等值、反向，平行不共线行不共线的的两个力两个力组成的力系。组成的力系。 力偶矩矢力偶矩矢 M(F,F) = aF 力偶矩力偶矩力偶矩矢的大小。力偶矩矢的大小。 |M(F,F)| =Fh 度量力偶度量力偶对刚体的转动效应的物理量。对刚体的转动效应的物理量。 力偶臂力偶臂两力之间的垂直距两力之间的垂直距离离h。 力偶的两个要素力偶的两个要素大小、方大小、方向向（转向和作用面）（转向和作用面）。力偶表示方法DAMBl力偶实例 注意注意 力偶和力力偶和力 都是两个基本物理量都是两个基本物理量 力矩和力偶矩力矩和力偶矩 都是反映转动效应都是反映转动效应 力矩（力对点之矩）力

21、矩（力对点之矩） 反映力对刚体的转动效应的强弱，与矩心有关，固定矢量反映力对刚体的转动效应的强弱，与矩心有关，固定矢量 三要素三要素大小、方向、取矩心大小、方向、取矩心 力偶矩矢（力偶对点之矩）力偶矩矢（力偶对点之矩） 反映力偶对刚体的转动效应的强弱，与矩心无关，自由矢量反映力偶对刚体的转动效应的强弱，与矩心无关，自由矢量 两要素两要素大小、方向大小、方向一、力系及其分类 一般力系 汇交力系 平行力系 力偶系二、主矢和主矩 主矢力系中各力的矢量和。 主矩力系中各力对某点的力矩的矢量和。3-2 力系的静力等效AAMABFh三、力系的等效变换 1. 等效力系定理两力系对刚体运动效应相等的条件是其主

22、矢相等以及对同一任意点的主矩相等。 力系的等效变换 力系的简化 2. 平衡力系（零力系）主矢和对任意一点主矩都等于零的力系。 二力平衡条件二力平衡条件 3. 加减平衡力系原理 4. 力的可传性 5. 力偶的等效定理力偶矩矢相等力偶矩矢相等ABF只要保持力偶矩的只要保持力偶矩的，作用在刚体，作用在刚体上的力偶可以在其作用面内上的力偶可以在其作用面内任意转移任意转移，或在作用面内，或在作用面内同时同时改变改变组成力偶的两个力的大小和力臂的大小，组成力偶的两个力的大小和力臂的大小，不影响不影响其作其作用效果。用效果。ABFABF 力的平移定理（力线的平移法则） 当把作用在刚体A点上的力F平行移动到刚

23、体上任一点B点时，必须要同时附加一个力偶附加一个力偶，附加力偶的矩等于F对新作用点对新作用点B的力矩的力矩，则平移后的新力系与原力系等效。ABFM=FhhABFFF3-3 力系的简化h力平移的应用 二、力系向一点简化OF1F2FnF3xyF1F2FnF3OM1M2MnM3xyF1F2FnF3OM1M2MnM3xyF1F2FnF3OxyOM1M2MnM3平面一般力系平面一般力系平面汇交力系平面汇交力系平面力偶系平面力偶系平面一般力系平面一般力系平面汇交力系平面汇交力系平面力偶系平面力偶系力系简化的最终结果主矢主矢主矩主矩最后结果最后结果FR=0Mo=0平衡Mo0合力偶FR0Mo=0合力Mo0FR

24、MO合力Mo0FRMO力螺旋FR与与MO成角力螺旋合力合力 力系的主矢和主矩力系的主矢和主矩1 1、力系向、力系向 点简化。点简化。A解析法解析法求得主矢和主矩分别为：求得主矢和主矩分别为：3RFKN 方向沿方向沿x轴正向；轴正向；3AMKN M方向沿方向沿z 轴负向；轴负向；向坐标投影向坐标投影123453, 3 2FFFKNFFKN0,3,0BxByBzMMkN M 2 2、力系向、力系向 点简化。点简化。B 主矩的各分量计算结果如下：主矩的各分量计算结果如下： 坐标原点从坐标原点从 点移至点移至 点，计算方法点，计算方法同上。同上。AB所以主矩所以主矩MB=3KNm，沿，沿y 轴负向；轴

