第3章-轴向拉压变形

1、单辉祖-材料力学教程1第 3 章轴向拉压变形单辉祖-材料力学教程2单辉祖-材料力学教程31 引 言2 拉压杆的变形与叠加原理拉压杆的轴向变形与胡克定律拉压杆的轴向变形与胡克定律实验表明：当实验表明：当s s s sp 时，时，引入比例常数引入比例常数E s s s sE 胡克定律在比例极限内，正应力与正应变成正比在比例极限内，正应力与正应变成正比胡克定律E弹性模量弹性模量，其量纲与应力相同，常用单位为，其量纲与应力相同，常用单位为GPaMPa 10Pa 10GPa 139 GPa 220200 E钢与合金钢：钢与合金钢：GPa 7270 E铝合金：铝合金：轴向变形基本公式AFN s sll E

2、AlFlN EA 杆截面的杆截面的 拉压刚度拉压刚度 l 伸长为正，缩短为负伸长为正，缩短为负 s sE 在比例极限内，拉压杆的轴向变形在比例极限内，拉压杆的轴向变形 l ，与轴与轴力力 FN 及杆长及杆长 l 成正比，与乘积成正比，与乘积 EA 成反比成反比胡克定律轴向变形一般公式)(d)()d(NxEAxxFl lxxEAxFld)()(N niiiiiAElFl1N n 杆杆段总数段总数FNi 杆段杆段 i 的的轴力轴力变截面变轴力杆变截面变轴力杆阶梯形杆阶梯形杆拉压杆的横向变形与泊松比拉压杆的横向变形与泊松比拉压杆的横向变形bbb 1bb 12EG泊松比试验表明试验表明 ：在比例极限内

3、，：在比例极限内， ，并异号并异号 泊松比泊松比 ) 5 . 00 ( Ess 叠加原理叠加原理算例1.1.分段解法分段解法12N1FFF 2N2FF EAlFEAlFl2N21N1)( 分段解法EAlFEAllFl11212)()( 分段解法试分析杆试分析杆 AC 的轴向变形的轴向变形 lEAlFEAlFF22112)( EAllFlF)(2122 2. 分解载荷法分解载荷法EAlFlF111 21)(FFlll 分分解解载载荷荷3. 比较比较分分解解载载荷荷分分段段解解法法)()(ll EAlFEAllF11212)( 叠加原理当杆件内力、应力及变形，与外力成正比当杆件内力、应力及变形，与

4、外力成正比关系时，通常即可应用叠加原理关系时，通常即可应用叠加原理 原理原理 应用应用 N1F 例题例题 用叠加法分析内力用叠加法分析内力21N1,N1,FFFF 1F 2F 几个载荷同时作用所产生的总效果，等几个载荷同时作用所产生的总效果，等于各载荷单独作用产生的效果的总和于各载荷单独作用产生的效果的总和 例例 题题例 3-1 已知已知 l = 600 mm, d = 100 mm, E200 GPa, 0.3, 拧紧后拧紧后, AB 段的轴向变形为段的轴向变形为 l 0.30 mm。试试求求螺栓横截螺栓横截面上的正应力面上的正应力 s , s , 与与螺栓的横向变形螺栓的横向变形 d 解：

5、1. 螺栓螺栓横截面正应力横截面正应力3-1050. 0llMPa 100 Es s sE 2. 螺栓横向变形螺栓横向变形 mm 015. 0dd螺栓直径缩小螺栓直径缩小 0.015 mm331015. 01050. 03 . 0例 3-2 圆截面杆，已知圆截面杆，已知F=4kNF=4kN，l l1 1=l=l2 2=100mm=100mm，弹性模量，弹性模量E=200GPaE=200GPa。为保证杆件正常工作，要求其总伸长不超过。为保证杆件正常工作，要求其总伸长不超过0.10mm0.10mm，即许用轴向变形，即许用轴向变形 l=0.10mml=0.10mm。试确定杆径。试确定杆径d d。解：

6、1. 变形分析变形分析212121i21Ni1248FldEFldEFldEFlAEliii杆杆ACAC的总伸长：的总伸长：杆段杆段ABAB与与B BC的轴力分别为的轴力分别为：FFN212. 杆径设计杆径设计2FFFl2l1FFN21221ldEFlmmPamNlEFld339331107 . 8)1010. 0)(10200()10100)(104(1212d取取9.0mm单辉祖-材料力学教程14例 3-3 空心圆截面杆，内、外径分别为空心圆截面杆，内、外径分别为d d与与D D，横截面上的正，横截面上的正应力为应力为，材料的弹性模量与泊松比分别为，材料的弹性模量与泊松比分别为E E与与。

