3.4生活中的优化问题举例(2)学习教案

1、会计学13.4生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例(2)一、如何判断函数函数的单调性？f(x)为为增函数增函数f(x)为为减函数减函数 设函数设函数y=f(x) 在在 某个区间某个区间 内可导，内可导，二、如何求函数的极值与最值？求函数极值的一般步骤求函数极值的一般步骤（1）确定定义域）确定定义域（2）求导数）求导数f(x)（3）求）求f(x)=0的根的根（4）列表）列表（5）判断）判断求求f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤：(1) 求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值；内极值；(2) 将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b）比较比较,从而确定函

2、数的最值。从而确定函数的最值。第1页/共35页 一般地，若函数一般地，若函数y=f (x)在在a，b上的图象是一条上的图象是一条连续不断的曲线，则求连续不断的曲线，则求f (x) 的最值的步骤是：的最值的步骤是：（1）求）求y=f (x)在在a，b内的极值内的极值(极大值与极小值极大值与极小值)；（2）将函数的各极值与端点处的函数值）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较，比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 特别地，如果函数在给定开区间内只有一个极值点，特别地，如果函数在给定开区间内只有一个极值点，则这个极值一定是

3、最值。则这个极值一定是最值。第2页/共35页 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题.第3页/共35页例例1 1：海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为版心面积为128dm2，上、下两边各空，上、下两边各空2dm，左、右，左、右两边各空两边各空1dm，如何设计海报的

4、尺寸，才能使四，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？周空白面积最小？x图图 分析：已知版心的面分析：已知版心的面积，你会如何建立函数积，你会如何建立函数关系表示海报四周的面关系表示海报四周的面积呢？积呢？第4页/共35页 128:,xdmdmx解 设版心的高为则版心的宽为此时四周空白面积为 0,160 xs x当时，；128( )(4)(2) 128S xxx51228,0 xxx2512 ( )2S xx求导数,得2512( )20S xx令1616xx解 得 ：，（ 舍 ）128128816x于是宽为： 16,0.xs x当时，因此，因此，x=16是函数是函数S(x)的极小值，也是

5、最小值点。所以，的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为当版心高为16dm，宽为，宽为8dm时，能使四周空白面积最小时，能使四周空白面积最小。第5页/共35页 由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是本思路是：设出变量找出函数关系式设出变量找出函数关系式上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案你还有其他方你还有其他方法求这个最值法求这个最值吗？吗？第6页/共35页解法二

6、解法二：由解法由解法(一一)得得512512( )282 28S xxxxx2 32872512,16(0)xxxSx当且仅当2即时 取最小值8128此时y=16816dmdm答：使用版心宽为，长为时，四周空白面积最小。第7页/共35页第8页/共35页规格（规格（L）21.250.6价格（元）价格（元）5.14.52.5下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则的价格如下表所示，则（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？）对制造商而言，哪一种的利润更大？第

7、9页/共35页 例例2： 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是制造成本是p pr2分，其中分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售知每出售1ml的饮料，制造商可获利分，且制造商能制造的瓶的饮料，制造商可获利分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为子的最大半径为6cm，（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？2( ) = 0.8- 20= 2()，f rrrr 令令得得r(0，2)

8、2(2，6f (r)0f (r)-+减函数减函数 增函数增函数 p p每瓶饮料的利润：每瓶饮料的利润：324( )0.20.83yf rrrpp32= 0.8 (-)3rr)60( r解：由于瓶子的半径为解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是，所以每瓶饮料的利润是第10页/共35页当半径当半径r时，时，f (r)0它表示它表示 f(r) 单调递增，单调递增， 即即半径越大，利润越高；半径越大，利润越高；当半径当半径r时，时，f (r)0 它表示它表示 f(r) 单调递减单调递减， 即半径越大，利润越低即半径越大，利润越低1.1.半径为半径为cm cm 时，利润最小，这时时，利润最小，这时

9、(2)0f表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值。此时利润是负值。.半径为半径为cm时，利润最大。时，利润最大。第11页/共35页 由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是思路是：设出变量找出函数关系式设出变量找出函数关系式上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案你还有其他方你还有其他方法求这个最值法求这个最值吗

10、？吗？第12页/共35页ory2 23r3r8.0rf3图1.4-4第13页/共35页思考：思考：市场上等量的小包装的物品一般比大市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些（如半斤装的白酒比一斤装的包装的要贵些（如半斤装的白酒比一斤装的白酒平均价格要高），在数学上有什么道理白酒平均价格要高），在数学上有什么道理？ 将包装盒捏成球状，因为小包装的半径小，其将包装盒捏成球状，因为小包装的半径小，其利润低，生产商就提高销售价格来平衡与大包利润低，生产商就提高销售价格来平衡与大包装的利润装的利润. . 第14页/共35页问题问题3 3、磁盘的最大存储量问题、磁盘的最大存储量问题(1) 你知道计算机是

11、如何存储、检索信息的吗？(2) 你知道磁盘的结构吗？(3)如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息？第15页/共35页Rr第16页/共35页思考思考1 1：现有一张半径为现有一张半径为R R的磁盘，它的存储区的磁盘，它的存储区是半径介于是半径介于r r与与R R的环形区域，且最外面的磁道的环形区域，且最外面的磁道不存储任何信息，那么这张磁盘的磁道数最多不存储任何信息，那么这张磁盘的磁道数最多可达多少？可达多少？ R Rr rRrm-思考思考2 2：由于每条磁道上的比特数相同，那由于每条磁道上的比特数相同，那么这张磁盘存储量的大小取决于哪条磁道么这张磁盘存储量的大小取决于哪条磁道上的比特数？上的