25、负向；BAMM 显然，显然， 为什么没有计算主矢为什么没有计算主矢3 3、力系简化的最终结果。、力系简化的最终结果。313AAMkN mdmFkN 由由 由图由图3-213-21（b b）知，主矢和主矩互）知，主矢和主矩互相垂直。故最终可简化为一个力。相垂直。故最终可简化为一个力。知合力作用线通过点知合力作用线通过点 ；如图所示。；如图所示。C 如果从如果从 点简化结果出发，会有什点简化结果出发，会有什么结果呢么结果呢B 比较二者能得出怎样的结论比较二者能得出怎样的结论12122cos232.9sin670.1tan0.3,16.7RxxRyyFFFFkNFFPPFkNABBC 重力坝受重力和

26、水压作用。重力坝受重力和水压作用。 求：力系向点求：力系向点0简化结果；简化结果； 力系简化的最终结果。力系简化的最终结果。 重力坝所受力系可简化为其重力坝所受力系可简化为其横向对称面内的一个平面力系。横向对称面内的一个平面力系。 1、先求力系的主矢。、先求力系的主矢。112()31.53.92355OOiMMFFPPkN m 力系简化的结果如右上图所示。力系简化的结果如右上图所示。合力作用线位置可由力的平移确定：合力作用线位置可由力的平移确定：主矢大小：主矢大小：22709.4RRxRyFFFkN主矢方向：主矢方向：cos0.3283,70.84RxRFF 2、再求力系对点、再求力系对点O

27、的主矩。的主矩。,3.514ORyORyMFxMxmF 力系最终简化的结果如图力系最终简化的结果如图3-24c所示。所示。12323123cos60cos6000sin60sin600()RxxRyyOOiFFFFFFFFFMMFF OAFOBFOC 平面力系。建立如图所示的坐标系。平面力系。建立如图所示的坐标系。 该力系主矢为零。简化结果为一合力该力系主矢为零。简化结果为一合力偶。偶。同时该力系向任意点简化的结果都相同，同时该力系向任意点简化的结果都相同，其最终简化结果也为合力偶。其最终简化结果也为合力偶。习题 2.5 3.8 4.1 4.2 约束 固定端限制移动和转动 转动约束 万向节 轴

28、承 刚接点 刚性铰和柔性铰 定理 合力投影定理 合力矩定理 力对轴之矩的合力矩定理 二次投影定理3-4 力系简化的应用 合力投影定理 合力在任一方向上的投影合力在任一方向上的投影=合力的分力在同一方分力在同一方向上投影向上投影的代数和代数和。空间问题也适用12xxxFFF12RFFF如果有，如果有，则，则，12yyyFFF12zzzFFF 合力矩定理 平面力系平面力系合力对某点之矩合力对某点之矩=合力的分力对该点之分力对该点之矩矩的代数和代数和。空间问题中，矢量和12OROOMFMFMF12RFFF如果有，如果有，则，则，F1对对O点的力矩：点的力矩：111xyOOOMFMFMFyxF1yF1

29、xF2yF2x110.1xOxMFF 111yOyMFF1110.11200cos600.1200sin601OxyooMFFF O0.1m0.1m60o30o1mF1=200NF2=400N解解：2OMF同理得：同理得：( )dF q x dx 22001( )3llCqxF xq xxdxdxqll 001( )2llqxFq x dxdxqll2211323Cxqlqll3-5 平行力系的简化重心、质心和形心 d1d2d3d4D1 122coscos0CMFdF d简化为合力，则主矩必为简化为合力，则主矩必为0：1324coscos0DMFdF d11FF22FF3124ddddiiic

30、iiFxxFiiiciiF yyFiiiciiFzzF重心重心重力的中心重力的中心cVxxdP PcVyydP PcVzzdP PVx gdV PVy gdV PVz gdV PVx dV mVy dV mVz dV m质心质心,cccxyzciiiiixFF xciiiiiyFF yciiiiizFF zcVxx dV mcVyy dV mcVzz dV mcVxxdV VcVyydV VcVzzdV VcAxxdA AcAyydA Aclxxdl l薄板薄板等截面杆等截面杆cAxxdA AcAyydA A薄板薄板iiiciiAxxAiiiciiA yyAcAAxxdAyASxdAxASyd