7、试计算。试计算横截面内周边的长度与内径的改变量。横截面内周边的长度与内径的改变量。解：1. 内周边长改变量内周边长改变量EddsEdssddss00内周边长改变量：内周边长改变量：内周切向正应变为内周切向正应变为：Es2. 内径改变量内径改变量dddds)(DdsdEdds单辉祖-材料力学教程15例 3-4 第二章例第二章例2-1a2-1a所示螺纹杆所示螺纹杆ABAB，其计算简图如图所示，其计算简图如图所示，图中，图中，q=F/aq=F/a。设横截面的平均面积为。设横截面的平均面积为A A，弹性模量为，弹性模量为E E，试，试计算螺纹杆计算螺纹杆ABAB的轴向变形。的轴向变形。解：将螺纹杆分为

8、两段将螺纹杆分为两段EAdxFldN1)(对应微段的轴向变形对应微段的轴向变形: :ADAD段，横截面段，横截面x处的轴力处的轴力：xaFqxFN1EAFadxEAFlaNAD201)2(22baEAFEAFbEAFalllDBADADAD的轴向变形的轴向变形: :DBDB的轴向变形的轴向变形: :EAFbEAbFlNDB2ABAB的轴向变形的轴向变形: :ABDF21qx12abdxqFN1FN1+dFN1单辉祖-材料力学教程163 桁架节点位移分析与小变形概念解：1. 轴力与变形分析轴力与变形分析)( 2N1拉拉伸伸FF )( N2压缩压缩FF EAlFAElFl22111N11 222N

9、22AElFl 图示桁架，杆图示桁架，杆1与与2分别用钢与硬铝制成。分别用钢与硬铝制成。F = 10 kN；E1 = 200 GPa, A1 = 100 mm2, l1 = 1 m；E2 = 70 GPa, A2 = 250 mm2， l2 = 707mm 。试求试求节点节点 A 的水平与铅垂位移的水平与铅垂位移)( 0.707mm21伸伸长长 EAFll)( 0.177mm缩缩短短 EAFl2. 作图法作图法确定节点新位置确定节点新位置3. 节点位移计算节点位移计算)( 22 lAAAx5AAAy 用切线或垂线代替圆弧作图)( 45cos21 ll4. 讨论小变形概念讨论小变形概念 与结构原

10、尺寸相比为很小的变形，称为与结构原尺寸相比为很小的变形，称为小变形小变形 在小变形条件下，通常即可在小变形条件下，通常即可： 按结构原有几何形状与尺寸，计算约束力与内力按结构原有几何形状与尺寸，计算约束力与内力 采用切线代圆弧的方法确定节点位移采用切线代圆弧的方法确定节点位移 0.707mm1 l0.177mm2 lmm 7072 lmm 10001 l例 3-5 托架由横梁托架由横梁AB与斜撑杆与斜撑杆CD所组成，并承受铅垂载荷所组成，并承受铅垂载荷F1与与F2作用。已知：作用。已知：F1=5kN，F2=10kN，l=1m；斜撑杆；斜撑杆CD为铝管为铝管，弹性模量，弹性模量E=70GPa，横

11、截面面积，横截面面积A=440mm2。设横梁。设横梁AB很刚很刚硬，变形很小，可视为刚体。试求梁端硬，变形很小，可视为刚体。试求梁端A点的铅垂位移点的铅垂位移A解：1. 计算计算 FNNFFF421N100 . 430sin2030sin2 , 0N21 lFlFlFMB刚体刚体EA2. 计算计算 lEAlFlCDN 4. 位移计算位移计算 2CCAAAy 60cos 2l 6.0mm364EAFl3. 画变形图画变形图mEAFl0015. 0361刚体刚体EANF4N100 . 4 EAlF60sin 8 单辉祖-材料力学教程214 拉压与剪切应变能单辉祖-材料力学教程22 应变能概念应变能

12、概念在外力作用下，弹性体发生形变，载荷在相应位移上作功。在外力作用下，弹性体发生形变，载荷在相应位移上作功。弹性体因变形而储存的能量，称为弹性体因变形而储存的能量，称为应变能应变能。应变能应变能弹性体功能原理弹性体功能原理WV 功能原理成立条件：载荷由零逐渐缓慢增大，弹性功能原理成立条件：载荷由零逐渐缓慢增大，弹性体处于准静态，以致动能与热能等的变化，均可忽略不体处于准静态，以致动能与热能等的变化，均可忽略不计计。 根据能量守恒定律，弹性体因变形所储存的应变能，根据能量守恒定律，弹性体因变形所储存的应变能，数值上等于外力所作的功数值上等于外力所作的功单辉祖-材料力学教程23 外力功与应变能计算