12、比特数？最内一条磁道最内一条磁道. 第17页/共35页思考思考3 3：要使磁盘的存储量达到最大，那要使磁盘的存储量达到最大，那么最内一条磁道上的比特数为多少？么最内一条磁道上的比特数为多少？ R Rr r2rnp思考思考4 4：这张磁盘的存储量最大可达到多少这张磁盘的存储量最大可达到多少比特？比特？2Rrrmnp-第18页/共35页分析：存储量分析：存储量=磁道数磁道数每磁道上的比特数每磁道上的比特数 设存储区的半径介于设存储区的半径介于r与与R之间，由于磁道之间的宽度之间，由于磁道之间的宽度必须大于必须大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于，每比特所占用的磁道长度不得小于n ， 且且最外面的

13、磁道不存储任何信息最外面的磁道不存储任何信息，所以磁道最多可达，所以磁道最多可达 又由于又由于每条磁道上的比特数相同每条磁道上的比特数相同，为获得最大的存储量，最，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到 所以，磁道总存储量为：所以，磁道总存储量为：,mrR .2nrp 22.Rrrfrr Rrmnmnpp第19页/共35页解：存储量解：存储量=磁道数磁道数每磁道的比特数每磁道的比特数 设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，且最外面的磁道不存储人何信息，所以磁道最多可达 又由于每条磁道上的比特数相同

14、，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到 所以，磁道总存储量,mrR .2nrp .22rRrmnrnrmrRrfpp（1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大.第20页/共35页(2)为求 的最大值，计算 xf , 0rf ,22rRmnrfp令 0rf解得2Rr , 02; 02rfRrrfRr时，当时，当因此，当 时，磁道具有最大的存储量，最大存储量为2Rr .22mnRp第21页/共35页 由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问

15、题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。第22页/共35页练习练习1 1、一条长为、一条长为 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？则两个正方形面积和为则两个正方形面积和为2221)4()4(xlxssS)22(16122llxx解：设两段铁丝的长度分别为解：设两段铁丝的长度分别为x,l- -x,其中其中0 xl)2(81)24(161lxlxS2, 0lxS得令由问题的实际意义可知：由问题的实际意义

16、可知：.,2取最小值时当Slx .322l最小值为l而而0 xL/2时时, ,所以所以x=L/2是是f(x)的极小值点的极小值点.0)( xf0)( xf第23页/共35页表面积表面积设半径为设半径为R,R,则高为则高为h h表面积写成表面积写成R R的函数的函数, ,问题就转化求函数的最问题就转化求函数的最值问题值问题Rh第24页/共35页练习练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积为定值某种圆柱形的饮料罐的容积为定值V时时,如何确定如何确定它的高与底半径它的高与底半径,使得所用材料最省使得所用材料最省?Rh解解 设圆柱的高为设圆柱的高为h,底面半径为底面半径为R.则表面积为则表面积为 又又 (定值

17、定值),.2RVhp则222)(RRhRSpp2222)(RRVRRSppp.222RRVp.042)(2RRVRSp由.23pVR 解得3222ppVRVh从而即即h=2R.可以判断可以判断S(R)只有一个极值点只有一个极值点,且是最小值点且是最小值点.答答 ：罐高与底的直径相等时：罐高与底的直径相等时, 所用材料最省所用材料最省.hRV2pR第25页/共35页Rh第26页/共35页练习练习3 3 ( (课本第课本第3737页页A A组第组第6 6题题) )已知已知: :某商品生产成本与产量某商品生产成本与产量q q的函数关系式为的函数关系式为100 4Cq , , 价格价格p p与产量与产

18、量q q的函数关系式为的函数关系式为1258pq 求产量求产量 q q 为何值时，利润为何值时，利润 L L 最大？最大？1(25)(1004 )8LpqCq qq解解：利利润润21211008qq 121,0,4LqL 令令84q 求求得得0L 当当时时, q84, q84,0L 当当时时, q84, q84,84qL当当产产量量 为为时时，利利润润 最最大大21211008qq 1(25)(1004 )8LpqCq qq 另另解解：利利润润2184124bqLa 当当时时， 的的值值最最大大0 q 200第27页/共35页 ( (课本第课本第3737页页B B组第组第1 1题题) )某宾馆

19、有个房间供游客居住，当每个房间每天的定某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为元时，房间会全部住满；房间的单价每增加价为元时，房间会全部住满；房间的单价每增加元，就会有一个房间空闲如果游客居住房间，宾元，就会有一个房间空闲如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费元的各种维修费房间定价多少馆每天每间需花费元的各种维修费房间定价多少时，宾馆的利润最大？时，宾馆的利润最大？解解:设宾馆定价为设宾馆定价为(18010 x)元时，宾馆的利润最大元时，宾馆的利润最大20)50()50)(10180(xxxW8000340102xx17, 0)( xxW求得令17,0)( xxW时当17,0)( xxW

20、时；当17xW ，利利最最大大180 10 17 350 房房 价价 ：（ 元元 ）第28页/共35页xy练习练习3 如图如图,在二次函数在二次函数f(x)=4x-x2的图象与的图象与x轴所轴所 围成的图形中有一个内接围成的图形中有一个内接矩形矩形ABCD,求这求这 个矩形的个矩形的最大面积最大面积.解解:设设B(x,0)(0 x2), 则则 A(x, 4x-x2).从而从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面积的面积为为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x0得得x=1.0)( xf而而0 x1时时, ,所以所以x=1是是f(x)的的极小值点极小值点.0)( xf0)( xf所以当所以当x=1时时,f(x)取最小值取最小值f(1)=1.从而