31、ACx4211500120610,60;CAmmxmm4222500402 10,540;CAmmxmm423434400401.6 10,3200;CCAAmmxxmmCxCx112212()220()CCCAxA xxmmAA4211560 50028 10,280;CAmm xmm4222420 40016.8 10,320 CAmmxmmyxRrb 力 集中力 分布力 体积力 表面力 面力和线力 垂直于某一平面的线力q的合力合力，其大小等于等于载荷面的面积面积，方向垂直于该平面且与q的指向一致，作用线过作用线过载荷面的形形心心。 例3-11（例3-7） 垂直于某一平面的表面力q的合力合

32、力，其大小等于等于载荷体的体体积积，方向垂直于该平面且与q的指向一致，作用线过作用线过载荷体的形心形心。分布载荷求合力 某一平面的线荷载q的合力合力，其大小等于等于载荷面的面积面积，方向与q的指向一致，作用线过作用线过载荷面的形形心（中心）心（中心）。BAqBAqlll/2F=qlF=ql/22l/3BAq1q2lyx211121232 AMqq llqll212126 qql2112112323 AMq llqll解：解：30oAB对门对门AB受力分析：受力分析：ABqFTPFAxFAycos30oqghg AB112sin30sin300223ooATMPABq ABABFAB 0AAAA

33、TMMPMqMF 本章小结计算题类型 力对点之矩 力对轴之矩 力偶 力系的简化 重心、质心和形心位置 分布载荷的合力（大小、方向、作用线）作业FAyFAxMAFAyFAxMAFA返回返回第四章 刚体和刚体系统的平衡平衡4-1 质点系和刚体的平衡条件4-2 平面问题的平衡方程及其应用4-4 刚体系统的平衡问题4-5 考虑摩擦时物体的平衡问题4-3 空间问题平衡方程的应用4-6 滚动阻碍的概念 平衡状态 力系平衡 物系平衡一、质点的平衡平衡二、质点系的平衡平衡三、刚体和变形体的平衡平衡第四章 刚体和刚体系统的平衡4-1 质点系和刚体的平衡条件4-2 平面问题的平衡方程及其应用OF1F2FnF30R

34、F OM012RxxxnxFFFF 12RyyynyFFFF yFxF0RF 0OM123OnMMMMM OiMF 0yF 0 xF 0OM0RxF 0OM0RyF 3个独立方程，只能解个独立方程，只能解3个未知量个未知量平面三种力系平衡问题的联系平面三种力系平衡问题的联系平面一般力系平面一般力系0yF 0 xF 0OM0AM0 xF 0 xF 0yF 0yF 0OM平面汇交力系平面汇交力系AA平面平行力系平面平行力系Oxy3个独立方程，只能解个独立方程，只能解3个未知量个未知量解解：1.画出计算简图画出计算简图yxlqF2.建立坐标系建立坐标系3.受力分析受力分析yxqFFAyFAxMA4.

35、建立平衡方程求解建立平衡方程求解0yF 0 xF 0AM0AyFqlF0AxF2102AMFlqlAyFqlF0AxF212AMFlql0yF 0 xF 0OiMF 0yF 0AM0BM0AM0BM0CMxyFRBAFRBAC3个独立方程，只能解个独立方程，只能解3个未知量个未知量解解：1.画出计算简图画出计算简图FF1m0.4m0.3m1.26mABC30oABC30o解解：3.受力分析受力分析FFC30oBAC30o2.在在A点建立坐标系点建立坐标系FBCFCBBCFBCFAxFAyyx248 614881.488FNkN解解：4.建立平衡方程建立平衡方程FFCBAC30oFBCFAxFA

36、yyx0yF 0 xF 0AMsin300oAyBCFFFFcos300oAxBCFF11 0.4sin301.260 oBcFFF0.141AyFkN4.91AxFkN 5.67BCFkN 另解另解：4.建立建立两力矩式两力矩式平衡方程平衡方程FFCBAC30oFBCFAxFAyyxsin300oAyBCFFFF11 0.4sin301.260 oBCFFF0yF 0AM0BM1.画出计算简图画出计算简图3.受力分析受力分析2.在在A点建立坐标系点建立坐标系11 0.41.26 tan300oAxFFF cos300oAxBCFF0 xF 如果：如果：4.建立建立三力矩式三力矩式平衡方程平衡