13、外力功与应变能计算 线性弹性体线性弹性体 kfW00dd 2FW f 一般弹性体一般弹性体相应位移相应位移 : 0 ddfW fW0 d 广义载荷广义载荷 f : 0 F kf k :线弹性体在载荷作线弹性体在载荷作用点、沿载荷作用方向用点、沿载荷作用方向产生单位位移所需之力产生单位位移所需之力 刚度系数EAlFN22单辉祖-材料力学教程24解：1. 轴力分析轴力分析FF2N1FFFN3N2例 3-6 用能量法计算用能量法计算 By2. 应变能计算应变能计算 312N2iiiiiAElFVEAlFEAlFEAlFV22222N32N221N EAlF)12(2 3. 位移计算位移计算EAlFF

14、By)12(22 EAFlBy)12(2 VW 2ByFW 单辉祖-材料力学教程25 拉压与剪切应变能密度拉压与剪切应变能密度单位体积内的应变能，称为单位体积内的应变能，称为应变能应变能密度密度。应变能密度应变能密度拉伸应变能密度：拉伸应变能密度：Ev222ss剪切应变能密度：剪切应变能密度：Gv225 简单拉压静不定问题 静不定问题与静不定度静不定问题与静不定度 静不定问题静不定问题 仅由平衡方程不仅由平衡方程不能确定全部未知力的问题能确定全部未知力的问题( (statically indeterminate problem) ) 静不定度静不定度 未知力数与有效未知力数与有效平衡方程平衡方

15、程数之差数之差 静定问题静定问题 仅由平衡方程即可仅由平衡方程即可确定全部未知力（确定全部未知力（约束反约束反力与内力力与内力）的问题（）的问题（statically determinate problem）一度静不定一度静不定静定问题静定问题 静不定问题分析静不定问题分析分析方法求解思路求解思路 建立平衡方程建立平衡方程 建立补充方程建立补充方程各杆的变各杆的变形间满足形间满足一定关系一定关系0),(321 lllf0),(N3N2N1 FFFF)3 , 2 , 1( N iFlii补充方程补充方程变形协调方程变形协调方程 联立求解联立求解利用利用变形协调方程与物理方程，变形协调方程与物理方

16、程，建立建立补充方程补充方程 平衡方程平衡方程0sinsinN1N2 FF0coscosN3N2N1 FFFF 变形几何关系变形几何关系 cos31ll 胡克定律胡克定律111N11AElFl 331N33cosAElFl 补充方程补充方程N323311N1cosFAEAEF 变形协调方程变形协调方程E1A1= E2A2求解算例 联立求解平衡与补充方程联立求解平衡与补充方程 311332N2N1cos2cos AEAEFFF 33311N3cos21AEAEFF 综合考虑三方面综合考虑三方面 外力与外力与 FNi 满足静力平衡方程满足静力平衡方程 各各 li 之间满足变形协调方程之间满足变形协

17、调方程 li 与与FNi 间满足给定物理关系（例如间满足给定物理关系（例如胡克定律胡克定律）（静力、几何与物理）（静力、几何与物理）静不定问题求解与内力的特点 内力分配与杆件刚度有关内力分配与杆件刚度有关 一般讲，一般讲，EiAi ，FNi 内力特点：内力特点： 例例 题题例 3-8 求两端固定杆的支反力求两端固定杆的支反力解：(a) 0 , 0 BxAxxFFFF2. 几何方面几何方面0 CBACll4. 建立补充方程建立补充方程(b) 021 lFlFBxAx5. 支反力计算支反力计算联立求解平衡方程联立求解平衡方程(a)与补充方程与补充方程(b)212llFlFAx 211llFlFBx

18、 3. 物理方面物理方面EAlFEAlFlAxAC11N1 EAlFEAlFlBxCB22N2)( 一度静一度静不定不定1. 静力学方面静力学方面解：1. 画变形与受力图画变形与受力图注意受力图与变形图协调：注意受力图与变形图协调： 伸长拉力；缩短压力伸长拉力；缩短压力例 3-9 已知：已知：F = 50 kN， s st = 160 MPa， s sc = 120 Mpa，A1= A2。试问：试问：A1=? A2=?02)(2 , 0N2N1 lFFlFMB2. .建立平衡方程建立平衡方程3. .建立补充方程建立补充方程CCl22 1222ll 1N112EAlFl 2N22EAlFl N1