37、方程0AM0BM0CM或或：平衡问题的求解步骤 建立坐标系 受力分析 整体 未知量 建立平衡方程求解 根据需要，补充平衡方程 部分yFMe=FaABCBDEFaaaaa解解：2.受力分析受力分析1.在在A点建立坐标系点建立坐标系xyFMe=FaxFAxFAyFCFFACBDEF解解：3.建立平衡方程建立平衡方程yFMe=FaACBDExFAxFAyFCFFF0yF 0 xF 0AM0AyCFFFFF0AxF250CFFaFaFaFa解解：yFMe=FaACBDExFAxFAyFCFFF4.取取DEF受力分析受力分析Me=FaDEFFFFDxFDy5.建立平衡方程建立平衡方程0yF 0 xF 0

38、DM0DyFFF0DxF20FFaFa6.求解方程求解方程14AyFF0AxF12FFF 54CFF10,yTFFP12120,0,ATTTTMFrFrFF212220,sin00,cos00coscossin(sin)0 xBxTyByCyTBCyTTFFFFFFPPFMFlP rFrFhr 141BxFN 283CyFN108ByFNM=4qACBD2m2m2m2mq作业作业图示为一最大起重力图示为一最大起重力F=100kN的塔吊。其自重的塔吊。其自重G=400kN，作用，作用线距离塔身中心线线距离塔身中心线OO为为0.5m。塔身最下面四个轮子可在轮道上行走。为。塔身最下面四个轮子可在轮道

39、上行走。为使在起吊过程中不倾倒，必须放置配重使在起吊过程中不倾倒，必须放置配重W，配重作用线位置如图所示。试，配重作用线位置如图所示。试问问W为多少时，该塔吊不会倾倒？为多少时，该塔吊不会倾倒？解解：ABOABOWFG0.5m0.5m2m3m10mFNB1.建立坐标系建立坐标系2.受力分析受力分析xyFNA3.绕绕B点倾倒时点倾倒时临界状态：临界状态：0NAF0yF 0BM0BM3 10.510 10WGF175WkN图示为一最大起重力图示为一最大起重力F=100kN的塔吊。其自重的塔吊。其自重G=400kN，作用，作用线距离塔身中心线线距离塔身中心线OO为为0.5m。塔身最下面四个轮子可在轮

40、道上行走。为。塔身最下面四个轮子可在轮道上行走。为使在起吊过程中不倾倒，必须放置配重使在起吊过程中不倾倒，必须放置配重W，配重作用线位置如图所示。试，配重作用线位置如图所示。试问问W为多少时，该塔吊不会倾倒？为多少时，该塔吊不会倾倒？解解：ABOABOWFG0.5m0.5mFNBxyFNA3.绕绕B点倾倒时点倾倒时临界状态：临界状态：0NBFF0yF 0AM0AM3 12 0.50WG300WkN175WkN4.绕绕A点倾倒时点倾倒时5.确定平衡范围确定平衡范围175300kNWkN2m3m10myxq=10kN/m5m5m2m5mABC解解：2.受力分析受力分析1.在在A点建立坐标系点建立坐

41、标系FAxFAyFBxFBy3.建立平衡方程建立平衡方程0yF 0 xF 0AM100AyByFFq0AxBxFF5 21050ByFq 50AyFkN0AxBxFF50ByFkNyx解解：BCFBxFBy4.取取CB部分受力分析部分受力分析0yF 0 xF 0CM5752.50ByBxFFq50AyFkN0AxBxFF50ByFkNAFAxFAyq=10kN/mFCxFCy5.建立平衡方程建立平衡方程0CM由由3得到得到17.86BxFkN 17.86AxFkN5m5m2m5mACBq=10kN/m50AyFkN50ByFkN17.86BxFkN 17.86AxFkN17.86kN50kN1

42、7.86kN50kN对称结构对称结构对称荷载对称荷载对称约束力对称约束力MAPBRrR一、静定和超静定问题 1. 静定问题当未知量的个数等于等于刚体上作用的力系所对应的独立平衡方程的个数时，应用平衡方程即可求出全部未知量的平衡问题。 2. 超静定问题当未知量的个数多于多于刚体上作用的力系所对应的独立平衡方程的个数时，应用平衡方程无法求出全部未知量的平衡问题。 3. 自由度完全确定物体在空间的位置所需要的独立变量数。4-3 刚体系统的平衡问题N=3-2=10N=3-3=0N=0不完全约束完全约束多余约束有时，刚体约有时，刚体约束的数目足够，束的数目足够，甚至还有多余，甚至还有多余，但由于布置不但

43、由于布置不当，刚体仍然当，刚体仍然会有可能运动。会有可能运动。不适当约束。不适当约束。 （不完全约束）（不完全约束）当未知量的个数等于刚体上作用的力系所对应的独立平衡方程的个数时，应用平衡方程即可求出全部未知量的平衡问题。完全约束平衡方程当未知量的个数多于刚体上作用的力系所对应的独立平衡方程的个数时，应用平衡方程无法求出全部未知量的平衡问题。多余约束变形体模型kAkBkCADPBCABCABCFFFPBACBACBCABACACACBCAB 123,AABBCCFkFkFk213()()()CBAFFFACBCABkkk0;00;0ABCCABMAB FAC FAD PMCD PAC FBC

44、F二、刚体系统 1. 物体系统几个物体通过一定的约束相互连接组成的系统。 2. 刚体系统物体系统中每一物体都是刚体（都理想化为刚体）。 3. 刚体系统的静定和超静定。 4. 求解步骤：判断系统是否静定。选取恰当的分离体，进行受力分析。列出所需的平衡方程。解方程，求出待求量。求解刚体系统平衡问题的 恰当选择分离体 从待求量考虑 分离体的未知量尽可能少 尽量少拆，避免中间未知量 受力分析图的正确 外荷载和内部约束力、作用力和反作用力 保证所受载荷的完整性 恰当选择平衡方程 尽可能不包含中间未知量 单个方程的未知量尽可能少 可不列二力杆的平衡方程 解题中的注意事项 解题前判断系统是否静定，已知条件是

45、否足够 解题后校核（多余平衡方程），讨论一、摩擦的分类4-4 考虑摩擦时物体的平衡问题二、滑动摩擦力 1. 方向与相对滑动趋势或相对滑动的方向相反，沿接触面切向。 2. 大小 静滑动摩擦力0 Ff Ffmax=fsFN 动滑动摩擦力Ff=fFN 3. 摩擦因数三、考虑摩擦时物体的平衡问题 1. 受力分析 增加了一个约束力f ，其方向与相对运动或相对运动趋势相反，且沿接触面切向。 2. 列平衡方程 多增加一个条件： Ff Ffmax=fsFN 3. 解方程 结果有时是一个范围（平衡范围平衡范围）。 4. 临界状态求解 将滑未滑最大静滑动摩擦力的值 Ff = Ffmax=fsFNPF43AB2m1

46、m本章小结 刚体和刚体系统的平衡问题（不考虑摩擦） 选取研究对象 列方程 解方程 校核 考虑了摩擦后的平衡问题 受力分析中多加一个约束力f 列方程时考虑f 两种临界状态 静定和超静定问题 静定未知量个数=平衡方程个数 超静定未知量个数平衡方程个数习题 5.8已知F1=150N，F2=300 N，F3=200N，a=5cm，求力系的合力的大小和合力的作用线与x轴的交点坐标xo。 F3F1F2aaaaxy2例例1XRx22150500RYRy3245cosFFN 5001245cosFFN 150N 522)(FMMOOaFaF31cmN 1750 yOORMxcm 11.67 练习4BF2xy2