19、N24FF 5. 截面设计截面设计N 1059. 4128284N2FF tN11s sFA cN22s sFA 221mm 383 AA结结论论：4. 内力计算内力计算 N1N2N2N14 02)(2FFlFFlF联立求解平衡方程与补充方程联立求解平衡方程与补充方程拉拉力力 N1 F压力压力 N2 F2mm 7 .71 2mm 383 N 10149. 14N1F例 3-10 图中所示桁架，承受铅垂载荷图中所示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆作用。设各杆横截面的拉压刚度均为横截面的拉压刚度均为EA，杆，杆1与杆与杆2的长度均为的长度均为l，试求各杆的轴力。试求各杆的轴力。解：1. 画变形图，

20、建立变形协调方程画变形图，建立变形协调方程设节点设节点C位移至位移至 ，过，过 点向三杆作垂线。点向三杆作垂线。CC2. 根据变形图画受力图根据变形图画受力图45cos45cos213lll 3、列平衡方程、列平衡方程045cos0045sin032y31-FFFFFFFNNNNx，4、利用胡克定律，得补充方程、利用胡克定律，得补充方程02213NNNFFF5、联立求解平衡方程和补充方程、联立求解平衡方程和补充方程)()21 (21拉FFN)()21 (2)221 (2拉FFN)()21 (223拉FFN单辉祖-材料力学教程366 热应力与初应力Tll T 解：EAlFTlllR TEAFl

21、s sRT 图示两端固定杆，试分析当温度升高图示两端固定杆，试分析当温度升高 T 时，横截面上时，横截面上的应力的应力s sT。已知材料的线膨胀系数为已知材料的线膨胀系数为 l。TEAFl R在静不定杆系结构中在静不定杆系结构中, 各杆段或各杆的轴向变形必须服各杆段或各杆的轴向变形必须服从变形协调条件从变形协调条件, 温度变化一般将引起应力温度变化一般将引起应力, 称为称为热应力热应力0R EAlFTll 变形协调条件变形协调条件温度变形温度变形 热应力概念热应力概念单辉祖-材料力学教程38 初应力概念初应力概念在加工制造杆件时，由于长度误差不会引起静定杆或在加工制造杆件时，由于长度误差不会引

22、起静定杆或杆系中存在应力。杆系中存在应力。在静不定杆或杆系中，由于长度存在误差，会使杆内在静不定杆或杆系中，由于长度存在误差，会使杆内在未承载时已存在应力。在未承载时已存在应力。由于实际杆长与设计尺寸不同，结构未承载时，即已由于实际杆长与设计尺寸不同，结构未承载时，即已存在的应力，称为存在的应力，称为初应力初应力或或预应力预应力。在工程上，常利用初应力进行某些构件的装配，或提在工程上，常利用初应力进行某些构件的装配，或提高某些构件的承载能力。高某些构件的承载能力。单辉祖-材料力学教程39例 3-11 图中所示结构，由杆图中所示结构，由杆1、杆、杆2与刚性梁与刚性梁AB组成。组成。已知各杆各截面

23、的拉压刚度均为已知各杆各截面的拉压刚度均为EA，材料的线膨胀系数，材料的线膨胀系数为为 l。试分析当杆。试分析当杆1的温度升高的温度升高T时，各杆的轴力与支时，各杆的轴力与支座座C的约束力。的约束力。解：(b) 0434 , 0(a) 0 , 02121aFaFMFFFFNNCNNRy1. 变形与受力分析：变形与受力分析： 例例 题题l2l12BBl1TAAA”a/43a/4CACBFN1FRFN2单辉祖-材料力学教程402. 建立补充方程建立补充方程(d) 312 T-FEAFNlN3. 轴力与支反力计算轴力与支反力计算联立求解平衡方程联立求解平衡方程(a)、(b)与补充方程与补充方程(d)

24、1091TEAFlNEAlFlN11EAlFlN223AABB TllT1032TEAFlN56TEAFlR(c) )(312llT例 3-12 图示桁架图示桁架, , 杆杆3的实际长度的实际长度比设计长度比设计长度l稍短，误差稍短，误差为为 , , 试分析装配后各杆的轴力。已知杆试分析装配后各杆的轴力。已知杆1 1与杆与杆2 2各截面的拉各截面的拉压刚度均为压刚度均为E E1 1A A1 1，杆，杆3 3各截面的拉压刚度均为各截面的拉压刚度均为E E3 3A A3 3 。解：1、建立平衡方程0coscos00sinsin021321NNNyNNxFFFFFFF，0cos2N1N3 FF cos13ll cos1cos11N1333AElFA