47、aaOMF1AC34在图示矩形薄板OABC平面内受力和力偶的作用，已知：F1 =50N，F2 =40N，M =55N m，a =0.5m。求：(1)该力系向O点简化的结果 主矢：R =（ ）i+( ) j N 主矩：MO=( ) N m (2)该力系可简化为一合力R，其作用线方程为y(x)=( )m300301MR 已知: Q=5kN，杆重不计。求C点的反力和DE杆、FG杆的内力。例例2 45ABCDEFGQ1m1m1m1mFFGFCxFCy解解：研究整体，受力如图 , 0CM MG,0 (kN)14.14FGF X,0(kN)5CyF(kN)10 Cx F02145sinQFFG011QF

48、Cy045cosFGCxFF , 0AM取AB杆为研究对象，受力如图(kN)14.14 DEF02145sin QFDE45ABCDEFGQ1m1m1m1mFFGFCxFCyFDEFAxFAy已知：AB=2a , 重为P，BC重为Q，ABC=，C点光滑接触。求：A、C两点的反力。例例3 分析：取整体，四个未知力。 , 0BM已知：AB=2a , 重为P，BC重为Q，ABC=求：A、C两点的反力。解解：BC杆例例3 tan2QNC0 tan2aQaNC, 0X0CANX, 0Y0)(PQYA, 0AM0)(tan2aQPaNMCACANXaPQMA)2()(PQYA整体tan2 Q已知P=5 k

49、N，力偶矩M=2kNm，q=6kN/m，a=1m。求固定端A的约束反力。练习12FCCaaaBAqPM45aFAxFAyMACaaBP45FCFBxFBy解：BC杆, 0BMABC杆, 0 xF, 0yF, 0AMCaaBP45FCCaaaBAqPM45aFAxFAyMAFCFBxFBy解：BC杆, 0BM整体整体, 0 xF, 0yF, 0AM kN 5 . 2 :CF得 kN 5 :AxF得 kN 5 . 8 :AyF得 mkN 6 :AM得练习练习6zyxFF= kN，力F对 x,y,z 轴的矩分别为：Mx= , My= , Mz= 。 (长度单位为m)A(1,0,1)B(0,1,2)3

50、FFx31 kN 1 kN 1yFkN 1zFyzxzFyFMzxyxFzFMxyzyFxFM练习练习5zyxF正立方体，边长为a，F力对 x,y,z 轴的矩分别为：Mx= , My= , Mz= 。 aaaaFMx22aFMy22aFMz22 在图示边长为a、b、c的长方体的角点A沿对角线AB作用一力F， 则该力在z轴上的投影及对x轴之矩为： FZ = MX(F) = zyxFcabAB例例3练习练习7F=100N，力F在x轴上的投影Fx= , 对 x轴的矩为：Mx= 。 (长度单位为m)zyxFA(3,4,0)B(0,4,4)FFx53 已知P=300N，M=60Nm，a=25cm，b=2

51、0cm，求支座A、B处的约束反力。aabABCPMFAxFBxFByFAyBCMFCyFBxFByFCx练习练习6整体0 AMCB杆0 CM0 BM0 X练习练习8已知：F、a的大小，且M=3Fa， 不计杆子自重。求：A支座的约束力和BE杆、CD杆的内力。 E2 aFaACBD2aaHFCDEFDH0BF03352MaFaFB解：0,EM0,52aFaFCD25 CDFF, 0AM整体三角形DHEM0AxFFFAyFBFAxFAy例4已知q=4kN/m，M=10kNm，各杆自重不计，求支座A的约束力。BACD5mM3mqFAxFAyMAFDxFDyDCqFDxFDyFCxFCy5mMCBFBx

52、FByFCxFCyDCqFDxFDy5mMCBFCxFCyFBxFByFCxFCy解：CD杆, 0CMBC杆, 0yF, 0BMCD杆 kN 6 :DxF得 kN 2 :CyF得 kN 2 :DyF得BACD5mM3mqFAxFAyMAFDxFDy整体, 0 xF, 0yF, 0AM kN 6 :AxF得 kN 2 :AyF得 mkN 13 :AM得例5已知力G在CD杆的中点，G=8kN，q=4kN/m，a=1m，各杆自重不计，求支座A的约束力。BACD45a2a2aGqFDxFDyFAxFAyMAC2aqBC45GDBAa2aFAxFAyMAFByFBxFByFBxFCxFCyFDxFDyF

53、CxFCyBCD452a2aGqFDxFDyFByFBx练习1求DE杆的内力，不计各杆自重。FBF1FCxFCy整体, 0 AMCB杆0 CMBACDE4aaPa2a30F 2F 1BCFBFAxFAy 2 :PFB得 2 :1PF 得练习练习ABCDEF11111P已知：P=2kN，杆自重不计，长度单位为m，求CD杆受力大小，是受拉还是受压？BDFFByFBxFDCFFE解：整体 , 0AM041PFBxPFBx4BF杆, 0X045cosDCBxFF45cosBxDCFFFAxFAyFByFBx)kN(28(kN)8ABC练习练习6D已知：P=10kN，轮子半径 r =0.3m，AB=AC

54、=CD=l=1m ,不计摩擦和杆重，求支座A和B的反力。PFAyFAxFByFBx解：整体 , 0AM, 0X, 0YACDTFAyFAxFCyFCxT , 0CMBF杆PABC练习练习7D已知：P=10kN，M=20Nm，轮子半径 r =1m，AC=4m，BC=2m，CD=3m ,不计摩擦和杆重，求支座A和D的反力，杆BD的B端所受力。MFAyFAxFD解：整体 , 0AM, 0X, 0YABCPFAyFAxFAyFAxFBDP , 0CMACB杆例例8画各杆、整体、销钉画各杆、整体、销钉A的受力图。的受力图。ACDBF整体：整体：FFAFCyFCxABA DBCACDBFFFAyFAxFB

55、yFBxFDAFADFCyFCxF BxF DAF ByF AxF AyFAF ADAACDBFF AxF AyFAF ADF AFAyFAx FADBCDAMlllEF例例3 已知：F 和M，求铰链A 约束力和杆BD、CE 的内力。解：整体 0DMABC杆0 ,Y BCAllF0)(FMADMllEFDEF杆0)(FMDFFCEFBDFAyFAxFECFAxFAy172与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求合力：空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。汇交点。nFFFFR321合力在轴的投影为合力在轴的投

56、影为: 用 代入上式iiiiFX iY jZ kxRyRzR4.3 空间力系的合力与平衡空间力系的合力与平衡4.3.1 空间汇交力系的合力与平衡条件空间汇交力系的合力与平衡条件：()()()iiiRXiYjZk合力zyxF1F3F2RiXiYiZiF173222 :zyxRRRR合力,cosRRx方向：222)()()(ZYX,cosRRyRRzcos174 0X 0Y 0Z 称为称为空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系的平衡方程 平衡充要条件为：0R 空间汇交力系平衡的充要条件：空间汇交力系平衡的充要条件：222 zyxRRRR即：即：力系的合力为零力系的合力为零222)()()(ZYX175

57、 已知已知:F=1000N 求：力求：力F 对z轴的矩解解：例例FFx351FFy353)()()()(zzyzxzzFMFMFMFMFFz3550150)50100(yxFFm)N(4 .101空间力偶是一个自由矢量：可以进行平移和滑动。平移滑动177二、空间力偶的等效条件二、空间力偶的等效条件力偶矩矢相等力偶矩矢相等力偶矩矢的大小相等、方位、转向相同。力偶矩矢的大小相等、方位、转向相同。两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效。两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效。4.3.2 空间力偶系的合成与平衡空间力偶系的合成与平衡 由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意一点，故可使其滑至汇交

58、于某点，由于是矢量，它的合成符合矢量运算法则。 合力偶矢 = 分力偶矩的矢量和nMMMMM321zM1M2M3xyxzM1M2M3yMiMxyzMM iM jM k解析式：izziyyixxMMMMMM;222zyxMMMM合力偶矢的大小和方向：MMMMMMzyxcos,cos,coszxyM1M2M3M1800iMM显然空间力偶系的平衡条件是：222zyxMMMM0 xM0yM0zMzyx例例3求合力偶求合力偶M2M1zyxM2221MMMhFMbFM2211yxzF1F2F2F1bh182 把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。 nFFFF321, 设作用在刚体上有设作用在刚体上有空间一般力系空间一般力系向向O点简化点简化（O点任选）点任选）4.3.3 4.3.3 空间任意力系